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1、第四章第四章 态和力学量的表象态和力学量的表象 根据量子力学的基本原理，微观粒子的量子态用波根据量子力学的基本原理，微观粒子的量子态用波函数函数 描述，力学量用线性厄密算符描述，力学量用线性厄密算符 描描述。前面所使用的波函数及力学量算符均以坐标述。前面所使用的波函数及力学量算符均以坐标 为变量为变量而写出其具体表达形式的。是否有其它描述方法？而写出其具体表达形式的。是否有其它描述方法？回答是：不仅有，而且非常必要！回答是：不仅有，而且非常必要！因为恰当选择描述体因为恰当选择描述体系的具体形式（自变量）可给运算带来很多方便。系的具体形式（自变量）可给运算带来很多方便。第四章第四章第四章第四章
2、态和力学量的表象态和力学量的表象态和力学量的表象态和力学量的表象4.1 4.1 4.1 4.1 态的表象态的表象态的表象态的表象量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。动量本征函数动量本征函数4.1-1组成完全系，任意波函数都可以由其展开为组成完全系，任意波函数都可以由其展开为4.1-24.1-3可以证明可以证明4.1-44.1-54.1-6且有且有推广到任一力学量推广到任一力学量Q表象表象4.1-74.1-8设它们都是归一化的，有设它们都是归一化的，有4.1-94.1-104.1-11其共轭矩阵是一个行矩阵，其共轭矩阵是一个行矩阵，4.1-12
3、4.1-9式变为式变为4.1-13若力学量还同时具有连续本征值若力学量还同时具有连续本征值q,则有则有4.1-144.1-154.1-16讨论讨论：（1）同一个态可以在不同的表象中用波函数来描写，）同一个态可以在不同的表象中用波函数来描写，表象不同，波函数形式不同。这和普通空间向量的表示表象不同，波函数形式不同。这和普通空间向量的表示方法是完全相似的。方法是完全相似的。所以态矢量所在的空间是无数维的函数空间，这种空间所以态矢量所在的空间是无数维的函数空间，这种空间称为称为希尔伯特空间希尔伯特空间。（3）对应关系对应关系 量子态量子态希尔伯特空间中的态矢量；希尔伯特空间中的态矢量；波函数波函数态
4、矢量在特定基底中的分量，可用列矩阵态矢量在特定基底中的分量，可用列矩阵 或波函数来表示；或波函数来表示；不同表象不同表象不同基，不同坐标系；不同基，不同坐标系；本征函数本征函数基矢。基矢。对于不同表象，波函数的表示不同，物理意义不同。对于不同表象，波函数的表示不同，物理意义不同。同一个量子态，可以用不同、但相互等价的表象来表同一个量子态，可以用不同、但相互等价的表象来表述。述。4.2 4.2 4.2 4.2 算符的矩阵表示算符的矩阵表示算符的矩阵表示算符的矩阵表示算符在不同表象中应有不同的表述式算符在不同表象中应有不同的表述式4.2-1代入代入4.2-1得得4.2-24.2-3引入记号引入记号
5、4.2-44.2-3式改写为式改写为4.2-5此式就是此式就是4.2-1式在式在Q表象中的表示式。表象中的表示式。4.2-64.2-7下面考察厄密算符在下面考察厄密算符在Q表象中的矩阵特点表象中的矩阵特点根据厄密算符定义式根据厄密算符定义式4.2-8满足此式的矩阵称为满足此式的矩阵称为厄密矩阵厄密矩阵。厄密算符的矩阵是厄。厄密算符的矩阵是厄密矩阵。密矩阵。根据厄密矩阵的定义根据厄密矩阵的定义上式可写为上式可写为算符在自身表象中的矩阵形式？算符在自身表象中的矩阵形式？结论结论：算符在其自身表象中是一个对角矩阵。算符在其自身表象中是一个对角矩阵。若若Q只具有连续的本征值只具有连续的本征值q，以上讨
6、论依然成立，只以上讨论依然成立，只是各量是连续变化的，求和换为积分。是各量是连续变化的，求和换为积分。4.2-94.2-10举例举例：1 坐标表象坐标表象2 动量表象动量表象4.2-114.2-12对于既有分立本征值，又有连续本征值的情况，把前对于既有分立本征值，又有连续本征值的情况，把前面讨论合起来既可。面讨论合起来既可。（1）动量算符动量算符 动量算符在自身表象中即为动量动量算符在自身表象中即为动量 （或（或 ）（2）坐标算符坐标算符坐标算符在动量表象中为坐标算符在动量表象中为 动量表象中算符动量表象中算符x的本征函数为的本征函数为 又坐标表象中又坐标表象中x 的本征函数为的本征函数为 ，
7、所以，所以（3）角动量算符角动量算符 若将若将 代入代入 ，得动量表象中，得动量表象中 角动量算符角动量算符（4）哈密顿算符在动量表象中的表示哈密顿算符在动量表象中的表示 3 能量表象能量表象 以以 的本征函数为基矢，可能是的本征函数为基矢，可能是 一一 维无限深势阱维无限深势阱 一维谐振子一维谐振子 中心力场中心力场 算符在能量表象中的矩阵元算符在能量表象中的矩阵元哈密顿算符哈密顿算符 哈密顿算符哈密顿算符 在自身表象中为对角矩阵，能量本征值在自身表象中为对角矩阵，能量本征值 一目了然一目了然例题一例题一 求能量表象中一维无限深势阱中粒子的坐标与求能量表象中一维无限深势阱中粒子的坐标与动量的矩阵元动量的矩阵元 解：解：基矢基矢 能级能级 当当 时时，对角元为，对角元为 当当 时，非对角元为时，非对角元为