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1、微积分学，无穷级数论和作为理论基础的微积分学，无穷级数论和作为理论基础的极限理论极限理论我们这门课程叫高等数学，它的内容我们这门课程叫高等数学，它的内容包括一元和多元包括一元和多元，以及作为一元微积分学的简，以及作为一元微积分学的简单应用单应用常微分方程。由于构成它的主体是常微分方程。由于构成它的主体是一元函数微积分学，所以有时又称为微积分。一元函数微积分学，所以有时又称为微积分。17世纪（世纪（1763年）年）Descartes建立了解析几建立了解析几何，同时把变量引入数学，对数学的发展产生何，同时把变量引入数学，对数学的发展产生了巨大的影响，使数学从研究常量的初等数学了巨大的影响，使数学

2、从研究常量的初等数学进一步发展到研究变量的高等数学。微积分是进一步发展到研究变量的高等数学。微积分是高等数学的一个重要的组成部分，是研究变量高等数学的一个重要的组成部分，是研究变量间的依赖关系间的依赖关系函数的一门学科，是学习其函数的一门学科，是学习其它自然科学的基础。它自然科学的基础。高等数学研究的主要对象是函数，主要研高等数学研究的主要对象是函数，主要研究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方

3、法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数学的一个显著标志。学的一个显著标志。由于高等数学的研究对象和研究方法与初由于高等数学的研究对象和研究方法与初等数学有很大的不同，因此高等数学呈现出以等数学有很大的不同，因此高等数学呈现出以下显著特点：下显著特点：概念更复杂概念更复杂理论性更强理论性更强表达形式更加抽象表达形式更加抽象推理更加严谨推理更加严谨因此在学习高等数学时，应当认真阅读和因此在学习高等数学时，应当认真阅读和深入钻研教材的内容，一方面要透过抽象的深入钻研教材的内容

4、，一方面要透过抽象的表达形式，深刻理解基本概念和理论的内涵表达形式，深刻理解基本概念和理论的内涵与实质，以及它们之间的内在联系，正确领与实质，以及它们之间的内在联系，正确领会一些重要的数学思想方法，另一方面也要会一些重要的数学思想方法，另一方面也要培养抽象思维和逻辑推理的能力。培养抽象思维和逻辑推理的能力。学习数学，必须做一定数量的习题，做习学习数学，必须做一定数量的习题，做习题不仅是为了掌握数学的基本运算方法，而且题不仅是为了掌握数学的基本运算方法，而且也可以帮助我们更好地理解概念、理论和思想也可以帮助我们更好地理解概念、理论和思想方法。但我们不应该仅仅满足于做题，更不能方法。但我们不应该仅

5、仅满足于做题，更不能认为，只要做了题，就算学好了数学。认为，只要做了题，就算学好了数学。高等数学中几乎所有的概念都离不开极限，高等数学中几乎所有的概念都离不开极限，因此极限概念是高等数学的重要概念，极限理因此极限概念是高等数学的重要概念，极限理论是高等数学的基础理论，极限是高等数学的论是高等数学的基础理论，极限是高等数学的精华所在，是高等数学的灵魂。因此很好地理精华所在，是高等数学的灵魂。因此很好地理解极限概念是学习好微积分的关键，同时也是解极限概念是学习好微积分的关键，同时也是从初等数学迈入高等数学的一个重要阶梯。从初等数学迈入高等数学的一个重要阶梯。参参考考书书目目工科数学分析基础工

6、科数学分析基础马知恩马知恩等编等编（高教出版社）（高教出版社）高等数学释疑解难高等数学释疑解难工科数学课委会编（高教出版社）工科数学课委会编（高教出版社）高等数学辅导高等数学辅导盛祥耀盛祥耀等编（清华大学出版社）等编（清华大学出版社）高等数学解题方法及同步训练高等数学解题方法及同步训练同济大学编（同济大学出版社）同济大学编（同济大学出版社）第一章第一章函数与极限函数与极限1.1 函函数数1.集合集合集合集合(简称集简称集):集合是指具有某种特定性质的集合是指具有某种特定性质的事物的总体。集合用事物的总体。集合用A，B，M等表示。等表示。元素元素:组成集合的事物称为集合的元素。组成集合

7、的事物称为集合的元素。a 是是集合集合M的元素表示为的元素表示为a M。集合的表示集合的表示:(1)A=a,b,c,d,e,f,g。(2)M=(x,y)|x，y为实数，为实数，x2+y2=1。一、集合及其运算一、集合及其运算几个数集几个数集:R表示所有实数构成的集合，称为表示所有实数构成的集合，称为实数集实数集。Q表示所有有理数构成的集合，称表示所有有理数构成的集合，称为有理集为有理集。Z表示所有整数构成的集合，称为表示所有整数构成的集合，称为整数集整数集。N表示所有自然数构成的集合表示所有自然数构成的集合,称为称为自然数集自然数集。子集子集:若若x A，则必有则必有x B，则称则称A是是B

8、的的子集子集,记记为为A B（读作读作A包含于包含于B）。）。显然，显然，N Z，Z Q，Q R。2.区间区间:数集数集x|a x b称为开区间，记为称为开区间，记为(a,b)，即即(a,b)x|a x b。xOab(a，b)a,b x|a x b称为闭区间。称为闭区间。xOaba，b a,b)x|a x b及及(a,b x|a x b称为称为半开区间。半开区间。xOaba，b)xOab(a，b 上述区间都是有限区间，其中上述区间都是有限区间，其中a 和和 b 称为称为区间的端点，区间的端点，b a 称为区间的长度。称为区间的长度。以下区间称为无限区间：以下区间称为无限区间：a,+)x|

10、观察自然现象或技术过程时，常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化始终只取同同的量，其中有的量在过程中不起变化始终只取同一数值，这种量叫做常量。一数值，这种量叫做常量。二、函数的概念二、函数的概念2.举例举例圆的面积的计算公式为圆的面积的计算公式为A=p pr2，半径半径r可取可取(0,+)内的任意值。内的任意值。由落体下落距离的计算公式为由落体下落距离的计算公式为s gt2，t可取可取0,T内的任意值内的任意值。12 圆内接正圆内接正n边形的周长的计算公式为边形的周长的计算公式为 Sn 2nr sin ，n可取可取3，4，5，。p pn3.函数的定义函数的定义设设 D 是一个给定

11、的数集。如果对于每个数是一个给定的数集。如果对于每个数x D，变量变量 y 按照一定法则总有确定的数值和按照一定法则总有确定的数值和x对应，则称对应，则称 y 是是 x 的函数，记作的函数，记作y f(x)。定义中，数集定义中，数集D叫做这个函数的定义域，叫做这个函数的定义域，x叫做自变量，叫做自变量，y叫做因变量。叫做因变量。函数符号函数符号:函数函数y f(x)中表示对应关系的记号中表示对应关系的记号f 也可改也可改用其它字母，用其它字母，例如例如j j、F 等等。此时函数就记作。此时函数就记作y j j(x)，y=F(x)。值域：值域：Rf=y|y=f(x),x D。定义域：定义域：在数

12、学中，有时不考虑函数的实际意义，在数学中，有时不考虑函数的实际意义，而抽象地研究用算式表达的函数。这时约定函而抽象地研究用算式表达的函数。这时约定函数的定义域就是自变量所能取的使算式有意义数的定义域就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。的一切实数值。函数值：函数值：任取任取 x D，与，与 x对应的对应的 y的数值称为函数的数值称为函数 y f(x)在点在点 x处的函数值，记为处的函数值，记为 f(x)。求函数的定义域举例：求函数的定义域举例：解解:要使函数有意义要使函数有意义,必须必须x 0,且且x2 4 0。解不等式得解不等式得|x|2。函数的定义域为函数的定义域为 D x|x|2,

13、或或D(,-2 2,+)。4.函数的图形函数的图形在坐标系在坐标系xOy内，集合内，集合 C(x,y)|y f(x)，x D所对应的图形称为函数所对应的图形称为函数y f(x)的图形。的图形。O yxC(x,y)xyRfDy=f(x)如果自变量在定义域内任取一个数值时，如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值只有一个，这种函数叫做单值对应的函数值只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。函数，否则叫做多值函数。以后凡是没有特别说明时，函数都是指单以后凡是没有特别说明时，函数都是指单值函数。值函数。5.函数举例函数举例例例1.在直角坐标系中，由方程在直角坐标系中，由方程x2+

14、y2 r2确确定了一个函数。定了一个函数。对于任意对于任意x(r,r)，对应的函数值有两个：对应的函数值有两个：22xry 及及y=22xr 。例例2.函数函数 y 2。函数的定义域为函数的定义域为D (,+)。函数的值域为函数的值域为Rf 2。函数的图形为一条平行于函数的图形为一条平行于x 轴的直线。轴的直线。yOxy=22 函数的定义域为函数的定义域为D(,+)。函数的值域为函数的值域为Rf 0,+)。yxOy|x|x,x 0 x,x0 0,当当x 0 1,当当x0 例例4.函数函数 y sgn x 称为符号函数。称为符号函数。例例5.5.函数函数y=x称为取整函数称为取整函数,任给任给x

15、,x取值取值为不超过为不超过x的最大整数的最大整数,即即x-1M。Oxyy=f(x)y=-My=M函数的有界性举例：函数的有界性举例：f(x)sin x在在(,+)上是有界的：上是有界的：即即|sin x|1。-11yxO-2p pp pp 2pp 2py=sin xOxy1 2y=1/x 函数函数f(x)1/x在开区间在开区间(0,1)内是无界的。内是无界的。无界函数举例：无界函数举例：函数函数f(x)1/x在在(0,1)内内有下界，无上界。有下界，无上界。这是因为，任取这是因为，任取M1，总有总有0 x1M 111M，所以函数无上界。所以函数无上界。但此函数在但此函数在(1,2)内是内是

16、有界的。有界的。2.函数的单调性函数的单调性x1x2f(x2)f(x1)OxyI y=f(x)设函数设函数y f(x)在区间在区间I上有定义。如果对上有定义。如果对于区间于区间 I 上任意两点上任意两点x1及及x2,当当x1 x2时，恒有时，恒有f(x1)f(x2)，则称函数则称函数f(x)在区间在区间I上是单调增加的。上是单调增加的。如果对于区间如果对于区间I上任意两点上任意两点x1及及x2，当当 x1 f(x2)，单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。设函数设函数f(x)的定义域的定义域D关于原点对称。如关于原点对称。如果对于任意的果对于任意的x

17、D，有有f(x)f(x)，则称则称f(x)为偶函数。为偶函数。3.函数的奇偶性函数的奇偶性Oxy-xxf(-x)f(x)y f(x)偶函数举例：偶函数举例：y x2，y cos x都是偶函数都是偶函数偶函数的图形关于偶函数的图形关于y轴对称。轴对称。奇函数举例：奇函数举例：y x3，y sin x都是奇函数。都是奇函数。101x-22y 如果对于任意的如果对于任意的x D，有有 f(x)f(x)，则则称称f(x)为奇函数。奇函数的图形关于原点对称。为奇函数。奇函数的图形关于原点对称。设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为D。如果存在一个不为零的如果存在一个不为零的数数 l，使得对于任一使得

18、对于任一x D有有(x l)D，且且 f(x+l)f(x)，则称则称f(x)为周期函数，为周期函数，l 称为称为f(x)的周期。的周期。周期函数的图形特点：周期函数的图形特点：yxOl2l-2l-ly=f(x)4.函数的周期性函数的周期性四、反函数与复合函数四、反函数与复合函数对于任一数值对于任一数值 y W，D上可以确定唯一数上可以确定唯一数值值 x 与与 y 对应，这个数值对应，这个数值 x 适合关系适合关系 f(x)y。如果把如果把 y看作自变量，看作自变量，x 看作因变量，按看作因变量，按照函数的定义就得到一个新的函数，这个照函数的定义就得到一个新的函数，这个新函数称为函数新函数称为

19、函数y f(x)的反函数，记作的反函数，记作 x=f-1(y)。1.反函数反函数设函数设函数y f(x)的定义域为的定义域为D，值域为值域为W。Oxyxy=f(x)yOxy-xxy=f(x)y 单调函数存在反函数单调函数存在反函数.什么样的函数存在反函数？什么样的函数存在反函数？在数学中，习惯上自变量用在数学中，习惯上自变量用x表示，因变量用表示，因变量用y 表表示。按此习惯，我们把函数示。按此习惯，我们把函数 y f(x)的反函数的反函数x=f-1(y)改写成改写成y f-1(x)。反函数的图形：反函数的图形：反函数的图形与反函数的图形与直接函数的图形关直接函数的图形关于直线于直线y=x对

20、称。对称。Oxyy=xy=f(x)y=j j(x)P(a,b)Q(b,a)关于反函数的变量符号：关于反函数的变量符号：例例函数函数 y=表示表示 y是是 x的函数，它的定义域为的函数，它的定义域为 11，112复合函数复合函数对于任一对于任一 x 11，11，先先计算计算 u=1 x2，然后再计然后再计算算 y=，这就是说函数这就是说函数 y=的对应法则是由函的对应法则是由函数数u=1 x2和和y=所决定的，我们称函数所决定的，我们称函数 y=是是由函数由函数u=1 x2和和y=复合而成的复合函数，变量复合而成的复合函数，变量 u称称为中间变量为中间变量设设 u=1-x2，则函数则函数 y

21、=的值可以按如的值可以按如下方法计算：下方法计算：D1D2u=j j(x)y=f(u)y=f j j(x)复合函数的定义：复合函数的定义：一般地，设函数一般地，设函数y=f(u)的定义域为的定义域为D1，函数函数u=j j(x)在数集在数集D2上有定义，如果上有定义，如果 u|u=j j(x)，x D2 D1则对于任一则对于任一 x D2，通过变量通过变量u能确定一个变量能确定一个变量y的值，的值，这样就得到了一个以这样就得到了一个以x为自变量、为自变量、y为因变量的函数，为因变量的函数，这个函数称为由函数这个函数称为由函数 y=f(u)和和u=j j(x)复合而成的复合复合而成的复合函数，记

22、为函数，记为y=f j j(x)，其中定义域为其中定义域为D2，u称为中间称为中间变量变量复合而成的其中复合而成的其中u，v 都是中间变量都是中间变量函数函数y=可看作是由可看作是由y=，u=1+v2，v=lnx函数函数y=，u=cot v，v=经复合可得函数经复合可得函数问：函数问：函数y=arcsin u与与u=2+x2能构成复合函数吗？能构成复合函数吗？y=例例函数函数y=arctan x2可看作是由可看作是由y=arctan u和和u=x2复合而成的复合而成的五、初等函数五、初等函数1.幂函数幂函数函数函数 y=xm m（m m 是常数）叫做是常数）叫做幂函数幂函数幂函数的定义域

23、：与常数幂函数的定义域：与常数m m 有关，但函数在有关，但函数在（0 0，+）内总有定义）内总有定义最常见的幂函数：最常见的幂函数：xyO11y=x 2y=xy=xxyO11y=x 1y=x31a1y=axxyO常用的指数函数为常用的指数函数为 y=ex.2指数函数指数函数函数函数 y=ax(a是常数，且是常数，且a0，a 1)叫做指数函数叫做指数函数指数函数的定义域：指数函数的定义域：D=（，+）单调性：单调性：若若a1，则指数函数单调增加；则指数函数单调增加；若若0a1y=axxyOy=logax3对数函数对数函数指数函数指数函数y=ax的反函数叫做对数函数，记为的反函数叫做对数函

24、数，记为y=logax(a0，a 1)对数函数的对数函数的定义域是区间定义域是区间(0，+)自然对数函数：自然对数函数：y=ln x=loge x.常用的三角函数有：常用的三角函数有：正弦函数：正弦函数：y=sin x1-1y=cos x余弦函数：余弦函数：y=cos x1-1y=sin xyxOxyO4三角函数三角函数正切函数：正切函数：y=tan x 余切函数：余切函数：y=cot xxyO p pp p p p 2 2 p p 2 2xyO p pp p p p 2 2 p p 2 2y=tan xy=cot x反三角函数是三角函数的反函数反三角函数是三角函数的反函数.反正弦函数：反正弦

25、函数：y=arcsin x，定义域为定义域为-1，1.反余弦函数：反余弦函数：y=arccos x 定义域为定义域为-1，1-11yxO p p 2 2p p2 2y=arcsin xyxOp p-11y=arccos x5反三角函数反三角函数反正切函数：反正切函数：y=arctan x,定义域为定义域为(-，).Oxy p p 2 2p p2 2y=arctan x p p 2 2p p2 2 其值域规定为其值域规定为(，)其值域规定为其值域规定为(0，p)p)反余切函数：反余切函数：y=Arccot x，定义域为定义域为(-，+).y=arccot xOxyp p6基本初等函数与初等函数基

26、本初等函数与初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三函数和反三角幂函数、指数函数、对数函数、三函数和反三角函数统称为函数统称为基本初等函数基本初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的并可用一个式子表有限次的函数复合步骤所构成的并可用一个式子表示的函数，称为示的函数，称为初等函数初等函数都是初等函数都是初等函数例如例如，一、数列的概念一、数列的概念二、数列的极限二、数列的极限三、用定义证明极限举例三、用定义证明极限举例四、收敛数列的性质四、收敛数列的性质数列、数列举例、数列的几何意义极限的通俗定义、极限的精确定义、

27、极限的几何意义极限的唯一性、收敛数列的有界性收敛数列与其子数列间的关系1.2 数列的极限数列的极限一、数列极限的概念一、数列极限的概念如可用渐近的方法求圆的面积？如可用渐近的方法求圆的面积？用圆内接正多边形的面积近似圆的面积：用圆内接正多边形的面积近似圆的面积：1.数列数列一个实际问题一个实际问题正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正形的面积形的面积该方法称为该方法称为割圆术割圆术数列：数列：如如果果按按照照某某一一法法则则，使使得得对对任任何何一一个个正正整整数数n对对应应着一个确定的实数着一个确定的实数xn，则得到一列有次序的数则得到一列有次序的数 x1，x

28、2，x3，xn，这这一一列列有有次次序序的的数数就就叫叫做做数数列列，记记为为xn，其其中中第第n 项项xn 叫做数列的叫做数列的一般项一般项数列举例：数列举例：数列举例：数列举例：2，4，8，2n，；一般项为一般项为2n一般项为一般项为 1 2n 1，1，1，(1)n+1，；一般项为一般项为(1)n+1一般项为一般项为数列的几何意义：数列的几何意义：数列数列xn可以看作自变量为正整数可以看作自变量为正整数 n 的函数：的函数：xn=f(n)，它的定义域是全体正整数它的定义域是全体正整数x1x8x7x6x5x4x3x2xnOx数列与函数：数列与函数：x1=f(1)，x2=f(2)，x3=f(3

29、)，x4=f(4)，xn=f(n)数列数列xn可以看作数轴上的一个动点，它依次取可以看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点数轴上的点 x1，x2，x3，xn，例如例如xn a而数列而数列2n，(-1)n+1，是发散的是发散的记为记为2.数列的极限的通俗定义：数列的极限的通俗定义：对于数列对于数列xn，如果当如果当n 无限增大时，数列的一般无限增大时，数列的一般项项xn无限地接近于某一确定的数值无限地接近于某一确定的数值a ，则称常数则称常数a 是数是数列列xn的极限，或称数列的极限，或称数列xn收敛于收敛于a 如果数列没有极限，就说数列是发散的如果数列没有极限，就说数列是发散的所以数列所以数

30、列是收敛的是收敛的问题问题:当当无限增大时无限增大时,是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?对极限仅仅停留于直观的描述和观察是非常不够的对极限仅仅停留于直观的描述和观察是非常不够的凭观察能判定数列凭观察能判定数列的极限是多少吗的极限是多少吗显然不能显然不能.问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语如何用数学语言刻划它言刻划它.“当当n无限增大时，无限增大时，xn无限接近于无限接近于a”等价于：当等价于：当n无限增大时，无限增大时，|xn a|无限接近于无限接近于0；或者说，要；或者说，要|xn a|有多小，只要有多小

31、，只要n足够大，足够大，|xn a|就能有多小就能有多小这就是这就是“当当n无限增大时，无限增大时，xn无限地接近于无限地接近于1”的的实质和精确的数学描述。实质和精确的数学描述。3.极限的精确定义：极限的精确定义：定义定义如果数列如果数列xn与常数与常数a 有下列关系：对于有下列关系：对于任意给定的正数任意给定的正数e e(不论它多么小不论它多么小),总存在正整数总存在正整数N,使得对于使得对于n N 时的一切时的一切xn,不等式不等式|xn a|N时的一切时的一切xn，不等式不等式|xn a|N 时，所有的点时，所有的点 xn 都落在区间都落在区间(a-e,e,a+e e)内，而只有内

32、，而只有有限有限(至多只有至多只有N个个)个在区间个在区间(a-e,e,a+e e)以外以外.xOaa-e ea+e e()x 1x NxN+1xN+2xN+3xN+5xN+4x 2对于任意给定的正数对于任意给定的正数e e0，.1)1()1(1)1(|1|111nnnnnnnxnnnn +要使要使,1|1|e e n只需只需4、用定义证明极限举例、用定义证明极限举例分析：分析：故取故取.1 e eN 证明：因为对于任意给定的证明：因为对于任意给定的e e0，存在存在N=1/e e，使当使当nN时，有时，有所以所以 e e1|1|nxn.1)1(lim1 +nnnn对于任意给定的对于任意

33、给定的e e 0，要使，要使只需只需故取故取分析：分析：所以所以证明：因为对任意给定的正数证明：因为对任意给定的正数e e0(任意小任意小),存在存在使当使当nN时时，有有e e)1(12+n0)1()1(|0|2+nxnn注注定义习惯上称为数列极限的定义习惯上称为数列极限的N定义，它用两个定义，它用两个动态指标动态指标和和N刻画了极限的实质，用刻画了极限的实质，用|xna|定量地刻画了定量地刻画了xn 与与a 之间的距离任意小，即任给之间的距离任意小，即任给0标志着标志着“要多小要多小”的要求，用的要求，用n N表示表示n充分充分大。这个定义有三个要素：大。这个定义有三个要素：10，正数

34、正数，20，正数正数N，30，不等式，不等式|xna|（n N）.定义中的定义中的具有二重性：一是具有二重性：一是的任意性，二是的任意性，二是的相对固定性。的相对固定性。定义中的定义中的N是一个特定的项数，与给定的是一个特定的项数，与给定的有关。有关。重要的是它的存在性，它是在重要的是它的存在性，它是在相对固定后才能确定相对固定后才能确定的，且由的，且由|xna|来选定，一般说来，来选定，一般说来，越小，越小，N越越大，但须注意，对于一个固定的大，但须注意，对于一个固定的，合乎定义要求的，合乎定义要求的N不是唯一的。用定义验证不是唯一的。用定义验证xn 以以a 为极限时，关键在为极限时，关键在

35、于设法由给定的于设法由给定的，求出一个相应的，求出一个相应的N，使当，使当n N时，时，不等式不等式|xna|成立。成立。在证明极限时在证明极限时，n，N之间的逻辑关系如下图所示之间的逻辑关系如下图所示|xna|n N定义中的不等式定义中的不等式|xna|（n N）是指下面）是指下面一串不等式一串不等式都成立，都成立，而对而对则不要求它们一定成立则不要求它们一定成立注意：注意：数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.对于任意给定的正数对于任意给定的正数e e0，分析：分析：要使要使例例 3 设设|q|N时，有时，有所以所以.1lim1=-nnq 例例 3 设设|q|

36、N时的时的一切一切xn，不等式不等式|xn-a|N时，时，|xn|=|(xn-a)+a|xn-a|+|a|0(或或 a0,当当nN时时,都有都有xn 0 推论推论如果数列如果数列xn收敛于收敛于a，且从某项起有且从某项起有xn0(或或xn0),则则a 0(或或a 0).2如如果果数数列列xn收收敛敛，那那么么数数列列xn一一定定有有界界发发散散的的数数列列是是否否一一定定无无界界?有有界界的的数数列列是是否否收收敛敛?讨论：讨论：1.3 1.3 函数的极限函数的极限2.自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限1.自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限极限的通

37、俗定义、极限的通俗定义、极限的几何意义、极限的几何意义、极限的局部保号性、极限的局部保号性、极限的精确定义、极限的精确定义、左右极限左右极限极限的通俗定义、极限的通俗定义、极限的精确定义、极限的精确定义、极限的几何意义、极限的几何意义、水平渐近线水平渐近线一、函数极限的概念一、函数极限的概念二、函数极限的性质二、函数极限的性质关于函数的极限，根据自变量的变化过程，我们关于函数的极限，根据自变量的变化过程，我们主要研究以下两种情况：主要研究以下两种情况：一、当自变量一、当自变量x的绝对值无限增大时，的绝对值无限增大时，f(x)的变化趋势，的变化趋势，二、当自变量二、当自变量x无限地接近于无限地

38、接近于x0时，时，f(x)的变化趋势的变化趋势一、函数极限的概念一、函数极限的概念函数极限的通俗定义：函数极限的通俗定义：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值数值 f(x)无限接近于某一确定的常数无限接近于某一确定的常数A，那么这那么这个确定的常数个确定的常数A就叫做在这一变化过程中函数就叫做在这一变化过程中函数f(x)的极限的极限先看一个例子先看一个例子这个函数虽在这个函数虽在x=1处处无定义，但从它的图无定义，但从它的图形上可见，当点从形上可见，当点从1的的左侧或右侧无限地接左侧或右侧无限地接近于近于1时，时，f(x)的值无的值无限地接近于限地

39、接近于4，我们称，我们称常数常数4为为f(x)当当x1 时时f(x)的极限。的极限。1xyo41.自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限f(x)A或或f(x)A(当当x x0)f(x)A e0,e0,0 0,当当0|x x0|时，时，有有|f(x)A|e e 1)函数极限的精确定义：函数极限的精确定义：设设函函数数f(x)在在点点x0的的某某一一去去心心邻邻域域内内有有定定义义.如如果果对对于于任任意意给给定定的的正正数数e e(不不论论它它多多么么小小)，总总存存在在正正数数，使使得得对对于于适适合合不不等等式式0|x x0|的的一一切切 x，对对应应的的函函数值数值f(x

40、)都满足不等式都满足不等式|f(x)A|e e，那么常数那么常数A就叫做函数就叫做函数f(x)当当x x0时的极限，记为时的极限，记为注注定义习惯上称为极限的定义习惯上称为极限的定义定义,其三个要素：其三个要素：10。正数。正数，20。正数。正数，30。不等式。不等式定义中定义中所以所以x x0时时，f(x)有无极限与有无极限与 f(x)在在x0处的处的状态并无关系，这是因为我们所关心的是状态并无关系，这是因为我们所关心的是f(x)在在x0附近的变化趋势，即附近的变化趋势，即 x x0时时f(x)变化有无终极变化有无终极目标，而不是目标，而不是f(x)在在x0这一孤立点的情况这一孤立点的情

41、况。约定。约定x x0但但 xx0.0反映了反映了x充分靠近充分靠近x0的程度，它依赖于的程度，它依赖于，对一固定的对一固定的而言，合乎定义要求的而言，合乎定义要求的并不是唯并不是唯一的。一的。由不等式由不等式|f(x)A|来选定，来选定，一般地，一般地，越小，越小，越小越小.2)几何解释几何解释:因此对于任意因此对于任意给定的正数给定的正数e e，当当0|x x0|时，时，|f(x)A|=|c c|=0e e成立，成立，举例：举例：证明证明:这里这里|f(x)A|=|c c|=0，都有都有所以所以任意取一正数任意取一正数，成立成立|f(x)-A|=|x-x0|e e当当 0|x-x0|=

42、e e 时时,的正的正数数e,e,总可取总可取=e,e,因此对于任意给定因此对于任意给定能使不等式能使不等式所以所以证明：这里证明：这里|f(x)-A|=|x-x0|，|f(x)1|=|(2x 1)1|=2|x 1|e e，当当0|x 1|d d时，有时，有只要只要|x 1|0e0，d 0d 0，因此因此证明：证明：|f(x)A|=|(2x 1)1|=2|x 1|，为了使为了使|f(x)-A|0 0，e e 0 0，从而从而只需只需|x 1|，|f(x)-2|=|x 1|e e，使当使当0|x 1|，有有|f(x)-2|=|2|要使要使|f(x)2|0e0，0 0，当当 x0-xx0 时时

43、,有有|f(x)A|X的一切的一切x，对应的函数数值对应的函数数值f(x)都满足不等式都满足不等式|f(x)A|0,0,X 0,0,当当|x|X时时,有有|f(x)A|X时，时，要证存在正数要证存在正数X，分析：设分析：设e e是任意给定的正数是任意给定的正数因为对因为对 e e00，X=，使当使当|x|X时，有时，有水平渐近线：水平渐近线：直线直线y=0是函数是函数y=的的图形的水平渐近线图形的水平渐近线已知已知 xyO11如果如果，Oxy p p 2 2p p2 2y=arctan x 例如，函数例如，函数y=arctanx的图形的水平渐近线有两条：的图形的水平渐近线有两条：则直线则直线

44、y=c是是函数函数y=f(x)的图的图形的水平渐近线形的水平渐近线一般地，一般地，和和二、函数极限的性质二、函数极限的性质1.局部有界性局部有界性2.唯一性唯一性定理定理如果如果,那么存在正数那么存在正数,M，使得，使得当当d d 00 xx时，有时，有Mxf|)(|.定理定理若若存在存在,则极限唯一则极限唯一.3(3(局部保号性局部保号性)推论推论1.4 1.4 极限的运算法则极限的运算法则一、无穷小与无穷大一、无穷小与无穷大二、极限的四则运算法则二、极限的四则运算法则三、复合函数的极限运算法则三、复合函数的极限运算法则一、无穷小与无穷大一、无穷小与无穷大如如果果函函数数f(x)当当x

45、 x0(或或x )时时的的极极限限为为零零，那那么么函函数数 f(x)叫叫做做x x0(或或x )时时的的无无穷穷小小 1.无穷小无穷小所以函数所以函数x11是是当当x1时的无穷小时的无穷小例如例如因为因为，注意注意1.称函数为无穷小，必须指明自变量的称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程；变化过程；2.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;3.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.2.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:证证必要性必要性充分性充分性例如例如，因为因为，而而所以所以定理定理1说明说明如果函数可表示为常数

46、与无穷小之和，那么如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是这函数的极限该常数就是这函数的极限意义意义 1.1.将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小无穷小););3.无穷小的运算性质无穷小的运算性质:定理定理2 在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中,有限个无有限个无穷小的代数和仍是无穷小穷小的代数和仍是无穷小.注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论2 有限

47、个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小都是无穷小?)sin11(lim2+xxxx问：问：4.4.无穷大无穷大如果当如果当x x0(或或x)时，对应的函数值的绝对时，对应的函数值的绝对值值|f(x)|无限增大，就说函数无限增大，就说函数f(x)当当x x0 (或或x)时为无穷大，记为时为无穷大，记为注意注意1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;2.当当x x0(或或x)时为无穷大的函数时为无穷大的函数f(x)，按函数极限定义来说，极限是不存在的但按函数极限定义来说，极限是不存在的但为了便于叙述函数的这一性态，我们也说为了便于叙述函数的这

48、一性态，我们也说“函数的极限是无穷大函数的极限是无穷大”特殊情形：特殊情形：例如例如:证证无穷小与无穷大的关系：无穷小与无穷大的关系：定理定理2 在自变量的同一变化过程中，如果在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为为无穷大，则无穷大，则)(1xf为无穷小为无穷小；反之，如果反之，如果f(x)为无穷小，为无穷小，)(1xf则则为无穷大为无穷大二、极限的四则运算法则二、极限的四则运算法则定理定理3 如果如果lim f(x)A，lim g(x)B，则则（1）lim f(x)g(x)存在，且存在，且lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=A B （2）lim f(x)g(x

49、)存在，且存在，且 lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=A B)()(limxgxf)(lim)(limxgxf BA 定理简言之即是：和、差、积、商的极限定理简言之即是：和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商等于极限的和、差、积、商.定理中极限号下面没有指明极限过程，是指定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对任何一个过程都成立对任何一个过程都成立.说明说明:推论推论1 1即常数因子可以提到极限记号外面即常数因子可以提到极限记号外面.推论推论2 2 解解 1 21 1解解例例3 3解解商的法则不能用商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系得由无穷小与无穷大的关系得讨

50、论：讨论：当当x x0 时，多项式的极限时，多项式的极限有理分式的极限有理分式的极限观察：观察：小结小结:先用先用x3去除分子及分母去除分子及分母,然后取极限然后取极限:解解先用先用x3去除分子及分母去除分子及分母,然后取极限然后取极限:解解例例4 求求 xlim3572432323+xxxx 例例5 求求xlim52123232+-xxxx解解应用例应用例6的结果得的结果得根据例根据例5、6、7讨论有理函数当讨论有理函数当x时的极限：时的极限：讨论：讨论：其中其中a0 0、b0 0，m和和n为非负整数为非负整数=例6 求xlim12352223-+-xxxx结论：结论：当当a0 0、b0

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