《研究生数值分析(15)插商与牛顿(Newton)插值多项式.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《研究生数值分析(15)插商与牛顿(Newton)插值多项式.ppt（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、构造拉格朗日插构造拉格朗日插值值多多项项式式其形式具有其形式具有对对称性，即便于称性，即便于记忆记忆，必必须须全部重新全部重新计计算。算。插商与牛顿插商与牛顿(Newton)插值多项式插值多项式由于公式中的由于公式中的都依赖于全部插值节点在增加或减少节点时，都依赖于全部插值节点在增加或减少节点时，又便于应用与编制程序。又便于应用与编制程序。这这种形式的插种形式的插值值多多项项式称式称为为n次牛顿插值多项式。次牛顿插值多项式。，即，即其中系数其中系数可由插可由插值值条件条件记为记为为克服这个缺点，把插值多项式构造成如下形式为克服这个缺点，把插值多项式构造成如下形式 确定。确定。定定义义1 设设函
2、数函数f(x)在点在点 为为f(x)在点在点处处的的一一阶阶差商差商，记为记为，即，即称一称一阶阶差商的差商差商的差商（为为f(x)在在处处的的二二阶阶差商差商，记为记为上的值依次为上的值依次为称称互异）互异）为为此我此我们们引入差商概念：引入差商概念：一般地，称一般地，称 m-1 阶差商的差商阶差商的差商为为 f(x)在点在点特特别别地，地，规规定零定零阶阶差商差商处的处的m阶差商。阶差商。即即为为便于便于应应用，通常采用差商表，例如用，通常采用差商表，例如一一阶阶差商差商二二阶阶差商差商三三阶阶差商差商性性质质1 k阶差商阶差商是由函数是由函数值值线线性性组组合而成的，即合而成的，即性性质
3、质2 差商具有差商具有对对称性，即在称性，即在k阶差商阶差商中任意中任意调换调换2个个节节点点和和差商有如下性质：差商有如下性质：的顺序，其值不变。的顺序，其值不变。性质性质3 k阶阶差商差商和和 k 阶导阶导数数之间有如下重要关系：之间有如下重要关系：有了差商的概念和性有了差商的概念和性质质后，我后，我们们就可以用差商就可以用差商来表示牛来表示牛顿顿差差值值多多项项式式中的系数。中的系数。由插由插值值条件条件，可得，可得由插由插值值条件条件，可得，可得由插由插值值条件条件，可得，可得一般地，可以一般地，可以证证明有明有于是，于是，满满足插足插值值条件条件 的的n次牛次牛顿顿插插值值多多项项式
4、式为为例例3 已知函数表已知函数表10012114416910111213试试用牛用牛顿线顿线性插性插值值与抛物与抛物线线插插值值求求的近似的近似值值，并估，并估计计截断截断误误差。差。解：解：先构造差商表，取先构造差商表，取一阶差商二阶差商三阶差商100100.04761912111-0.000094110.0434780.000000313814412-0.000072460.04000016913由差商表，牛由差商表，牛顿顿插插值值多多项项式的系数依次式的系数依次为为牛牛顿线顿线性插性插值值多多项项式式为为 牛牛顿顿抛物抛物线线插插值值多多项项式式为为 所求近似所求近似值为值为 所求近似
5、所求近似值为值为 可知近似可知近似值值与与的截断的截断误误差分差分别为别为，由插由插值值余余项项公式公式 在在实际计实际计算中，特算中，特别别是在函数是在函数f(x)的高阶导数的高阶导数比较复杂或比较复杂或f(x)的表达式没有给出时，由性质的表达式没有给出时，由性质3，我们可以用差商表示的余项公式我们可以用差商表示的余项公式 实际计实际计算中，当算中，当n+1阶差商变化不激烈时，可用阶差商变化不激烈时，可用近似代替近似代替取取来估计截断误差。来估计截断误差。例例3中，若用此方法估中，若用此方法估计计截断截断误误差，差，则则有有与与实际误实际误差差相当接近。相当接近。练习：练习：给给定数据如下：定数据如下：x 1 1.5 0 2 f(x)1.25 2.50 1.00 5.50 用牛用牛顿顿二次、三次插二次、三次插值值多多项项式近似式近似计计算算f(1.46)的的值值，并估计牛顿二次插值多项式近似计算的截断并估计牛顿二次插值多项式近似计算的截断误差，说明牛顿二次多项式近似计算结果的有效数误差，说明牛顿二次多项式近似计算结果的有效数字。字。