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1、数学物理方法李晓红西南科技大学理学院西南科技大学理学院12/26/2022n复变函数积分的定义复变函数积分的定义n复变函数积分的性质复变函数积分的性质n柯西定理柯西定理n柯西积分公式柯西积分公式复变函数的积分复复变函数的函数的积分分.积分的定义：说明：说明：(1)当当 是连续函数，且是连续函数，且L是光是光滑曲线时，积分滑曲线时，积分 一定存在；一定存在；(2)可以通过两个二元可以通过两个二元实变函数的线积分来计算实变函数的线积分来计算.复积分的基本性质复积分的基本性质(1)若若 f(z)沿沿L 可积，且可积，且 L 由由 L1 和和 L2 连连接而成，则接而成，则 (2)常数因子常数因子 k
2、 可以提到积分号外，即可以提到积分号外，即 (3)函数和（差）的积分等于各函数积分的和函数和（差）的积分等于各函数积分的和（差），即（差），即 (4)若积分曲线的方向改变，则积分值改变符号若积分曲线的方向改变，则积分值改变符号.即即 其中，其中，L-为为 L 的负向曲线的负向曲线 闭曲线的正方向：曲线上点顺此方向沿该曲线前进时，邻近P点曲线内部始终位于P点的左方0 xy111+i0 xy111+i解法一解法一例 计算 其中 C 以 z0为中心，r为半径的正方向，n 为整数解：的方程为所以：结论：与积分路线的圆周中心及半径无关柯西定理如果函数在单连通区域内处处解析那么函数沿内任何一条封闭曲线的积
3、分为零 柯西定理：如果曲线是区域的边界，在内及上解析即在闭区域上解析则柯西古萨积分定理注：经修改后的柯西古萨积分定理成立的条件可以注：经修改后的柯西古萨积分定理成立的条件可以弱化为弱化为在区域在区域D内解析，在边界上连续内解析，在边界上连续以后使用中，以后使用中，当满足此条件时柯西积分定理仍然成立当满足此条件时柯西积分定理仍然成立这个定理是柯西这个定理是柯西(Cauchy)(Cauchy)于于18251825年发表的，年发表的，古萨古萨(Goursat)(Goursat)于于19001900年提出了修改，故又称为年提出了修改，故又称为柯西古萨定理柯西古萨定理.柯西定理推论这个定理可用来计算周线
4、内部有奇点这个定理可用来计算周线内部有奇点的积分的积分!柯西定理柯西定理2柯西积分公式柯西积分公式有界区域的单连通柯西积分公式有界区域的单连通柯西积分公式 定理定理 （柯西积分公式）（柯西积分公式）如果如果 在有界在有界区域区域D处处解析，处处解析，L为为D内的任何一条正向简单闭内的任何一条正向简单闭曲线，且其内部全含于曲线，且其内部全含于D,为为L内的任一点，内的任一点，那么那么 称为柯西积分公式。称为柯西积分公式。柯西积分公式柯西积分公式意意义义:对对于于解解析析函函数数，只只要要知知道道了了它它在在区区域域边边界界上上的的值值，那那么么通通过过上上述述积积分分公公式式，区区域域内内部部点
5、点上上的的值就完全确定了值就完全确定了结论：如果两个解析函数在区域的边界上处处相结论：如果两个解析函数在区域的边界上处处相等，则它们在整个区域上也相等等，则它们在整个区域上也相等设 f(z)在区域 D 内解析，在边界 C 上连续，则1.任意阶导数任意阶导数 在区域 D 内函数 f(z)的任意阶导数存在，且：2.Morera 定理定理：设函数 f(z)在区域 D 内连续，且沿区域内任意围线积分为零，则该函数在区域 D 内解析。柯西积分公式的重要推论柯西积分公式的重要推论例 计算 其中 C 以 z0为中心，r为半径的正方向，n 为整数 1 y1C1 O L x1C2解题思路 1 y1C1 O L
6、x1C2计算积分计算积分 【解解】（1）注注意意到到 在在复复平平面面内内解解析析，而而 -i 在积分环路在积分环路C内，由柯西积分公式得内，由柯西积分公式得 （2）注注意意到到函函数数 在在 内内解解析析，而而 i 在在 内，内，由柯西积分公式得由柯西积分公式得【解解】根据柯西积分公式，得到故得到故得到 任何两个原函数相差一个常数不定积分的定义不定积分的定义:定理定理(复积分的复积分的Newton-LeibnitzNewton-Leibnitz公式公式)例题例题例2 计算积分计算积分【解法【解法1】在整个复平面上解析，且在整个复平面上解析，且 例3 计算积分可用分部积分法得可用分部积分法得【解】【解】由于由于 在复平面内处处解析，在复平面内处处解析，复变函数积分计算方法总结方法一方法一方法二方法二方法三方法三方法四方法四作 业nP31：2-10（任选1个）；nP31：2-11（任选2个）；nP32：2-12；