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1、第四节一元复合函数求导法则本节内容本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分微分法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元复合函数的求导法则 第八章 12/25/2022多元函数一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则定理定理.若函数处偏导连续,在点 t 可导,则复合函数证证:设 t 取增量t,则相应中间变量且有链式法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 有增量u,v,12/25/2022多元函数(全导数公式全导数公式)(t0 时,根式前加“”号)机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/25/2
2、022多元函数若定理中 说明说明:例如例如:易知:但复合函数偏导数连续偏导数连续减弱为偏导数存在偏导数存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束 则定理结论不一定成立.12/25/2022多元函数推广推广:1)中间变量多于两个的情形.例如,设下面所涉及的函数都可微.2)中间变量是多元函数的情形.例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/25/2022多元函数又如,当它们都具有可微条件时,有注意注意:这里表示固定 y 对 x 求导,表示固定 v 对 x 求导口诀口诀:分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导与不同,机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/25/2022多元函数例例1.设设解解
3、:机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/25/2022多元函数例例2.解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/25/2022多元函数例例3.设 求全导数解解:注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与机动 目录 上页 下页 返回 结束 验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.12/25/2022多元函数为简便起见,引入记号例例4.设 f 具有二阶连续偏导数,求解解:令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/25/2022多元函数(当 在二、三象限时,)例例5.设二阶偏导数连续,求下列表达式在解解:已知极坐标系下的形式(1),则机动 目
4、录 上页 下页 返回 结束 12/25/2022多元函数题目 目录 上页 下页 返回 结束 12/25/2022多元函数 已知注意利用注意利用已有公式已有公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/25/2022多元函数同理可得题目 目录 上页 下页 返回 结束 12/25/2022多元函数二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分设函数的全微分为可见无论 u,v 是自变量还是中间变量,则复合函数都可微,其全微分表达 形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/25/2022多元函数例例1.例例 6.利用全微分形式不变性再解例1.解
5、解:所以机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/25/2022多元函数内容小结内容小结1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如例如,2.全微分形式不变性不论 u,v 是自变量还是因变量,机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/25/2022多元函数思考与练习思考与练习解答提示解答提示:P31 题7P31 题7;8(2);P73 题11机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/25/2022多元函数P31 题8(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/25/2022多元函数 作业作业 P31 2;4;6;9;10;12(4);13 P73题 11第五节 目录 上页 下页 返回 结束 12/25/2022多元函数备用题备用题1.已知求解解:由两边对 x 求导,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/25/2022多元函数2.求在点处可微,且设函数解解:由题设(2001考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/25/2022多元函数