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1、机械波机械波波动是振动状态的传播，不是介质的传播。波动是振动状态的传播，不是介质的传播。“上上游游”的的质质元元依依次次带带动动“下下游游”的的质质元元振振动动。某某时时刻刻某某质质元元的的振振动动状状态态将将在在较较晚晚的的时时刻刻于于 “下游下游”某处出现。某处出现。波函数波函数 t时刻波形图时刻波形图 x处质点的振动曲线处质点的振动曲线有一平面简谐波，波速为有一平面简谐波，波速为u。已知在传播方向上某点。已知在传播方向上某点P的振动方程为：的振动方程为：就图示的四种坐标系，写出各自的波函数就图示的四种坐标系，写出各自的波函数PuxyPOuxylPuxyPOuxyl一沿一沿x 轴正向传播的
2、平面简轴正向传播的平面简谐波在谐波在t=0 时刻的波形图如时刻的波形图如图，图，a点的振动曲线为点的振动曲线为 t=0u0yxa体积元总机械能体积元总机械能总结：总结：质元的动能、势能、总能量都随质元的动能、势能、总能量都随t t作周期性变化，动能、作周期性变化，动能、势能同时达到最大值，又同时达到最小值。势能同时达到最大值，又同时达到最小值。质元的机械能不质元的机械能不守恒。在横波中，波峰位置处，动能和势能都为零，总能量守恒。在横波中，波峰位置处，动能和势能都为零，总能量为零；平衡位置处，动能和势能同时最大最大，总能量最大。为零；平衡位置处，动能和势能同时最大最大，总能量最大。在行波的传播过
3、程中，在行波的传播过程中，质元的动能和势能的时间关系相同，同质元的动能和势能的时间关系相同，同相且大小相同。相且大小相同。满满足足相相干干条条件件的的波波源源称称为为相相干干波波源源。具有具有恒定的相位差恒定的相位差 振动方向相同振动方向相同 两波源的两波源的波振幅相近或相等时干涉现象明显。波振幅相近或相等时干涉现象明显。两波源具有两波源具有相同的频率相同的频率&相干条件：相干条件：S1r1S2r2PP点的合振动为点的合振动为S1r1S2r2P&干涉加强、减弱的条件干涉加强、减弱的条件两列波传到两列波传到P点的振动方程为点的振动方程为是一个恒量是一个恒量,不随时间而变不随时间而变,只是空间位置
4、的函数。因此只是空间位置的函数。因此空间空间每点每点的的合振幅合振幅 A 也是一个恒量。也是一个恒量。两列波叠加后的强度两列波叠加后的强度叠加后空间各点的强度重新分布。叠加后空间各点的强度重新分布。若若I1=I2,则叠加后波的强度则叠加后波的强度当当 时时,在这些位置波强最大在这些位置波强最大,当当 时时,在这些位置波强最小在这些位置波强最小,I2 4 6-2 8-4-6-8 0 I=4I1。I=0。例例.S1、S2位于位于x轴上轴上,它们的坐标分别是它们的坐标分别是x10=0 m,x20=20.5 m,是同一介质中的两个波源是同一介质中的两个波源,它们它们激起的平面波沿激起的平面波沿x轴传轴
5、传播播,波速波速200m/s,频率为频率为 =100Hz,振幅振幅A=5cm,初相差初相差 1-2=/2,求求:x轴上因干涉而静止和加强的各点的位置轴上因干涉而静止和加强的各点的位置;QPRS1S2x0解：解：(1)取坐标如图所示，由题知：取坐标如图所示，由题知：=2 m 两波在两波在S 1 左侧的任一点左侧的任一点P的相位差：的相位差：区处处干涉相消区处处干涉相消QPRS1S2x0区处处干涉加强区处处干涉加强QPRS1S2x0 两波在两波在S 2 右侧的任一点右侧的任一点Q的相位差：的相位差：两波在两波在S 2 和和S 1 之间的任一点之间的任一点R的相位差：的相位差：讨论两列振幅相同的相干
6、波讨论两列振幅相同的相干波,在同一直线上在同一直线上,沿沿相反方向相向相反方向相向传播时所产生的叠加传播时所产生的叠加.可以看到弦线上形成了可以看到弦线上形成了稳定稳定的振动状态的振动状态,但各点但各点的振幅不同的振幅不同,有些点始终静止不动有些点始终静止不动,而另一些点则而另一些点则振动最强振动最强.驻波是干涉的特例驻波是干涉的特例驻波是干涉的特例驻波是干涉的特例.15-4-3 驻驻 波波oxyt=0uu一、一、用图示法耒讨论驻波的产生用图示法耒讨论驻波的产生t=T/8oxyuuoxyt=T/4uuoxyt=3T/8uuoxyt=T/2uuoxyt=T/2uu 驻波有一定的波形驻波有一定的波
7、形,此波形不移动此波形不移动,各点以各自确定的振各点以各自确定的振幅在各自的平衡位置附近振动幅在各自的平衡位置附近振动,没有振动状态或相位的传没有振动状态或相位的传播播.因此因此驻波是一种特殊的振动状态驻波是一种特殊的振动状态,不是波不是波,它不具备波它不具备波的特性。的特性。合成波合成波 合成以后各点都在做合成以后各点都在做同周期同周期的振动的振动,但但各点振幅不同各点振幅不同,合振幅最大值发生在合振幅最大值发生在 的点的点,因此因此波腹波腹的位置的位置 2 kx=2 kx=根据此表达式耒考查合成后空间各点的情况根据此表达式耒考查合成后空间各点的情况:二、二、用解析法耒讨论驻波用解析法耒讨论
8、驻波(a)考察驻波中各点的考察驻波中各点的振幅振幅驻波表达式中空间与时间的变量完全分开，完全失去行驻波表达式中空间与时间的变量完全分开，完全失去行波的特征，实际上是一种波的特征，实际上是一种特殊的振动特殊的振动！相邻两个波腹或相邻的两个波节之间的距离都是相邻两个波腹或相邻的两个波节之间的距离都是/2。(b)考察驻波中各点的相位考察驻波中各点的相位凡是使凡是使 的各点相位为的各点相位为2t。凡是使凡是使 的各点相位为的各点相位为2t+。而而 的各点即波节处不振动的各点即波节处不振动。合振幅最小值发生在合振幅最小值发生在 的点的点,因此因此波节波节的位置的位置/2 22 (2k+1)x=4(2k+
9、1)x=因此相邻的波节之间的相位是相同的因此相邻的波节之间的相位是相同的,而波节的两而波节的两边相位反相。边相位反相。同一波节间的各点步调一致同一波节间的各点步调一致,相邻波节间各点的步相邻波节间各点的步调正好相反。调正好相反。在驻波中，媒质质元的能量有如下特点：在驻波中，媒质质元的能量有如下特点：A.当当媒质质元媒质质元振动时其能量守恒振动时其能量守恒B.媒质质元的振动动能和弹性势能都作周期性变化，媒质质元的振动动能和弹性势能都作周期性变化，二者的大小相同，位相相同二者的大小相同，位相相同C.当当媒质质元媒质质元振动达到最大位移时，各质点动能为零，振动达到最大位移时，各质点动能为零，驻波的能
10、量为势能，波节处形变最大，势能集中在驻波的能量为势能，波节处形变最大，势能集中在波节。波节。D.驻波进行中有能量的定向传播驻波进行中有能量的定向传播E.B&DF.以上都不对以上都不对#1a1101013a(c)驻波的能量驻波的能量*当介质中各质元的当介质中各质元的位移都同时达到最大值位移都同时达到最大值时时全部能量都是全部能量都是势能势能,且集中在且集中在波节波节附近附近。*当介质中各质元当介质中各质元都同时经过平衡位置时都同时经过平衡位置时在在波节波节势能最大势能最大;波腹波腹势能最小势能最小全部能量都是全部能量都是动能动能,且集中在且集中在波腹波腹附近附近.波节波节动能为零动能为零,波腹波
11、腹动能最大动能最大能量能量在在波腹和波腹和波节之波节之间间 转转换。换。驻波进驻波进行中没行中没有能量有能量的定向的定向传播。传播。总能流总能流密度为密度为零。零。能量：能量：没有单向能量传输没有单向能量传输 驻波不传播能量。驻波不传播能量。驻波驻波能量被能量被“封闭封闭”在相邻波节和波腹在相邻波节和波腹间的间的/4的范的范围内，在此区间质元间有能量交换：围内，在此区间质元间有能量交换：能量由两端向中间传，能量由两端向中间传，瞬时位移为瞬时位移为0，能量由中间向两端传，能量由中间向两端传，势能势能 动能。动能。动能动能 势能。势能。势能为势能为0，动能最大。，动能最大。三三.波在界面的反射和透
12、射，波在界面的反射和透射，“半波损失半波损失”0透射波透射波 y2反射波反射波 y1 入射波入射波 y1z2z1x入射波入射波反射波反射波透射波透射波 介质的介质的“波阻波阻”波阻大的介质称为波密介质波阻大的介质称为波密介质波阻小的介质称为波疏介质波阻小的介质称为波疏介质透射波：透射波：（2）若）若 z1 z2，反射波：反射波：相位关系相位关系即即波密波密波疏，波疏，在界面处反射波和入射波同相在界面处反射波和入射波同相即即波波疏疏波波密密，在界面处反射波有相位突变在界面处反射波有相位突变 半波损失半波损失不论不论 z1 z2 还是还是 z1 z2，即即在界面处透射波总是与入射波同相在界面处透射
13、波总是与入射波同相忽略透射波，入射波和反射波的波形：忽略透射波，入射波和反射波的波形：波腹波腹相位不变相位不变波疏媒质波疏媒质波密媒质波密媒质x驻波驻波波节波节驻波驻波相位突变相位突变 波疏媒质波疏媒质波密媒质波密媒质x波在固定点的反射波在固定点的反射入射波和反射波在固定点引起的入射波和反射波在固定点引起的振动反向，叠加后振动反向，叠加后相消，所以固定相消，所以固定点是波节点是波节。波在自由点的反射波在自由点的反射入射波和反射波在自由点引起的入射波和反射波在自由点引起的振动同向，叠加振动同向，叠加后加强，所以自由后加强，所以自由点是波腹点是波腹。例例:有一平面简谐波有一平面简谐波,沿沿x正方向
14、传播正方向传播,图中所示图中所示为该波为该波t 时刻的波形图时刻的波形图.欲沿欲沿ox 轴形成驻波轴形成驻波,且且使原点使原点O O处出现波节处出现波节,画出另一简谐波画出另一简谐波 t 时刻的时刻的波形图波形图.x0u解解解解:另一简谐波另一简谐波与该波与该波的振幅相同的振幅相同,波长相同波长相同,传播方向传播方向相反相反.O O点两波相位差为点两波相位差为.u例例:已知一驻波在已知一驻波在t时刻各点振动到最大位移处时刻各点振动到最大位移处,其波形图如其波形图如(a)所示所示,有一平面简谐行波有一平面简谐行波,沿沿x正方正方向传播向传播,图图(b)所示为该波所示为该波t 时刻的波形图时刻的波
15、形图.(a)驻波驻波 x0abcd(b)行波行波 x0uabcd (1)试试分别在两图上注明分别在两图上注明a,b,c,d 四点此时的运动速度四点此时的运动速度(设横波设横波).(2)求两种情况下求两种情况下 a b.(1)对于驻波对于驻波a,b,c,d 四点此时的运动速度为零四点此时的运动速度为零.(2)对于驻波对于驻波 a b=0;对于行波对于行波 a b=解解解解:例：例：如图在如图在O点有一平面简谐波源点有一平面简谐波源,其振动方程为其振动方程为:产生的波沿产生的波沿x轴正、负方向传播轴正、负方向传播,位于位于x=-3-3/4/4处有一个处有一个波波密介质密介质反射平面反射平面MN,/
16、4NOM/2-/4-/2yx (1)写出写出反射波的波动方程反射波的波动方程;(2)写出写出合成波的波动方程合成波的波动方程;(3)讨论讨论合成波的平均能流密度合成波的平均能流密度;则则反射波的波动方程反射波的波动方程为为 /4NOM/2-/4-/2yxPO点振动方程点振动方程(2)在原点在原点O的的左方左方/4/4NOM/2/2-/4/4-/2/2yx合成后的方程：合成后的方程：在原点在原点O的的右方右方(3)合成波的合成波的平均能流：平均能流：合成后的方程合成后的方程驻波驻波简谐波简谐波在在O点左侧：点左侧：平均能流平均能流 I=0;在在O点右侧：点右侧：平均能流为原来的平均能流为原来的4
17、倍。倍。四四.简正模式简正模式驻波可以通过界面的反射叠加产生。实际上，驻波可以通过界面的反射叠加产生。实际上，任何任何有边界的系统有边界的系统内都可以存在驻波。内都可以存在驻波。驻波驻波本质是振动，是多自由度系统的集体振动。本质是振动，是多自由度系统的集体振动。类比弹簧振子系统可知：驻波系统也存在特类比弹簧振子系统可知：驻波系统也存在特定的振动频率，而且不止一个。一个频率对定的振动频率，而且不止一个。一个频率对应一个应一个稳定振动方式，稳定振动方式，称作系统的称作系统的简正模式，简正模式，相应频率称作相应频率称作简正频率简正频率或或固有频率。固有频率。固有频率固有频率完全由驻波系统（包含边界条
18、件）完全由驻波系统（包含边界条件）决定，与外界因素无关。决定，与外界因素无关。两端固定的弦中的简正模式两端固定的弦中的简正模式L（u 是弦中波速）是弦中波速）固定点为波节：固定点为波节：n=2二次二次谐频谐频n=3三次三次谐频谐频n=1基频基频n=3三次三次谐频谐频n=1基频基频一端固定，一端自由一端固定，一端自由两端自由两端自由LLn=1基频基频n=2二次二次谐频谐频 一一般般地地说说，对对于于一一个个驻驻波波体体系系存存在在无无限限多多个个本本征征频频率率和和简简正正模模式式。在在这这一一体体系系中中形形成成的的任任何何实实际际的的振振动动，都都可可以以看看成成是是各各种种简简正正模模式式的的线线性性叠叠加加，其其中中每每一一种种简简正正模模式式的的位位相相和和所所占占比例的大小，则由初始扰动的性质决定。比例的大小，则由初始扰动的性质决定。当当周周期期性性驱驱动动力力的的频频率率与与驻驻波波体体系系的的某某一一简简正正频频率率相相同同时时，就就会会使使该该频频率率驻驻波波的的振振幅幅变变得得最最大大，这这种种现现象象也也称称为为共共振振。利利用用共共振振方方法法可可以测量空气中的声速。以测量空气中的声速。第第15讲作业讲作业:15.14 18完成进阶物理振动和波分册完成进阶物理振动和波分册预习多普勒效应预习多普勒效应15.26 练习册练习册P115：17