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1、数字信号处理辅导一、离散时间信号和系统的时域分析（一) 离散时间信号（1） 基本概念信号:信号传递信息的函数也是独立变量的函数，这个变量可以是时间、空间位置等.连续信号：在某个时间区间，除有限间断点外所有瞬时均有确定值。模拟信号：是连续信号的特例。时间和幅度均连续。离散信号:时间上不连续，幅度连续。常见离散信号-序列。数字信号：幅度量化,时间和幅度均不连续。（2） 基本序列（课本第 710 页）1,n = 01,n 01)单位脉冲序列d (n) = 0,n 02)单位阶跃序列u(n) = 0,n 03）矩形序列 RN1,0 n N -1(n) = 0,n 0, n N4）实指数序列anu(n)
2、5)正弦序列 x(n) = Asin(w n +q)6)复指数序列x(n) = e jwnes n0（3） 周期序列1） 定义:对于序列 x(n) ，若存在正整数 N 使 x(n) = x(n + N ),- n 则称 x(n) 为周期序列,记为 x(n) , N 为其周期.注意正弦周期序列周期性的判定(课本第 10 页）2） 周期序列的表示方法： a。主值区间表示法b。模 N 表示法3)周期延拓设 x(n) 为 N 点非周期序列,以周期序列 L 对作 x(n) 无限次移位相加，即可得到周期序列 x(n) ，即x(n) = x(n - iL)i=-当 L N 时， x(n) = x(n)RN(
3、n)当 L N 时， x(n) x(n)RN(n)（4)序列的分解序列共轭对称分解定理：对于任意给定的整数 M,任何序列 x(n) 都可以分解成关于c = M / 2 共轭对称的序列 x (n) 和共轭反对称的序列 x (n) 之和，即eox(n) = x (n) + x (n),- n eo并且11x (n) =x(n) + x* (M - n)x (n) =x(n) - x* (M - n)e2o2(4)序列的运算1） 基本运算运算性质描述序列相乘y(n) = x (n)x (n)y(n) = ax(n)12序列相加y(n) = x (n) + x (n)12序列翻转y(n) = x(-n
4、) （将 x(n) 以纵轴为对称轴翻转）尺度变换y(n) = x(mn)（序列 x(n) 每隔 m1 点取一点形成的序列）用单位脉冲序列表示x(n) = x(i)d (n - i)i=-2） 线性卷积：将序列 x(n) 以 y 轴为中心做翻转，然后做 m 点移位，最后与 x(n) 对应点相乘求和翻转、移位、相乘、求和定义式:y(n) =线性卷积的计算：A、图解B、解析法m=-x (m)x (n - m) = x (n) * x (n)1212C、不进位乘法（必须掌握） 3)单位复指数序列求和（必须掌握）N -1 - w1- e- jwNe- jwN /2 (e jwN /2 - e- jwN
5、/2 )e- jwN /2 (e jwN /2 - e- jwN /2 ) / (2 j)e j n =n=01- e- jwe- jw/2 (e jw/2 - e- jw/2 )e- jw/2 (e jw/2 - e- jw /2 ) / (2 j)sin(wN / 2)= e- jw( N -1)/2 sin(w / 2)如果w = 2p k / N ,那么根据洛比达法则有sin(wN / 2) = Nd (0)(k = 0)(或Nd (N )(k = N ) sin(w / 2)可以结合作业题 3。22 进行练习(5）序列的功率和能量能量: E =n=-| x(n) |2功率: P =
6、lim1N| x(n) |2N 2N +1n=- N（6）相关函数与随机信号的定义运算相同(二) 离散时间系统1系统性质（1） 线性性质定义:设系统的输入分别为 x (n) 和 x (n) ，输出分别为 y (n) 和 y(n) ，即1212y (n) = Tx (n), y (n) = Tx (n)1122统的输对于任意给定的常数a 、b ,下式成立y(n) = Tax (n) + bx (n)= a y (n) + by(n)1212则该系统服从线性叠加原理，为线性系统，否则为非线性系统。判定系统的线性性质时，直接用定义（2） 时不变性质统的如果系统对输入信号的运算关系在整个运算过程中不随
7、时间变化 ,则称该系统是时不变系统.即对任意给定的整数 i，若下式成立：y(n - i) = Tx(n - i)则称该系统为时不变系统，否则为时变系统。判定系统的时不变性质时，直接用定义（3） 系统的因果性定义：如果系统 n 时刻的输出序列只取决于 n 时刻及以前的输入序列,而与 n 时刻以后的输入序列无关,则称该系统具有因果性质，即系统是因果系统，否则是非因果系统。离散时间 LTI 系统具有因果性的充要条件是：系统的单位脉冲响应h(n) 满足h(n) = 0, n 0（4)系统的稳定性定义：对任意有界的输入,系统的输出都有界,则该系统是稳定的，否则是不稳定的。离散时间 LTI 系统具有因果性
8、的充要条件是：系统的单位脉冲响应h(n) 满足绝对可和,即 i=-| h(i) | （5）对离散时间 LTI 系统的描述（1）时域：差分方程(2）Z 域：系统函数 H (z) 2信号过系统y(n) = h(n) * x(n)用线性卷积的相关知识计算，信号系统学的基本性质可以套用二、离散时间信号和系统的频域分析(一) 离散时间信号1序列傅里叶变换（Sequence Fourier Transform）（即本书中的离散时间信号的傅里叶变换）（1） 定义SFT： X (e jw ) = SFTx(n) =n=-x(n)e- jwn , - w 说明：ISFT： x(n) = ISFT X (e jw
9、 ) =1 p2p -pX (e jw )e jwndw, - n 1、物理意义：序列傅里叶变换本质上是序列的一种分解，它将一般序列分解为无穷多个数字角频率 -p,p 中的复指数序列.称 X (e jw) 为序列 x(n) 的频谱,其模| X (e jw) | 称为幅频特性，其幅角arg X (e jw) = q(w) 称为相频特性。2、尽管序列 x(n) 是离散时间信号,但它的序列傅里叶变换对数字角频率w 而言却是连续函数，因此，序列 x(n) 的傅里叶变换是连续的。3、 X (e j (w+2p ) ) = n=-x(n)e- j (w+2p )n = X (e jw )由上式可知，序列傅
10、里叶变换 X (e jw) 是以2p 为周期的周期函数，其原因正是由于 e jwn 对w 而言以 2p 为周期，即数字角频率相差 2p 的所有单位复指数序列等价。因此,对- w 的所有单位复指数序列只有一个周期。对于离散时间信号，由于的周期性，使得w = 0或2p 的整数倍都表示信号的直流分量，而p 的奇数倍表示信号的最高频率。（2） 性质名称线性性质性质描述SFT ax (n) + bx (n) = a SFT x (n) + b SFT x (n)1212时移性质SFT x(n - m) = e- jwn SFT x(n)频移性质SFT e jw0nx(n) = X (ej (w-w )0
11、)共轭对称性质SFTx (n) = X (e jw ), SFT jx (n) = X (e jw )ReIoSFTx (n) = Re X (e jw ), SFTx (n) = j ImX (e jw ) eo线性卷积性质SFTx(n) * y(n) = SFTx(n) SFT y(n)帕斯瓦尔定理n=-| x(n) |2 = 1 p | X (e jw ) |2 dw2p-p相乘性质SFTx(n) y(n) = p X (e jq )Y (e j (w-q ) )dq12p-p序列乘以 nSFT n x(n) = jdX (e jw ) / dw(3）基本序列的傅里叶变换序列d (n)1
12、傅里叶变换12pd (w)R (n)Ne- jw( N -1)/2 sin(wN ) / sin(w)22anu(n) (| a | 1)0cosw n(2p / w 为有理数)e jw0n (2p / w 为有理数)00(1- ae- jw)-12pd(w -w )0pd (w -w ) +d (w +w )00sin w n(2p / w 为有理数)00- jpd (w -w ) -d (w +w )0(1- e- jw)-1 + pd (w)0u(n)2Z 变换（不熟悉的复习信号系统相关内容，或本书 2.3 相关内容）（1） 定义ZT： X (z) = ZTx(n) =n=-x(n)z-
13、 nRx-| z | Rx+12p j X (z)zn-1dzcIZT： x(n) = IZT X (z) =（2） 性质课本 49 页表 2。3。3R| z | Rx-x+（3)收敛域与基本序列 Z 变换课本 45 页表 2。3。1、表 2。3。23. 离散时间信号 Z 变换与 SFT 的关系Z 变换是由SFT 推广得到的，反过来，如果某序列的 Z 变换的收敛域包括 z = e jw ， 则也可以通过 ZT 求得序列的 SFT。即X (z) |=z =e jwn=-x(n)e- jwn = X (e jw )上式表明，SFT 正是序列的 ZT 在 z = e jw 的值（二） 离散时间系统1
14、. 系统函数的收敛域与系统因果性和稳定性当且仅当系统函数 H（z）的收敛域为小于单位圆的某个圆的园外时，系统是因果稳定的。2. 系统函数的零极点分布与系统因果性和稳定性若系统是因果稳定的，则 H（z）的极点必定在单位圆内.3。系统函数的零极点分布对系统频率响应特性的影响1、对极点而言：当单位圆上的点转到某个极点附近时，| H (e jw ) | 在这附近出现峰值。极点越靠近单位圆，振幅特性的峰值越大，当极点出现在单位圆上时， 振幅特性将出现无穷大,系统不稳定.2、对零点而言：当单位圆上的点转到某个零点附近时，| H (e jw ) | 在这附近出现谷点.当零点出现在单位圆上时，振幅特性为零.零
15、点可以位于单位圆外，不影响稳定性。两个概念1、最小相位系统:系统 H(z）的全部零极点都在单位圆内,某点在单位圆上逆时针旋转一周时,系统的相位变化最小.2、最大相位系统:H（z)的全部零点在单位圆外，系统的相位变化最大。说明：处于坐标原点的零极点不影响系统的幅频响应;利用零极点分析系统的幅频响应， 仅对低阶系统有效。（三） 离散时间信号与模拟(连续）时间信号1. 时域关系设连续时间信号 x (t) ，离散时间信号 x(n) ，则a2. 频域关系x(n) = xa(nT ) = xa(t) |t =nTX (e jw ) |= 1w=WTTm=-X j(W - mW )as在时域对信号抽样,其频
16、域的特征就是频谱以采样频率W 为周期进行周期延拓。s一个域的离散必然导致另一个域的周期延拓 一个域的周期延拓必然导致另一个域的离散对应变量的关系： w - 单位：radW - 单位：Hzw = WT由于W W ，所以w= W T = 2ps三、离散傅里叶变换（DFT）maxs（一） 离散傅里叶级数变换（DFST）说明：周期序列不满足绝对可和的条件,不适用于序列傅里叶变换的定义式， 但是它可以展开成离散傅里叶级数（Discrete Fourier Series,DFS）,利用离散傅里叶级数可以得到周期序列的离散傅里叶变换表示式.1. 定义DFST： X (k ) =N -1n=0x(n)W nk
17、 , - k NIDFST： x(n) =1 N -1 X (k )W -nk , - n N注：1、周期单位复指数序列W nk = eNn=0- j 2p nk NN,W - nk = eN2pjnkN周期单位复指数序列对 n、k 而言都是以 N 为周期的，即W ( n+ N )k = W nk , - n, k NNW n ( k + N ) = W nk , - n, k NNW ( nk + N ) = W nk , - n, k NN2、周期为 N 的周期序列 x(n) 可以分解成 N 个周期复指数序列的和，这些周期复指数序列的数字角频率为傅里叶级数 X (k ) 决定.N2p k
18、(k = 0,1,2, , N -1) 周，它们的幅度和相位由离散N2. 基本周期序列的离散傅里叶级数变换时域序列离散傅里叶级数变换（DFST)d (n)11Nd (k )2pe j N mncos(2p mn / N )Nd (k - m)sin(2p mn / N )Nd (k - m) + d (k + m) / 2- jNd (k - m) - d (k + m) / 23。周期序列的离散傅里叶变换X (e jw) = 2pN X (k )d (w - 2p k )Nk =-可类比信号系统中周期信号的傅里叶变换，具体推导过程见课本 76 页。(二) 离散傅里叶变换（DFT）1。定义DF
19、T： X (k ) =N -1n=0x(n)W nk ,0 k N -1NIDFT: x(n) = 1 N -1 X (k )W -nk ,0 n N -1NNn=0要点：（1） DFT 没有实际的物理含义,但是可以理解为 SFT 的等间隔采样，即X (k) = X (e jw ) |w= 2p k N,0 k N -1（2） 变换区间：0,N-1，有限长 N 点（3） 变换结果：与序列长度 N 有关,当 N 足够大时， X (k) 的包络趋近于X (e jw)曲线（4)频谱分析的意义：X (k) 表示wk= (2p / N )k 频点的幅度谱线，如果 x(n) 是模拟信号的采样，采样间隔为
20、T，w = WT = 2p f / T ，则 k 与相应的模拟频率的关系为：w = 2p k = 2p f TkNk即 f = k 。对模拟频率域而言，N 点 DFT 意味着频域采样间隔为 1 Hz 。所kNTNT以用 DFT 进行谱分析时，称F =1 为频率分辨率。而NT 表示时域采样的区间NT长度(即观察时间或记录长度 TP= NT )，显然为了提高分辨率就必须是记录长度足够大。（5）DFT 的隐含周期性1）DFT 是 SFT 的等间隔采样，而 X (e jw) 以2p 为周期;2）W k = W ( k + mN ) 的周期性NN3） 时域抽样，频域周期延拓;频域采样，时域周期延拓2。D
21、FT 的主要性质性质线性性质时域（ x(n)、y(n) ）ax (n) + bx (n)频域（ X (k )、Y (k ) ）aX (k ) + bX (k )1212时域循环移位性质x(n + m) R (n)N N频域循环移位性质W - km X (k )NX (k + l) R (k )N N时域循环卷积W nl x(n) Nx (n) x (n)X (k ) X (k )1212频域循环卷积x (n)x (n)12N1X (k ) X (k )12复共轭序列的 DFTx(n)*共轭对称性x (n)epx (n)opX * (N - k )X (k )RjX (k )Ix (n)X (k
22、 )Repjx (n)X (k )Iop帕斯瓦尔定理N -1| x(n) |2 = 1 N -1| X (k ) |2n=0Nk =03. 基本序列的离散傅里叶变换时域序列离散傅里叶级数变换（DFST）d(n)1R (n)Nd(k)N2pNd (k - m)e j N mn R (n)Ncos(2p mn / N )R (n)Nd (k - m) + d(k - N + m) / 2Nsin(2p mn / N )R (n)- jNd (k - m) -d (k - N + m) / 2N4. 频域采样定理设序列 x(n) 的傅里叶变换为 X (e jw ) ,在区间0,2p) 内对 X (e
23、 jw ) 进行N 点等间隔采样（采样间隔为2p / N ）得到序列 X (k ) ,且 X (k ) 对应的 IDFT 为 xN(n) ，则x (n) = Nr =-x(n + rN )这是因为,在频域内对 X (e jw ) 等间隔采样，导致时域序列x(n) 周期延拓,并且在区间0,2p) 采样得到的序列 X (k ) 的 IDFT 是原序列以 N 为周期进行周期延拓后的主值序列。若序列的长度为 M,那么只有当频域采样点数 N M 时，才有x (n) = x(n) ,此时才能由频域采样序列 X (k ) 恢复 X (e jw ) 。 N(三）连续信号傅里叶变换（ CFT）、序列傅里叶变换（
24、SFT)、离散傅里叶级数变换（DFST）、离散傅里叶变换（DFT）的关系x (t)aCFT抽样 x(n) 截短t=nTsSFTx(n)d(n) SFT周期延拓周期延拓x (n)NDFST抽样x (n)N取主值DFT周期延拓 卷积周期延拓X (jW)aX(ejw)X(ejw)*D(ejw)X (k)NX (k)NW=2p /Tss取主值各个变量对应关系：N -1 2p1fsk : 0数字角频率 w : 0数字频率 F : 0k2p k / N k / N模拟频率 f : 0模拟角频率 W : 0kf / N2p fss2p kfNsw = WT ， w= W T= 2p f T ， w = 2p
25、 k / Nsss ss编者按：为什么要有 DFT？我们从外界接收到的信号都是连续信号,但是在现代人类都用计算机对信号进行处理，而计算机只能识别离散的值，所以需要对接收到的连续信号进行采样截短得到离散的序列。但是,一个域的离散必然导致另一个域的周期延拓，当对时域的连续信号进行采样时,其频谱必然进行周期延拓，所以序列的傅里叶变换是连续周期的，这样计算机就没法对其频谱进行分析 .这时，对时域信号进行周期延拓，又会使其频谱离散化。经过两个域的分别离散化和周期延拓，这时得到的就是 DFST 的对应关系。那么，分别对两个域取主值，就可得到适合计算机处理的时域和频域序列.DFT 就应运而生。（一家之言,仅
26、供参考)（四） 卷积的计算1。循环卷积与线性卷积（有限长序列的卷积)设有限长序列 x(n) 的长度为 N, h(n) 的长度为 M，它们线性卷积结果为 y (n)，l长度为 L = N + M -1；循环卷积结果为 y (n) ，长度为 L 。则两类卷积有如下对gc应关系:（设 N M ）(1）当 L = N 时 y (n) + y (n + N ),0 n M - 2y (n) = llc（2） 当 L L 时gy (n),M -1 n N -1ly (n) = y (n)cl（3） 当 N L L 时g y (n) + y (n + L),0 n L - L -1y (n) = llgcy
27、 (n),L - L n L -1lg2.重叠保留法和重叠相加法(无限长序列得卷积）（1)重叠保留法基本思路：将两个序列中长度较长或无限长的序列均匀分段，计算各个有限长的子序列与另一短序列的线性卷积，最后将结果重叠相加起来输出.(重叠的是卷积结果）设有限长序列h(n) 的长度为 M, x(n) 为无限长序列, 计算步骤：1）将 x(n) 均匀分段，每段长度为 Nx(n) = x (n)kk =0x(n),kN n (k +1)N -1xk (n) = x(n)RN (n - kN ) = 0,else2） 计算每段子序列与短序列的线性卷积设 x (n) = x (n - kN ) ，即计算 x
28、 (n) 与h(n) 的线性卷积 y (n)kkkk3） 将各子序列线性卷积的结果移位后相加得总输出令 yk（2）重叠保留法(n) = y (n - kN ) ，则 y(n) = kk =0y (n)k基本思路:将两个序列中长度较长或无限长的序列在时间上有重叠地分段， 计算各个有限长的子序列与另一短序列的线性卷积，最后保留每段结果中间 N 个点，相加输出。（重叠的是较长的序列)设有限长序列h(n) 的长度为 M， x(n) 为无限长序列,计算步骤：1)将 x(n) 有重叠地分段（每一段由 kN 向前重叠 M1 个点），每段长度为 N+M-1x(n),kN - M +1 n (k +1)N -1
29、x (n) = k 0,else2） 计算每段子序列与短序列的线性卷积设 x (n) = x (n + kN - M +1) , 即计算 x (n) 与 h(n) 的线性卷积kkky (n) , y (n) 的长度为 N+2M-2，将前 M-1 个点去掉，后 M-1 个kk点去掉，保留中间 N 个点得 y (n)k3） 将各子序列线性卷积的结果移位后相加得总输出即 y(n) = y (n)kk =0说明：重叠保留和相加法必须掌握,公式可以不必记忆,明白其算法思想，会计算即可。而且计算时注意三步走(写在卷子上）,否则答案正确也没分（与数学归纳法一样，有固定格式)。（五） 用DFT 进行频谱分析的
30、误差1。泄漏现象产生原因：用 DFT 进行分析时，隐含对序列在时域加窗截断，使得信号的原有频率的能量向其他频率上泄漏减少方法:（1）加大窗长，增加实际 DFT 计算的点数；（2）变换时域所加窗函数的形式2. 栅栏现象产生原因:DFT 只计算w = 2p k / N , k = 0,1,2, , N -1的频谱减少方法:在序列末尾加零以增加 DFT 的点数3. 混叠现象产生原因：序列截断以及采样频率不完全满足采样定理减少方法：以较高的采样频率对信号进行采样，之后序列通过数字低通滤波器， 降低采样频率后再进行 DFT 分析4。DFT 的分辨率： 参数选择的一般原则：a. 若已知信号的最高频率防止混
31、叠，选定采样频率fs 2 fmaxb. 根据频率分辨率 F，确定所需 DFT 的长度 N = f / Fsc. 和 N 确定以后，即可确定相应模拟信号的时间长度TP= f / N = NT ,这里 T 是s采样周期。(六） 离散时间信号的抽取和内插1. 离散时间信号的整数倍抽取时域： y(n) = x(Dn)频域: Y (e jw ) =1 D-1Dw-2p kX (e j D)整数倍抽取将导致数字频谱的展宽2. 离散时间信号的整数倍内插x nk =0 ( ),n = 0, I , 2I ,时域： v(n) = I 0,else频域：V (e jw ) = X (e jwI )序列相邻采样点之间插零将导致数字频谱压缩说明：即使抽取和内插的公式记不住,也要学会画图分析其过程