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1、第三章第三章 简单弹塑性问题简单弹塑性问题弹塑性梁的求解弹塑性梁的求解1、什么情况下进行弹塑性分析；、什么情况下进行弹塑性分析；2、弹塑性分析的关键点；、弹塑性分析的关键点；3、弹塑性分析的基本方程与弹性结构评估的不同点；、弹塑性分析的基本方程与弹性结构评估的不同点；弹塑性问题力学分析的基本概念弹塑性问题力学分析的基本概念 一个实际的弹塑性力学问题与弹性力学问题一样一个实际的弹塑性力学问题与弹性力学问题一样在数学上总能归结为，在数学上总能归结为，一个偏微分方程组的边值一个偏微分方程组的边值问题。因此需要在严格的边界条件下求解复杂的问题。因此需要在严格的边界条件下求解复杂的偏微分方程组。由于往往
2、难以克服数学上的困难，偏微分方程组。由于往往难以克服数学上的困难，所以在一般情况下很难求得问题的解析解或精确所以在一般情况下很难求得问题的解析解或精确解，而只有一些简单的问题，才存在解析解。解，而只有一些简单的问题，才存在解析解。具体求解而言具体求解而言简单梁问题的弹塑性弯曲问题简单梁问题的弹塑性弯曲问题 简单梁的弹塑性弯曲问题的特点：简单梁的弹塑性弯曲问题的特点：在平衡方程中和屈服函数条件中，未知函数和方在平衡方程中和屈服函数条件中，未知函数和方程式的数目相等。一般为静定结构梁。程式的数目相等。一般为静定结构梁。求解的特点：求解的特点：结合边界条件及力的平衡条件可直接求出应结合边界条件及力的
3、平衡条件可直接求出应力分布；力分布；应变和位移则根据物理关系和几何的连续方应变和位移则根据物理关系和几何的连续方程求出。程求出。圆形截面杆的弹塑性扭转问题；圆形截面杆的弹塑性扭转问题；轴对称和球对称的问题；轴对称和球对称的问题；简单桁架问题。简单桁架问题。具有该类求解特点的问题有：具有该类求解特点的问题有：梁弹塑性弯曲的基本假定条件：梁弹塑性弯曲的基本假定条件：平断面假定条件；平断面假定条件；不考虑纤维层之间的挤压应力；不考虑纤维层之间的挤压应力；物理方程的特点物理方程的特点呈线性关系；呈线性关系；在塑性区：在塑性区：仅考虑应力仅考虑应力 对屈服条件的影响对屈服条件的影响对于理想弹塑性材料对于
4、理想弹塑性材料变形与应变之间的关系变形与应变之间的关系在弹性区：在弹性区：截面上的应力截面上的应力截面轴线方向应力的合满足合力为截面轴线方向应力的合满足合力为0的条件的条件求出中性层的位置求出中性层的位置截面上应力取矩积分和截面上应力取矩积分和=截面弯矩截面弯矩简单弹塑性梁的求解需要解决的问题简单弹塑性梁的求解需要解决的问题 截面中性层的求解；截面中性层的求解；截面弹塑性弯矩的求解；截面弹塑性弯矩的求解；弹塑性梁塑性边界的求解；弹塑性梁塑性边界的求解；弹塑性梁挠曲线方程式的求解（变形）；弹塑性梁挠曲线方程式的求解（变形）；残余应力与残余变形的特点与求解思路；残余应力与残余变形的特点与求解思路；
5、截面具有两个对称面的梁在理想弹塑性材料时，截面具有两个对称面的梁在理想弹塑性材料时，截面上的应力随着进入塑性阶段不同可能会出现截面上的应力随着进入塑性阶段不同可能会出现三种情况：三种情况：弹性极限状态弹性极限状态弹塑性状态弹塑性状态塑性极限状态塑性极限状态（具有两对对称轴三个阶段中性层位置不变）（具有两对对称轴三个阶段中性层位置不变）1、矩形截面梁的理想弹塑性弯曲问题、矩形截面梁的理想弹塑性弯曲问题 弹性极限状态下梁曲率弹性极限状态下梁曲率ke（1）弹性极限状态）弹性极限状态 弹性极限状态下弯矩值弹性极限状态下弯矩值弹性极限弯矩弹性极限弯矩H（2）塑性极限状态）塑性极限状态弹性极限状态下弯矩值
6、弹性极限状态下弯矩值塑性极限弯矩塑性极限弯矩塑性极限状态下梁曲率塑性极限状态下梁曲率梁的曲率可以无限增长。可将截面视为一个梁的曲率可以无限增长。可将截面视为一个“铰铰”塑性铰塑性铰与通常铰的区别：与通常铰的区别：*塑性铰上作用有大小保持为塑性铰上作用有大小保持为 的弯矩；的弯矩；*塑性铰转动角度的方向必须与作用的弯矩方向一致。塑性铰转动角度的方向必须与作用的弯矩方向一致。塑性断面剖面模数塑性断面剖面模数弹性极限弯矩、塑性极限弯矩的特点弹性极限弯矩、塑性极限弯矩的特点矩形截面矩形截面是矩形截面形状固有的性质是矩形截面形状固有的性质定义：定义：截面形状系数截面形状系数显然：矩形截面的形状系数显然：
7、矩形截面的形状系数=1.5它表达了按塑性极限弯矩设计与弹性极限弯矩设它表达了按塑性极限弯矩设计与弹性极限弯矩设计时梁截面的强度比。计时梁截面的强度比。形状系数仅与截面形状相关。形状系数仅与截面形状相关。弹塑性状态弹塑性弯矩弹塑性状态弹塑性弯矩弹性核的高度弹性核的高度he弹性区：弹性区：塑性区：塑性区：弹性极限状态弹性极限状态塑性极限状态塑性极限状态（3）梁弹塑性状态分析）梁弹塑性状态分析得弹性核高度与弹塑性弯矩间的关系得弹性核高度与弹塑性弯矩间的关系该公式的用途之一：该公式的用途之一：已知梁截面上的弹塑性弯矩数据已知梁截面上的弹塑性弯矩数据 可直接确定截面上的弹性区与塑性区可直接确定截面上的弹
8、性区与塑性区 的交线，进而求得截面上的应力分布的交线，进而求得截面上的应力分布得弹性核高度与弹塑性弯矩间的关系得弹性核高度与弹塑性弯矩间的关系梁的曲率与弯矩的关系梁的曲率与弯矩的关系梁进入到弹塑性状态时，梁进入到弹塑性状态时，梁在弹性状态下，梁的曲率与弯矩具有下面的关系：梁在弹性状态下，梁的曲率与弯矩具有下面的关系：不成立不成立利用利用平断面假定平断面假定弹性核内虎克定律仍然成立：弹性核内虎克定律仍然成立：在在h=heh=he高度上高度上的曲率就是弹塑性梁的曲率就是弹塑性梁 在该点的曲率在该点的曲率如何求解此时的曲率？如何求解此时的曲率？弹塑性状态梁曲率弹塑性状态梁曲率已知弹性极限状态下梁曲率
9、：已知弹性极限状态下梁曲率：弹塑性状态梁曲率与弹性极限状态下梁曲率的比：弹塑性状态梁曲率与弹性极限状态下梁曲率的比：得出梁在弹塑性状态下曲率与弯矩的关系：得出梁在弹塑性状态下曲率与弯矩的关系：利用以上公式已知弹塑性梁截面的弯矩就利用以上公式已知弹塑性梁截面的弯矩就 可确定梁在该截面的弯曲曲率可确定梁在该截面的弯曲曲率4、2、理想弹塑性材料非矩形断面在各种阶段中性层求解、理想弹塑性材料非矩形断面在各种阶段中性层求解具有一个对称轴截面求解的基本思想具有一个对称轴截面求解的基本思想截面上力的平衡条件截面上力的平衡条件设设y轴位于中性层：轴位于中性层：例题例题1）等腰三角形截面截面中性层位置求解）等腰
10、三角形截面截面中性层位置求解顶部、底部以及全部达到屈服时中心轴顶部、底部以及全部达到屈服时中心轴y y距底边的高度距底边的高度（1）顶部达到屈服应力）顶部达到屈服应力思路：思路：找出应力沿高度分布找出应力沿高度分布 利用截面上力的平衡条件利用截面上力的平衡条件应力沿高度分布应力沿高度分布 应变沿高度的分布应变沿高度的分布 平断面假定条件平断面假定条件弹性区域弹性区域虎克定律成立虎克定律成立得应变沿高度的分布：得应变沿高度的分布：若设若设y轴位于中性层：轴位于中性层：静矩静矩=0若取若取y轴轴0点在底边有：点在底边有：（2）底部达到屈服应力）底部达到屈服应力思路：思路：找出应力沿高度分布找出应力
11、沿高度分布 利用截面上力的平衡条件利用截面上力的平衡条件同样有公式：同样有公式：若设若设y轴在中性层上轴在中性层上分成两个区域：分成两个区域：若设若设y轴底边为轴底边为0有：有：（2）全部达到屈服应力）全部达到屈服应力线性强化材料：线性强化材料：线性强化材料的应力应变曲线：线性强化材料的应力应变曲线：矩形截面在理想弹塑性状态梁弹性核与弯矩的关系矩形截面在理想弹塑性状态梁弹性核与弯矩的关系3、理想弹性材料矩形截面梁塑性区的判断、理想弹性材料矩形截面梁塑性区的判断当梁的弯矩分布已知时，可通过上式求出核高沿杆件的分布当梁的弯矩分布已知时，可通过上式求出核高沿杆件的分布简支梁简支梁极限情况：极限情况：
12、当当x=l/3时截面完全处于时截面完全处于弹性工作状态弹性工作状态此时截面完全处于此时截面完全处于弹性工作状态弹性工作状态求解基本思想：求解基本思想：4、矩形截面弹塑性梁的挠度位移求解、矩形截面弹塑性梁的挠度位移求解需要找到理想弹塑性状态梁曲率需要找到理想弹塑性状态梁曲率v”与弯矩的关系与弯矩的关系找到梁上完全弹性区与弹塑性区的分界点找到梁上完全弹性区与弹塑性区的分界点弯曲分布已知时，可直接通过弯曲分布已知时，可直接通过 判断判断在弹性区：在弹性区：成立成立根据根据M M分布分布求解完全弹性区内挠度求解完全弹性区内挠度根据根据M M分布分布求解弹塑性区内挠度求解弹塑性区内挠度根据弹塑性区与完全
13、弹性区焦点上变形连续条件根据弹塑性区与完全弹性区焦点上变形连续条件求得待定参数求得待定参数得弹塑性区挠度函数：得弹塑性区挠度函数：弹塑性区：弹塑性区：思路：思路：A A）利用在弹塑性区域弹性核高与弯曲分布的关系）利用在弹塑性区域弹性核高与弯曲分布的关系B B）弹性核高位置应力已知得到曲率与弯曲分布的关系）弹性核高位置应力已知得到曲率与弯曲分布的关系得：得：Ph例题例题1求梁端点挠度值：求梁端点挠度值：弹性区弹性区弹塑性区弹塑性区极限状态下：极限状态下：悬臂梁固定端达到塑性极限弯曲最大挠度位移悬臂梁固定端达到塑性极限弯曲最大挠度位移求梁端点挠度值：求梁端点挠度值：弹性区弹性区弹塑性区弹塑性区积分
14、后得：积分后得：固定端边界条件：固定端边界条件：弹性区弹性区此时为极限状态有：此时为极限状态有：矩形截面：矩形截面：边界条件：边界条件：X=0时：时：时：时：例题例题1的知识沿深题，求解固定端弯曲小于极限塑性弯曲状态时的知识沿深题，求解固定端弯曲小于极限塑性弯曲状态时 挠度变形求解。挠度变形求解。可能情况两种：可能情况两种：梁处于完全弹性状态梁处于完全弹性状态弯曲分布图弯曲分布图梁固定端弯矩梁固定端弯矩设：设：或或解：解：当当PPe时，梁部分截面进入弹塑性阶段。时，梁部分截面进入弹塑性阶段。求解问题的思路：求解问题的思路：#找出分界点找出分界点xe：其他均相同其他均相同（3）卸载）卸载残余应力
15、残余应力设卸载增加到设卸载增加到P*值值PeP*0.3l 应力退为应力退为0；梁的弹塑性区间梁的弹塑性区间x0.3l 存在残余应力：存在残余应力：5、卸载、卸载残余应力和残余曲率残余应力和残余曲率弯矩增加到弯矩增加到 后卸载，计算残后卸载，计算残余应力与残余梁的曲率的思路：余应力与残余梁的曲率的思路：在梁两端作用大小等于弯矩变化值在梁两端作用大小等于弯矩变化值 的假想弯矩；的假想弯矩；用用卸载前的应力和曲率与之相减，就可得到卸载后的卸载前的应力和曲率与之相减，就可得到卸载后的 残余应力和残余曲率。残余应力和残余曲率。按照弹性规律计算该弯矩引起的应力和梁的曲率；按照弹性规律计算该弯矩引起的应力和梁的曲率；当弯矩变化值当弯矩变化值 弯矩完全卸去时，梁各截面内的弯矩完全卸去时，梁各截面内的残余应力为：残余应力为：