52平面向量基本定理及坐标表示.ppt

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1、5.2 5.2 平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示要点梳理要点梳理1.1.两个向量的夹角两个向量的夹角 （1 1）定义）定义 已知两个已知两个 向量向量a a和和b b,作作 =a a，=b b，则，则AOBAOB=叫做向量叫做向量a a 与与b b的夹角的夹角.(2)(2)范围范围 向量夹角向量夹角的范围是的范围是 ,a a与与b b同向时，同向时，夹角夹角=;a a与与b b反向时，夹角反向时，夹角=.非零非零0 01801801801800 0基础知识基础知识 自主学习自主学习 (3)(3)向量垂直向量垂直 如如果果向向量量a a与与b b的的夹夹角角是是 ，则则a a

2、与与b b垂垂直直,记记作作 .2.2.平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 （1 1）平面向量基本定理）平面向量基本定理 定定理理：如如果果e e1 1,e e2 2是是同同一一平平面面内内的的两两个个 向向量量，那那么么对对于于这这一一平平面面内内的的任任意意向向量量a a,一一对对实实数数 1 1,2 2,使使a a=.其其中中，不不共共线线的的向向量量e e1 1,e e2 2叫叫做做表表示示这这一一平平面面内内所所有有向量的一组向量的一组 .9090a ab b不共线不共线有且只有有且只有1 1e e1 1+2 2e e2 2基底基底(2)(2)平面向量的正交分解平面

3、向量的正交分解把一个向量分解为两个把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量的向量，叫做把向量正交分解正交分解.(3)(3)平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与在平面直角坐标系中，分别取与x x轴、轴、y y轴方向相同轴方向相同的两个单位向量的两个单位向量i i,j j作为基底，对于平面内的一个向作为基底，对于平面内的一个向量量a a,有且只有一对实数有且只有一对实数x x,y y,使使a a=x xi i+y yj j,把有序数对把有序数对 叫做向量叫做向量a a的坐标，记作的坐标，记作a a=，其中，其中 叫叫a a在在x x轴上的坐标，轴上的坐标，叫叫a a在在

4、y y轴上的坐标轴上的坐标.设设 =x xi i+y yj j，则向量，则向量 的坐标（的坐标（x x,y y)就是就是 ，即若，即若 =（x x,y y），则），则A A点坐标为点坐标为 ,反之亦成立反之亦成立.（O O是坐标原点）是坐标原点）(x x,y y)x xy y(x x,y y)终终点点A A的坐标的坐标（x x,y y）互相垂直互相垂直3.3.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 （1 1）加法、减法、数乘运算）加法、减法、数乘运算.（2 2）向量坐标的求法）向量坐标的求法 已已知知A A（x x1 1，y y1 1），B B（x x2 2，y y2 2），则则 =(=(x x

5、2 2-x x1 1,y y2 2-y y1 1),),即一个向量的坐标等于该向量即一个向量的坐标等于该向量 的坐标减去的坐标减去 的坐标的坐标.(3)(3)平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示 设设a a=(=(x x1 1,y y1 1),),b b=(=(x x2 2,y y2 2),),其中其中b b0 0,则则a a与与b b共线共线a a=.终点终点始点始点 b bx x1 1y y2 2-x x2 2y y1 1=0=0基础自测基础自测1.1.已已知知四四边边形形ABCDABCD的的顶顶点点A A(0,2)(0,2)、B B（-1-1，-2-2）、C C（3 3，1 1）

6、,且且 =2 =2 则顶点则顶点D D的坐标为的坐标为 （）A.A.B.B.C.(3,2)C.(3,2)D.(1,3)D.(1,3)解析解析 A A(0,2),(0,2),B B(-1,-2),(-1,-2),C C(3,1),(3,1),=(3,1)-(-1,-2)=(4,3).=(3,1)-(-1,-2)=(4,3).设设D D（x x，y y),=(),=(x x,y y-2),=2 ,-2),=2 ,(4,3)=(2 (4,3)=(2x x,2,2y y-4).-4).x x=2,=2,y y=.=.A2.2.已知已知a a=(4,2),=(4,2),b b=(=(x x,3),3),

7、且且a ab b，则，则x x等于（等于（）A.9A.9B.6B.6C.5C.5D.3D.3 解析解析 a ab b，12-212-2x x=0=0，x x=6.=6.3.3.已已知知两两点点A A（4 4，1 1），B B（7 7，-3-3），则则与与 同同向向的的单位向量是单位向量是（）A.A.B.B.C.C.D.D.解析解析 A A（4 4，1 1），），B B（7 7，-3-3），），=（3 3，-4-4），），与与 同向的单位向量为同向的单位向量为BA4.4.在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中，中，ACAC为一条对角线，若为一条对角线，若 =（2 2，4 4），），=（1 1

8、，3 3），则），则 等于等于 （）A.A.（-2-2，-4-4）B.B.（-3-3，-5-5）C.C.（3 3，5 5）D.D.（2 2，4 4）解析解析 如图所示，如图所示，（-1-1，-1-1），），所以所以 （-3-3，-5-5）.B1 题型一题型一 平面向量基本定理平面向量基本定理【例例1 1】如图所示，在平行四边形如图所示，在平行四边形ABCDABCD中，中，MM，N N分别为分别为DCDC，BCBC的中点，已知的中点，已知 =c c，=d d，试用，试用c c，d d表示表示 ，.题型分类题型分类 深度剖析深度剖析解解 方法一方法一 设设 =a a，=b b，则则a a=d d+

9、（b b）b b=c c+(+(a a)将将代入代入得得a a=d d+()+(),代入代入得得方法二方法二 设设 =a a，=b b.因因MM，N N分别为分别为CDCD，BCBC的中点，的中点，所以所以 b b，a a，c c=b b+a a a a=(2=(2d d-c c)d d=a a+b b b b=(2=(2c c-d d),),即即 =（2 2d d-c c），），=（2 2c c-d d）.因而因而 平平面面向向量量基基本本定定理理从从理理论论上上说说明明平平面面内内任任何一个向量都可以用一组基底表示何一个向量都可以用一组基底表示.这就是说这就是说 、一一定定能能用用c c、

10、d d表表示示.本本题题用用方方程程的的思思想想使使问问题题得得以以解决解决.探究提高探究提高 知能迁移知能迁移1 1 如图所示，在如图所示，在ABCABC中，点中，点 O O是是BCBC的中点，过点的中点，过点O O的直线分别交的直线分别交 直线直线ABAB、ACAC于不同两点于不同两点MM、N N，若若 则则m m+n n的值的值 为为 .解析解析 设设 =a a，=b b，（a a+b b）-同理同理 由由 得得 =整理得整理得m m+n n=2.=2.答案答案 2 2即即题型二题型二 向量的坐标运算向量的坐标运算【例例2 2】已知点已知点A A（1 1，0 0）、）、B B（0 0，2

11、 2）、）、C C（-1-1，-2 2），求求以以A A、B B、C C为为顶顶点点的的平平行行四四边边形形的的第第四四个个顶点顶点D D的坐标的坐标.解解 设设D D的坐标为（的坐标为（x x,y y）.(1)(1)若是若是ABCDABCD，则由，则由 得得 (0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x x,y y),),即即(-1,2)=(-1-(-1,2)=(-1-x x,-2-,-2-y y),),-1-1-x x=-1,=-1,-2-2-y y=2.=2.x x=0,=0,y y=-4.=-4.D D点的坐标为（点的坐标为（0 0，-4-4）（

12、如图中的）（如图中的D D1 1）.（2 2）若是）若是ADBCADBC，则由，则由 得得（x x，y y）-（1 1，0 0）=（0 0，2 2）-（-1-1，-2-2），），即即(x x-1,-1,y y)=(1,4).)=(1,4).解得解得x x=2,=2,y y=4.=4.D D点坐标为（点坐标为（2 2，4 4）（如图中的）（如图中的D D2 2）.（3 3）若是）若是ABDCABDC，则由，则由 得得（0 0，2 2）-（1 1，0 0）=（x x,y y）-(-1,-2),-(-1,-2),即即(-1,2)=(-1,2)=(x x+1,+1,y y+2).+2).解得解得x x

13、=-2,=-2,y y=0.=0.D D点的坐标为（点的坐标为（-2-2，0 0）（如图中的）（如图中的D D3 3）.综上所述，以综上所述，以A A、B B、C C为顶点的平行四边形的第四个为顶点的平行四边形的第四个顶点顶点D D的坐标为（的坐标为（0 0，-4-4）或（）或（2 2，4 4）或（）或（-2-2，0 0）.探探究究提提高高 （1 1）要要加加强强对对向向量量的的坐坐标标与与该该向向量量起起点点、终终点点的的关关系系的的理理解解，以以及及对对坐坐标标运运算算的的灵灵活活应应用用.（2 2）向向量量的的坐坐标标运运算算是是向向量量运运算算的的数数量量表表达达形形式式，更更能能利利

14、用用代代数数知知识识解解决决，也也是是向向量量被被广广泛泛应应用用的的基基础础.知能迁移知能迁移2 2（20092009辽宁）辽宁）在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，中，四边形四边形ABCDABCD的边的边ABABDCDC，ADADBCBC.已知已知A A（-2-2，0 0），），B B（6 6，8 8），），C C（8 8，6 6），则），则D D点的坐标点的坐标 为为 .解析解析 设设D D点的坐标为（点的坐标为（x x,y y）,由题意知由题意知 ,即（即（2 2，-2-2）=(=(x x+2,+2,y y)，所以，所以x x=0,=0,y y=-2,=-2,D D(0,-

15、2).(0,-2).(0,-2)(0,-2)题型三题型三 平行向量的坐标运算平行向量的坐标运算【例例3 3】（1212分）平面内给定三个向量分）平面内给定三个向量a a=(3,2),=(3,2),b b=(-1,2),(-1,2),c c=(4,1).=(4,1).回回 答答 下下 列列 问问 题题：（1 1）若若（a a+k kc c）(2(2b b-a a)，求实数，求实数k k;(2)(2)设设d d=(=(x x,y y)满足满足(d d-c c)()(a a+b b)且且|d d-c c|=1,|=1,求求d d.（1 1）由由两两向向量量平平行行及及两两向向量量平平行行的的条条件件

16、得出关于得出关于k k的方程，从而求出实数的方程，从而求出实数k k的值的值.（2 2）由由两两向向量量平平行行及及|d d-c c|=1|=1得得出出关关于于x x,y y的的两两个个方方程，解方程组即可得出程，解方程组即可得出x x,y y的值，从而求出的值，从而求出d d.思维启迪思维启迪解解 （1 1）（a a+k kc c）（2 2b b-a a），），又又a a+k kc c=(3+4=(3+4k k,2+,2+k k),2),2b b-a a=(-5,2),=(-5,2),2 2分分2 2(3+4(3+4k k)-(-5)-(-5)(2+(2+k k)=0,)=0,4 4分分k

17、k=-.=-.6 6分分（2 2）d d-c c=(=(x x-4,-4,y y-1),-1),a a+b b=(2,4),=(2,4),又又(d d-c c)()(a a+b b)且且|d d-c c|=1,|=1,4(4(x x-4)-2(-4)-2(y y-1)=0-1)=0 (x x-4)-4)2 2+(+(y y-1)-1)2 2=1,=1,8 8分分 1212分分 向量平行的坐标公式实质是把向量问题转向量平行的坐标公式实质是把向量问题转化为实数的运算问题化为实数的运算问题.通过坐标公式建立参数的方通过坐标公式建立参数的方程，通过解方程或方程组求得参数，充分体现了方程程，通过解方程或

18、方程组求得参数，充分体现了方程思想在向量中的应用思想在向量中的应用.探究提高探究提高解得解得1010分分知知能能迁迁移移3 3 已已知知点点O O（0 0，0 0），A A（1 1，2 2），B B（4 4，5 5）且）且 （1 1）求点）求点P P在第二象限时，实数在第二象限时，实数t t的取值范围；的取值范围；（2 2）四四边边形形OABPOABP能能否否为为平平行行四四边边形形？若若能能，求求出出相应的实数相应的实数t t;若不能，请说明理由若不能，请说明理由.解解 O O（0 0，0 0），），A A（1 1，2 2），），B B（4 4，5 5），），=（1 1，2 2），），=（4

19、-14-1，5-25-2）=（3 3，3 3）.（1 1）设设P P（x x，y y），则则 =（x x，y y），若若点点P P在在第第二二象限，象限，x x0 0 y y0 0则则且且(x x,y y)=(1,2)+)=(1,2)+t t(3,3),(3,3),x x=1+3=1+3t t 1+31+3t t0 0 y y=2+3=2+3t t 2+32+3t t0,0,（2 2）因因为为 =（1 1，2 2），（3-33-3t t，3-3-3 3t t），），若四边形若四边形OABPOABP为平行四边形，则为平行四边形，则 3-33-3t t=1=1 3-3 3-3t t=2,=2,无解

20、，无解，四边形四边形OABPOABP不可能为平行四边形不可能为平行四边形.,方法与技巧方法与技巧1.1.坐坐标标的的引引入入使使向向量量的的运运算算完完全全代代数数化化，成成了了数数形形结结合的载体，也加强了向量与解析几何的联系合的载体，也加强了向量与解析几何的联系.2.2.中中点点坐坐标标公公式式：P P1 1（x x1 1,y y1 1）,P P2 2(x x2 2,y y2 2),),则则P P1 1P P2 2中中点点P P的坐标为的坐标为 在在ABCABC中，若中，若A A（x x1 1，y y1 1），），B B（x x2 2，y y2 2），），C C（x x3 3，y y3 3

21、），则），则ABCABC的重心的重心G G的坐标为的坐标为思想方法思想方法 感悟提高感悟提高失误与防范失误与防范1.1.要要区区分分点点的的坐坐标标与与向向量量的的坐坐标标的的区区别别，尽尽管管在在形形式式上上它它们们完完全全一一样样，但但意意义义完完全全不不同同，向向量量的的坐坐标标中中同样有方向与大小的信息同样有方向与大小的信息.2.2.在在处处理理分分点点问问题题比比如如碰碰到到条条件件“若若P P是是线线段段ABAB的的分分点点，且且|PAPA|=2|=2|PBPB|”时时，P P可可能能是是ABAB的的内内分分点点，也也可能是可能是ABAB的外分点，即可能的结论有：的外分点，即可能的结论有：或或3.3.数数学学上上的的向向量量是是自自由由向向量量，向向量量x x=(=(a a,b b)经经过过平平移移后后得到的向量的坐标仍是（得到的向量的坐标仍是（a a,b b）.返回返回