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1、奥赛典型例题奥赛典型例题分析分析(牛顿定律牛顿定律)11.如图如图1所示，两斜面重合的楔形块所示，两斜面重合的楔形块ABC和和ACD的质量都是的质量都是M，AD、BC两面成水平，两面成水平，E为质量为为质量为m的小滑块，楔形块的倾角为的小滑块，楔形块的倾角为，各面均光滑，整个系统放在水平台角上，各面均光滑，整个系统放在水平台角上，从静止开始释放，求两斜面分离前从静止开始释放，求两斜面分离前E的加速的加速度度.图图1EDCBA22.如图如图2所示，设所示，设 ，不考，不考虑滑轮质量，求各物体的加速度虑滑轮质量，求各物体的加速度.图图2m3 m2 m133.如图如图3所示，长为所示，长为 2 l的
2、刚性轻棒的刚性轻棒AB的的B端端沿水平地面向右匀速运沿水平地面向右匀速运动，速度为动，速度为v，A端沿端沿墙壁竖直下滑，棒的中墙壁竖直下滑，棒的中点处固定一质量为点处固定一质量为m的的小球小球C，试求当，试求当 时，时，小球的加速度和小球对小球的加速度和小球对棒的作用力棒的作用力.ACB图图3v44.如图如图4所示，小圆筒所示，小圆筒A的的底部有一半径为底部有一半径为r的圆孔，的圆孔，大圆筒套于大圆筒套于A的外面，一半的外面，一半径为径为r的不透液体的球盖着的不透液体的球盖着圆孔，里外圆筒中分别盛有圆孔，里外圆筒中分别盛有密度分别为密度分别为 1和和 2的液体，的液体，两圆筒的液面相平，且距小
3、两圆筒的液面相平，且距小圆筒的底部为圆筒的底部为h，试求球所，试求球所受的浮力受的浮力.A Ah h 1 1图图4 4 2 255.三个质点三个质点A、B、C组成一个边长为组成一个边长为d的等边三角形，质点间有万有引力作用，的等边三角形，质点间有万有引力作用，为保持这三角形形状不变，（为保持这三角形形状不变，（1）若三个）若三个质点的质量都等于质点的质量都等于m，那么它们应以多，那么它们应以多大的角速度绕过质心大的角速度绕过质心O且垂直三角形平面且垂直三角形平面的轴转动？（的轴转动？（2）若它们的质量互不相等，）若它们的质量互不相等，那么它们又应以多大的角速度绕过质心那么它们又应以多大的角速度
4、绕过质心O且垂直三角形平面的轴转动？且垂直三角形平面的轴转动？6 6.如图如图5所示，长为所示，长为3m，质量为，质量为4kg的小车静止的小车静止在光滑水平面上，车两端的护栏上各装有质量不在光滑水平面上，车两端的护栏上各装有质量不计的钉子，小车上距车右端计的钉子，小车上距车右端1m处放着质量分别处放着质量分别为为mA3kg，mB2kg的小滑块的小滑块A和和B，小滑块，小滑块A和和B的宽度都可忽略的宽度都可忽略.A和和B之间有质量和长度之间有质量和长度都不计的已压缩的弹簧都不计的已压缩的弹簧.现释放这弹簧，滑块现释放这弹簧，滑块A和和B相对小车沿相反方向运动，最后都碰到车护相对小车沿相反方向运动
5、，最后都碰到车护栏上的钉子而被钉住，试求小车在整个过程中通栏上的钉子而被钉住，试求小车在整个过程中通过的位移过的位移.AB图图577.质量为质量为M、厚度可以忽略的薄板静止地置于、厚度可以忽略的薄板静止地置于长为长为L的水平桌面上，其一端的水平桌面上，其一端A与桌的一边对与桌的一边对齐，薄板上距齐，薄板上距A端为端为l处处 放一质量为放一质量为m的木块，的木块，如图如图6所示所示.一水平恒力一水平恒力F作用于板上，把木板作用于板上，把木板从小木块下抽出，为了使木板抽出后木块从小木块下抽出，为了使木板抽出后木块m不不致于从桌上掉下地面，则致于从桌上掉下地面，则F至少为多大？已知至少为多大？已知各
6、接触面之间的摩擦系数均为各接触面之间的摩擦系数均为.图图6lMLAFm88.如图如图7所示，平面所示，平面与水平面成夹角为与水平面成夹角为，两，两平面的交线为平面的交线为AB，在，在平面上有一个以平面上有一个以AB为为底、半径为底、半径为R的固定光滑半圆环的固定光滑半圆环.设环的一端设环的一端A处有一个小球以初速度处有一个小球以初速度v0沿环的内侧运动，若沿环的内侧运动，若小球与环光滑接触，小球与平面小球与环光滑接触，小球与平面之间的摩擦之间的摩擦系数为系数为，试求能使小球在环的最高处继续沿，试求能使小球在环的最高处继续沿环的内侧运动的环的内侧运动的v0的取值范围的取值范围.AB图图799.如
7、图如图8所示，赛车在水平赛道上作所示，赛车在水平赛道上作90转弯，转弯，其内、外车道转弯处的半径分别为和，车和路其内、外车道转弯处的半径分别为和，车和路面间的动摩擦系数和静摩擦系数都是面间的动摩擦系数和静摩擦系数都是，试问竞，试问竞赛中车手应选择内道还是外道转弯？在上赛中车手应选择内道还是外道转弯？在上述的两条转弯路径中，车手的正确选择较错误述的两条转弯路径中，车手的正确选择较错误选择赢得的时间是多少？选择赢得的时间是多少？内道内道外道外道图图81010.质量分别为质量分别为m1和和m2的两个小的两个小球，分别系于一根细绳中的一点球，分别系于一根细绳中的一点和一端，细绳的另一端悬挂在和一端，细
8、绳的另一端悬挂在固定处，已知上、下两段绳子的固定处，已知上、下两段绳子的长度分别为长度分别为r1和和r2，如图，如图9所示所示.开始时两球静止，细绳处于竖直开始时两球静止，细绳处于竖直位置，现给小球位置，现给小球m1一个打击，一个打击，使它突然在水平方向上获得一个使它突然在水平方向上获得一个速度，试求小球速度，试求小球m1获得速度前获得速度前后瞬间，上、下两段绳子张力改后瞬间，上、下两段绳子张力改变量的比值变量的比值.设小球获得速度后设小球获得速度后瞬间，绳子仍处于竖直位置瞬间，绳子仍处于竖直位置.图图9 9m1m2r1r211 由于系统水平方向不受外由于系统水平方向不受外力作用，所以，系统水
9、平方力作用，所以，系统水平方向上质心加速度为零向上质心加速度为零.即有即有或或因为因为 建立如图建立如图2 2所示坐标系，各物体所示坐标系，各物体的受力情况如图的受力情况如图2 2所示所示.由于受到桌面的由于受到桌面的约束，物体约束，物体ABC的加速度的加速度aB B必水平向左；必水平向左；由于受到由于受到ACD的约束，物体的约束，物体E的加速度的加速度aE必竖直向下必竖直向下.图图2aEmgN2aBN1CBARMgMgN2N1aDxyADC图图1EDCBA例例1 解：解：故故12图图2aEmgN2aBN1CBARMgMgN2N1aDxyADC于是于是得得因为物体因为物体E紧贴物体紧贴物体AC
10、D，所以，所以对于物体对于物体ABC，在水平方向上有，在水平方向上有13图图2aEmgN2aBN1CBARMgMgN2N1aDxyADC对于物体对于物体E有有对于物体对于物体ACD，在竖直方向上有，在竖直方向上有由以上几个方程可解得由以上几个方程可解得14图图1例例2 解（等效法）解（等效法）Mm图图2aa先看图先看图2的情况，设轻绳的拉力大小为的情况，设轻绳的拉力大小为T，则，则由上一两个方程可解得由上一两个方程可解得图图3天花板所受的拉力为天花板所受的拉力为这表明原来系统对天花板的作用与图这表明原来系统对天花板的作用与图3物体物体M 对天花板的作用等效，只要天花板的作用等效，只要M取值为取
11、值为15图图1图图3图图4m1Maa因此，只要令因此，只要令 就可用图就可用图4等效等效于图于图1,此时此时m1、m2、m3的加速度分别为的加速度分别为16例例3 解解图图1vBAC图图2vxyvCABCOmgNan因为因为C到到O的距离始终等于的距离始终等于l，所所以小球以小球C作圆周运动作圆周运动.C的坐标满足的坐标满足小球小球C的轨迹方程的轨迹方程又总有又总有故总有故总有 恒量恒量因而因而所以所以当当45时，时，故故此时小球此时小球C的向心加速度为的向心加速度为17图图2vxyvCABCOmgNan小球加速度的大小为小球加速度的大小为方向竖直向下方向竖直向下因为小球只受重力和棒对它的作用
12、力因为小球只受重力和棒对它的作用力N的作用，且重的作用，且重力竖直向下，所以棒对它的作用力力竖直向下，所以棒对它的作用力N也必沿竖直方向也必沿竖直方向.因为因为据牛顿第三定律得小球对棒的作用力大小也为据牛顿第三定律得小球对棒的作用力大小也为得得18图图2vxyvCABCOmgNan当当N 0 时，方向竖直向下；时，方向竖直向下；当当N0表示小表示小车车的位移沿的位移沿x轴轴正方向正方向.25图图1lMLAFm例例7 解：解：要使板抽出后小木块不致于要使板抽出后小木块不致于从桌上掉下，这就要求：从桌上掉下，这就要求：木板相对木板相对小木块运动的距离为小木块运动的距离为l；木板抽出后，木板抽出后，
13、小木块落在桌面上继续运动，但应至小木块落在桌面上继续运动，但应至少在桌边停下，此时其速度为零少在桌边停下，此时其速度为零.木板在抽出过程中，木板与小木块之间的摩擦力为木板在抽出过程中，木板与小木块之间的摩擦力为滑动摩擦力，大小为滑动摩擦力，大小为f1=mg,木板木板还还受到桌面所受到桌面所给给的的滑滑动动摩擦力作用，其大小摩擦力作用，其大小为为f2=(M+m)g.对于小木块有对于小木块有其向前运动的加速度为其向前运动的加速度为对于木板有对于木板有其向前运动的加速度为其向前运动的加速度为26图图1lMLAFm木板相对木块的加速度为木板相对木块的加速度为设经时间设经时间t，木板从木块下抽出，则有，
14、木板从木块下抽出，则有所以所以在木板抽出过程中，木块作初速为零的匀加速运动，当在木板抽出过程中，木块作初速为零的匀加速运动，当它从木板上掉下来时，其速度及位移分别为它从木板上掉下来时，其速度及位移分别为27图图1lMLAFm 木块掉到桌面后，作初速度为木块掉到桌面后，作初速度为v，加，加速度大小为速度大小为a1的匀减速运动，到其停下的匀减速运动，到其停下时，通过的距离为时，通过的距离为S2，应有，应有 因为开始时，木块到桌边的距离为因为开始时，木块到桌边的距离为Ll，为使木块，为使木块不致于从桌上掉下地面，有不致于从桌上掉下地面，有由以上方程可解得由以上方程可解得28例例8 解解图图1AB图图
15、2如图如图2、图、图3所示，小球在所示，小球在平面上运动时所受平面上运动时所受面面(圆环底面圆环底面)的支持力为的支持力为所受的摩擦力为所受的摩擦力为 设小球在圆环顶点设小球在圆环顶点C处的运动速处的运动速度为度为v，则有如下功能关系，则有如下功能关系 设设 是圆环是圆环内侧内侧给小球的支持力给小球的支持力,要通过顶点要通过顶点C，还必须有还必须有由以上两式可得由以上两式可得图图3ABC29图图1AB由以上由以上(1)、(2)、(3)、(4)式可解得式可解得及及同时必须满足同时必须满足30内道内道外道外道图图1例例9 解解 赛车在平直赛道上正常行驶赛车在平直赛道上正常行驶时，其速度为它所能达到
16、的最大值，设时，其速度为它所能达到的最大值，设为为vm.转弯时转弯时,车作圆周运动，其向心车作圆周运动，其向心力由地面的摩擦力提供，向心加速度只力由地面的摩擦力提供，向心加速度只能达到一定的最大值，所以车速受到轨能达到一定的最大值，所以车速受到轨道半径和向心加速度的限制，只能达到道半径和向心加速度的限制，只能达到一定的大小一定的大小.为此，赛车在进入弯道前为此，赛车在进入弯道前必须有一段减速过程，以使其速度减少必须有一段减速过程，以使其速度减少到在弯道行驶时所允许的最大值到在弯道行驶时所允许的最大值.走完走完弯道后，又要加速到弯道后，又要加速到vm.车道的选择正是要根据车在内外道上的这些对应过
17、车道的选择正是要根据车在内外道上的这些对应过程所经历的时间的比较来确定程所经历的时间的比较来确定.先讨论外车道情况，设走弯道时允许的最大车速为先讨论外车道情况，设走弯道时允许的最大车速为v2，则应有，则应有31所以所以 如图如图2所示，设车从所示，设车从M点开始减速，到点开始减速，到N点车速从点车速从vm减至减至v2，此时刚好进入弯道，此时刚好进入弯道.减减速过程的加速度大小为速过程的加速度大小为此减速过程所经历的距离为此减速过程所经历的距离为车沿弯道到达车沿弯道到达A点后，由对称关系可知，经过点后，由对称关系可知，经过S23=S21的路程后车又加速到的路程后车又加速到vm.图图232 车从减
18、速到转弯到再加速，所用总车从减速到转弯到再加速，所用总时间时间t2为为同法可得车走内车道对应过程所用总时间同法可得车走内车道对应过程所用总时间t1为为图图3从图从图3可见可见而在直车道上用于加速和减速的行程中，车经内车而在直车道上用于加速和减速的行程中，车经内车道也多走了长度道也多走了长度图图3只是把内车道减速、加速多走的路集中在一起只是把内车道减速、加速多走的路集中在一起.33图图3 所以，图所以，图3可以用来描述车在内外车道的运动情可以用来描述车在内外车道的运动情况，并由此可知，车在直道上匀速况，并由此可知，车在直道上匀速(以速度以速度vm)行行驶的路程长度对于内外两车道来说是相等的，所驶
19、的路程长度对于内外两车道来说是相等的，所以选择车道只需比较上述的以选择车道只需比较上述的t1和和t2即可即可.由于由于t1t2，所以车手应该选择走外车道，所以车手应该选择走外车道.由此而赢得的时间为由此而赢得的时间为34例例10 解解:图图1 1m1m2r1r2设设m1受打击后，在水方向上获得受打击后，在水方向上获得的速度为的速度为v.在在m1获得速度前，易知上、下两获得速度前，易知上、下两段绳子的张力分别为段绳子的张力分别为设设m1获得速度获得速度v后，上、下两段绳子的张力分别为后，上、下两段绳子的张力分别为T1、T2，显然有，显然有 以以m1为参考系研究为参考系研究m2的运动：的运动：m2
20、作半径为作半径为r2的圆周运的圆周运动，速度大小为动，速度大小为v.它除了受到绳子的拉力、重力作用外，它除了受到绳子的拉力、重力作用外，还受到竖直向下的惯性力的作用还受到竖直向下的惯性力的作用.故故方法一方法一：以：以m1为参考系（这是一个非惯性系）为参考系（这是一个非惯性系）35由由(3)、(4)式可解得式可解得于是有于是有36方法二方法二：以地为参考系：以地为参考系图图1 1m1m2r1r2图图2 2m1m2r1r2 设经很短的时间设经很短的时间t，m1向右运向右运动动、m2向上向上运运动动到如到如图图2所示的位置所示的位置.并并设设此此时时m2的加速的加速度度为为a2.于是有于是有由图由图2可知可知37图图2 2m1m2r1r2把上式与匀变速直线运动公式把上式与匀变速直线运动公式相比较，可得相比较，可得由由(7)、(8)式可解得式可解得这与方法一中所得的这与方法一中所得的(6)式完全相同，以下解法与方法式完全相同，以下解法与方法一相同一相同.38