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1、 6.置换群置换群 6.1 置换群置换群6.2 置换的表示方法置换的表示方法:2-行法行法6.3 循环循环6.4 补充结论补充结论 变换群的一种特例,叫做置换群,在代数里占一个很重要的地位.比方说,在解决方程能不能用根号解这个问题时就要用到这种群这种群还有一个特点，就是它们的元可以用一种很具体的符号来表示，使得这种群里的计算比较简单现在我们把这种群讨论一下6.1 置换群置换群 定义定义1一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换置换 一个有限集合的若干个置换作成的一 个群叫做一个置换群置换群 我们看一个有限集合 ，有 个元 由，的全体置换作成一个群 定义定义2一个包含 个元的集合的全体置换作成的群
2、叫做 次对称群对称群这个群用 来表示定理定理 次对称群 的阶是 ！6.2 置换的表示方法置换的表示方法:2-行法行法 现在我们要看一看表示一个置换的符号这种符号普通有两种，我们先说明第一种我们看一个置换 这样一个置换所发生的作用完全可以由 ，这 对整数来决定表示置换的第一个方法就是把以上这个置换写成 形式不唯一.在这种表示方法里，第一行的 个数字的次序显然没有什么关系，比方说以上的 我们也可用例例 假如那么 不过我们普通用 来表示这个 例例 有个元这个元可以写成 ，如何计算乘法?(注意我们规定的顺序注意我们规定的顺序)(从右向左)如何求逆?=?无限非交换群我们已经看到过，这是我们的第一个有限非
3、交换群的例子 可以说是一个最小的有限非交换群，因为以后我们会知道，一个有限非交换群至少要有六个元 所以 不是交换群6.3 循环循环 为了说明置换的第二种表示方法，我们先证明一个公式看两个特殊的置换 ：,那么以下公式成立：先看一个例子 证明这个公式.我们只须注意，因为 是 ，,这 个元的一一变换，而在 之下，,已经各是 ，,的象,所以它们不能再是 的象,这就是说,这样，将 变成 .显然，将 变成 定义定义 的一个把变成 变到 ，变到 ，变到 ，而使得其余的元，假如还有的话，不变的置换，叫做一个 循环置换循环置换这样的一个置换我们用符号 ，或 来表示2-循环称为对换.例例我们看 ，这里一个任意的置
4、换当然不一定是一个循环置换例例 的 就不是一个循环置换 定理定理每一个 个元的置换 都可以写成若干个互相没有共同数字的（不相连的）循环置换的乘积一般来说，我们有但是,我们再用归纳法 证明证明 先看一个例子.在 中，I.当 不使任何元变动的时候，就是当 是 恒等置换的时候，定理是对的II.假定对于最多变动 个元的 定理是对的现在我们看一个变动 个元的 我们任意取一个被 变动的元 ，从 出发我们找 的象 ，的象 ，这样找下去，直到我们第一次找到一个 为止，这个 的象不再是一个新的元，而是我们已经得到过的一个元:因为我们一共只有 个元，这样的 是一定存在的我们说 因为 已经是 的象，不能再是 的象这
5、样，我们得到 因为 只使 个元变动，假如 ，本身已经是一个循环置换，我们用不着再证明什么假如 ，由公式（1），但 只使得 个元变动，照归纳法的假定，可以写成不相连的循环置换的乘积：在这些 里 不会出现.不然的话,那么 同 不会再在其余的 中出现,也必使 但我们知道,使得 不动,这是一个矛盾.这样,是不相连的循环置换的乘积:证完 例例 的全体元用循环置换的方法写出来是 ，；定理定理每一个有限群都与一个置换群同构 这就是说，每一个有限群都可以在置换群里找到例子现在置换群又是一种比较容易计算的群，所以用置换群来举有限群的例是最合理的事6.4 补充结论补充结论 1.每一个循环可以写出对换的乘积.进一步,对换个数的奇偶性是固定的.提示:2.每一个对换可以写出形如:(12),(13),(1n)的乘积.提示:(ij)=(1i)(1j)(1i)3.每一个形如:(12),(13),(1n)的对换可以写成(12),(23),(34)(n-1 n)的乘积.提示:(13)=(12)(23)(12)(14)=(13)(34)(13)作业作业 P55:2,5