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1、12.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.解法解法为微分方程的通解为微分方程的通解.分离变量法分离变量法例例1 1 求解微分方程求解微分方程解解分离变量分离变量两端积分两端积分例例2 2 求解微分方程求解微分方程解解分离变量分离变量两端积分两端积分例例3：求解微分方程：求解微分方程解：解：两边积分，得解：两边积分，得解：解解由题设条件由题设条件衰变规律衰变规律建立微分方程建立微分方程例：例：小船从河边点小船从河边点O出发驶向对岸，设船速为出发驶向对岸，设船速为a,船行方向船行方向始终与河岸垂直又设河宽为始终与河岸垂直又设河宽为h，河中任一点处的
2、水流速与，河中任一点处的水流速与该点到两岸的距离乘积成正比，求小船航线该点到两岸的距离乘积成正比，求小船航线解：取O为原点，河岸朝顺水方向为x轴，y轴指向对岸。并设小船的航行路线为y=y(x)，则小船的航行速度为：代入初始条件代入初始条件y(0)=0,得得C=0，则所求航线为：则所求航线为：通解为通解为解解例例6 有高为有高为1米的半球形容器米的半球形容器,水从它的底部小水从它的底部小孔流出孔流出,小孔横截面积为小孔横截面积为1平方厘米平方厘米(如图如图).开开始时容器内盛满了水始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容求水从小孔流出过程中容器里水面的高度器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距
3、离水面与孔口中心间的距离)随随时间时间t的变化规律的变化规律.解解 由力学知识得由力学知识得,水从孔口水从孔口流出的流量为流出的流量为流量系数流量系数孔口截面面积孔口截面面积重力加速度重力加速度设在微小的时间间隔设在微小的时间间隔水面的高度由水面的高度由h降至降至 ,比较比较(1)和和(2)得得:即为未知函数的微分方程即为未知函数的微分方程.可分离变量可分离变量所求规律为所求规律为12.3 齐次方程齐次方程一阶齐次方程一阶齐次方程的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程.2.解法解法 作变量代换作变量代换代入原式代入原式可分离变量的方程可分离变量的方程1.1.定义定义齐次方程可以通过齐次方
4、程可以通过变量代换化成变量代换化成可分离变量的方程可分离变量的方程例例 1 1 求解微分方程求解微分方程微分方程的解为微分方程的解为解解例例 2 2 求解微分方程求解微分方程解解微分方程的解为微分方程的解为例例 3 3 抛物线的光学性质抛物线的光学性质实例实例:车灯的反射镜面车灯的反射镜面-旋转抛物面旋转抛物面解解 如图如图A分离变量分离变量积分得积分得得微分方程得微分方程平方化简得平方化简得抛物线抛物线一般的可化为可分离变量方程一般的可化为可分离变量方程求解求解微分方程常用的方法之一是通过变量代换将给定的微微分方程常用的方法之一是通过变量代换将给定的微分方程化成可求解的形式。分方程化成可求解的形式。例例 4求下列方程通解求下列方程通解解解代入原方程代入原方程原方程的通解为原方程的通解为