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1、5.3 薛定薛定谔绘景与海森堡景与海森堡绘景景1、薛定谔绘景薛定谔绘景力学量力学量 A 不显含时间，不显含时间，对应的算符本身也不随时对应的算符本身也不随时间变化。间变化。其平均值和测值几率分布随时间的演化其平均值和测值几率分布随时间的演化完全归于波函数完全归于波函数 随时间的演化。随时间的演化。平均值平均值波函数波函数演化方程演化方程薛定谔薛定谔方程方程平均值随时演化方程平均值随时演化方程这种描述方式称为薛定谔绘景（这种描述方式称为薛定谔绘景（Schrdinger Picture，或者，或者 Schrdinger Representation）但问题是：波函数和算符本身都不是观测对象，但问题
2、是：波函数和算符本身都不是观测对象，实际观测对象是各种力学量的平均值和测值几率实际观测对象是各种力学量的平均值和测值几率分布。它们随时间的变化，还可以用其他方式表分布。它们随时间的变化，还可以用其他方式表达，其中之一就是海森堡绘景（达，其中之一就是海森堡绘景（Heisenberg Picture 或者或者 Heisenberg Representation）。）。2、海森堡绘景海森堡绘景体系的波函数体系的波函数 （态矢）不随时间的演化，而算（态矢）不随时间的演化，而算符随时间改变。符随时间改变。由薛定谔方程，形式上波函数由薛定谔方程，形式上波函数 (t)的解写为的解写为代入薛定谔方程，得代入薛
3、定谔方程，得U(t,0)为时为时间演化算符间演化算符因为因为(0)为任意函数，所以为任意函数，所以其实，其实，U(t,0)是将是将 t 时刻的状态时刻的状态(t)与初态与初态(0)联联系起来的一个连续变化的算符。系起来的一个连续变化的算符。如果如果H为厄米算符，则为厄米算符，则U(t,0)满足如下么正变换满足如下么正变换从而保证几率守恒从而保证几率守恒力学量力学量 A 的平均值的平均值其中已令其中已令可见，可见，A的平均值随时间的演化，完全可由算符的平均值随时间的演化，完全可由算符 A(t)来担当，而保持态矢来担当，而保持态矢 (0)不随时间变化。不随时间变化。算符算符A(t)随时间的演化方程
4、随时间的演化方程Heisenberg方程方程描述算符描述算符A(t)随随时演化。时演化。5.4 守恒量与守恒量与对称性的关系称性的关系1、经典力学下的守恒定律与对称性经典力学下的守恒定律与对称性人们早已认识到守恒定律与对称性的关系：人们早已认识到守恒定律与对称性的关系：三个典型例子：三个典型例子：空间平移不变性空间平移不变性(空间均匀性空间均匀性)动量守恒动量守恒 空间转动不变性空间转动不变性(空间各向同性空间各向同性)角动量守恒角动量守恒 时间平移不变性时间平移不变性(时间均匀性时间均匀性)能量守恒能量守恒重要性重要性借助守恒量借助守恒量(运动积分运动积分)，可以使运动方程的求解大，可以使运
5、动方程的求解大为简化，特别是在求解牛顿方程时更是如此。为简化，特别是在求解牛顿方程时更是如此。2、量子、量子力学的守恒量与对称性的关系力学的守恒量与对称性的关系量子力学关于对称性的研究大大丰富了对微观体量子力学关于对称性的研究大大丰富了对微观体系的认识：系的认识：借助体系对称性和守恒量及二者之间关系的分析，借助体系对称性和守恒量及二者之间关系的分析，往往不用严格求解薛定谔方程就可得出非常重要往往不用严格求解薛定谔方程就可得出非常重要的结论。的结论。（1）对称性变换）对称性变换设某种线形变换设某种线形变换 Q，其逆，其逆 Q-1 存在且不依赖于时存在且不依赖于时间。体系的状态间。体系的状态 经经
6、 Q 变换后为变换后为，即，即变变换换的的不不变变性性表表现现为为 和和 遵遵守守相相同同形形式式的的运运动动方方程，即薛定谔方程程，即薛定谔方程此此乃乃哈哈密密顿顿量量在在变变换换 Q 下下不不变变性性的的数数学学表表达达式式，凡凡是满足该式的变换，称为体系的对称性变换。是满足该式的变换，称为体系的对称性变换。（2）对称性变换与守恒量的关系）对称性变换与守恒量的关系体系所有对称性变换构成一个群体系所有对称性变换构成一个群(group)。此外，。此外，根据几率守恒的要求，根据几率守恒的要求，Q 必须为么正算符。必须为么正算符。对于连续变换，可以考虑无穷小变换，令对于连续变换，可以考虑无穷小变换
7、，令F 为厄米算符，可用来定义一个与为厄米算符，可用来定义一个与Q变换相联系的变换相联系的可观测量。又由于对称性变换要求可观测量。又由于对称性变换要求Q,H=0，则，则可得可得 F,H=0。可见。可见 F 就是体系的一个守恒量。就是体系的一个守恒量。（3）两个例子）两个例子a.空间平移不变性与动量守恒空间平移不变性与动量守恒xx+x =D 对对 D(x)=(x-x)进行展开进行展开px也也就就是是我我们们熟熟知知的的一一维维动量算符动量算符扩展至三维空间的无穷小平移，扩展至三维空间的无穷小平移，r r+r 总之，如果体系具有空间平移对称性，则体系的总之，如果体系具有空间平移对称性，则体系的动量守恒。动量守恒。b.空间旋转不变性与角动量守恒空间旋转不变性与角动量守恒设设 为为标标量波函数量波函数对对 R()=(-)进行展开进行展开Lz也也就就是是我我们们熟熟知知的的z轴轴的的角角动量算符动量算符扩展至三维空间绕扩展至三维空间绕 n 方向的无穷小旋转，方向的无穷小旋转，rnrr+r对对(r-n r)进行展开，得进行展开，得其中，其中，lr p为角动量算符。为角动量算符。