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1、第二十三讲第二十三讲 综合法、分析法与综合法、分析法与反证法反证法走进高考第一关走进高考第一关 考点关考点关回回 归归 教教 材材1.常用的直接证明方法有综合法与分析法常用的直接证明方法有综合法与分析法.2.综合法是从原因推导到结果的思维方法综合法是从原因推导到结果的思维方法,而分析法是一种从而分析法是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法,具体地说具体地说,综合综合法是从已知条件出发法是从已知条件出发,经过逐步的推理经过逐步的推理,最后达到待证结论最后达到待证结论,分分析法是从待证结论出发析法是从待证结论出发,一步一步寻求结论成立的充分条件一步一步
2、寻求结论成立的充分条件,最后达到题设的已知条件或已被证明的事实最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.3.反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是这个矛盾可以是与已知矛盾与已知矛盾,或与假设矛盾或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛或与定义、公理、定理、事实矛盾等盾等.考考 点点 训训 练练1.(2009湖南卷湖南卷)如图如图,D,E,F分别是分别是ABC的边的边AB,BC,CA的中点的中点,则则()答案答案:A2.(2009陕西卷陕西卷)设曲线设曲线y=xn+1(n N*)在点在点(1,1)处的切线与处的切线与x轴的轴的交点的横坐标为交点的
3、横坐标为xn,则则x1x255xn等于等于()答案答案:B3.(2009福建卷福建卷)设设m,n是平面是平面内的两条不同直线内的两条不同直线;l1,l2是平面是平面内的两条相交直线内的两条相交直线,则则 的一个充分而不必要条件是的一个充分而不必要条件是()A.m 且且l1 B.m l1且且n l2C.m 且且n D.m 且且n l2答案答案:B解析解析:根据面面平行的判定定理及充要条件的定义根据面面平行的判定定理及充要条件的定义,可判断可判断B为为 的充分不必要条件的充分不必要条件.4.(2009安徽一模安徽一模)设设a,b,c(-,0),则则 ()A.都不大于都不大于-2B.都不小于都不小于
4、-2C.至少有一个不大于至少有一个不大于-2D.至少有一个不小于至少有一个不小于-2答案答案:C解析解析:-6,三者不能都大于三者不能都大于-2.5.(2009广东三模广东三模)已知已知m,n是两条不同直线是两条不同直线,、是三个不是三个不同平面同平面,下列命题中正确的是下列命题中正确的是()A.若若m,n,则则m nB.若若,则则 C.若若m,m,则则 D.若若m,n,则则m n答案答案:D解析解析:由定理由定理“垂直同一平面的两条直线平行垂直同一平面的两条直线平行”知知,应选应选D.解读高考第二关解读高考第二关 热点关热点关题型一题型一 综合法综合法点评点评:综合法是一种由因导果的证明方法
5、综合法是一种由因导果的证明方法,它的思维特点是它的思维特点是:从从已知入手已知入手,应用公理、定理、性质等进行严格推理应用公理、定理、性质等进行严格推理,得到待证得到待证的结果的结果,用综合法证明不等式常用的重要不等式有用综合法证明不等式常用的重要不等式有:.变式变式1:已知已知a,b,c0,求证求证:2(a3+b3+c3)a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2.分析分析:不等式的不等式的a,b,c为对称的为对称的,且两边为和与积的关系且两边为和与积的关系,故先从故先从均值定理入手均值定理入手,再根据不等式性质推导出要证明的结论再根据不等式性质推导出要证明的结论.证明证明:因为因为a2
6、+b22ab,所以所以(a2+b2)(a+b)2ab(a+b),所以所以a3+b3+a2b+ab22ab(a+b)=2a2b+2ab2所以所以a3+b3a2b+ab2,同理同理:b3+c3b2c+bc2,a3+c3a2c+ac2,将三式相加得将三式相加得:2(a3+b3+c3)a2b+ab2+bc2+b2c+a2c+ac2.题型二题型二 分析法分析法证明证明:本题含有绝对值号本题含有绝对值号,可用分析法证明可用分析法证明.a b,ab=0.要证要证 ,只需证只需证:|a|+|b|a-b|,平方得平方得:|a|2+|b|2+2|a|b|2(|a|2+|b|2-2ab),即即(|a|-|b|)20
7、,显然成立显然成立.故原不等式得证故原不等式得证.点评点评:本题从要证明的结论出发本题从要证明的结论出发,探求使结论成立的充分条件探求使结论成立的充分条件,最后找到恰恰都是已证的命题最后找到恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公定义、公理、定理、法则、公式等式等)或是要证命题的已知条件时或是要证命题的已知条件时,命题得证命题得证.这正是分析法证这正是分析法证明问题的一般思路明问题的一般思路.一般地一般地,含有根号、绝对值的等式或不等式含有根号、绝对值的等式或不等式,若从正面不易推若从正面不易推导时导时,可以考虑用分析法可以考虑用分析法.分析分析:所给条件简单所给条件简单,所证结论复杂所
8、证结论复杂,一般采用分析法一般采用分析法.题型三题型三 反证法反证法分析分析:本题结论以本题结论以“至少至少”形式出现形式出现,从正面思考有多种形式从正面思考有多种形式,不易入手不易入手,故可用反证法加以证明故可用反证法加以证明.点评点评:(1)当一个命题的结论是以当一个命题的结论是以“至多至多”、“至少至少”、“唯一唯一”或以否定形式出现时或以否定形式出现时,宜用反证法来证宜用反证法来证.反证法关键是在正反证法关键是在正确的推理下得出矛盾确的推理下得出矛盾,矛盾可以是矛盾可以是与已知条件矛盾与已知条件矛盾,与假与假设矛盾设矛盾,与定义、公理、定理矛盾与定义、公理、定理矛盾,与事实矛盾等方面与
9、事实矛盾等方面.反证法常常是解决某些反证法常常是解决某些“疑难疑难”问题的有力工具问题的有力工具,是数学证明是数学证明中的一件有力武器中的一件有力武器.(2)利用反证法证明问题时利用反证法证明问题时,要注意与之矛盾的定理不能是用本要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明定理题的结论证明定理;否则否则,将出现循环论证的错误将出现循环论证的错误.变式变式3:a,b,c为实数为实数,且且a=b+c+1,证明证明:两个一元二次方程两个一元二次方程x2+x+b=0,x2+ax+c=0中至少有一个方程有两个不相等的实数根中至少有一个方程有两个不相等的实数根.分析分析:本题若直接分析要分两种情况讨论本题若
10、直接分析要分两种情况讨论,要证明两次要证明两次,过程比过程比较繁锁较繁锁,可以从结论的对立面分析可以从结论的对立面分析,即两个方程都没有两个不即两个方程都没有两个不等的实数根等的实数根,用反证法进行证明用反证法进行证明.证明证明:假设两个方程都没有两个不等的实数根假设两个方程都没有两个不等的实数根,则则1=1-4b0,2=a2-4c0,1+2=1-4b+a2-4c0.a=b+c+1,b+c=a-1.1-4(a-1)+a20,即即a2-4a+50.但是但是a2-4a+5=(a-2)2+10,故矛盾故矛盾.所以假设不成立所以假设不成立,原命题正确原命题正确,即两个方程中至少有一个方程即两个方程中至
11、少有一个方程有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根.笑对高考第三关笑对高考第三关 技巧关技巧关1.综合法、反证法在几何中的应用综合法、反证法在几何中的应用解有关立体几何问题的通法是解有关立体几何问题的通法是:结合立体几何图形结合立体几何图形,通过必要通过必要的辅助线的辅助线,把立体几何问题通过点、线、面的位置关系转化把立体几何问题通过点、线、面的位置关系转化为平面几何问题来解决为平面几何问题来解决.例例1(2009辽宁高考题辽宁高考题)如图如图,已知两个正方形已知两个正方形ABCD和和DCEF不在不在同一平面内同一平面内,M,N分别为分别为AB,DF的中点的中点.(1)若若CD=2,平面平面
12、ABCD 平面平面DCEF,求求MN的长的长;(2)用反证法证明用反证法证明:直线直线ME与与BN是两条异面直线是两条异面直线.分析分析:本题主要考查了立体几何中点、线、面的位置关系及其本题主要考查了立体几何中点、线、面的位置关系及其长度问题长度问题,同时考查了反证法在立体几何中的应用等同时考查了反证法在立体几何中的应用等.解解:(1)取取CD的中点的中点G,连接连接MG,NG.因为因为ABCD,DCEF为正方形为正方形,且边长为且边长为2,所以所以MG CD,MG=2,NG=.因为平面因为平面ABCD 平面平面DCEF,所以所以MG 平面平面DCEF.可得可得MG NG.(2)证明证明:假设
13、直线假设直线ME与与BN共面共面,则则AB 平面平面MBEN,且平面且平面MBEN与平面与平面DCEF交于交于EN.由已知由已知,两正方形两正方形ABCD和和DCEF不共面不共面,故故AB平面平面DCEF.又又AB CD,所以所以AB 平面平面DCEF,而而EN为平面为平面MBEN与平面与平面DCEF的的交线交线,所以所以AB EN,又又AB CD EF,所以所以EN EF,这与这与ENEF=E矛盾矛盾,故假设不成立故假设不成立.所以所以ME与与BN不共面不共面,它们是异面直线它们是异面直线.2.证明数列问题证明数列问题分析分析:本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式与前本题主要考查等差数列
14、、等比数列的通项公式与前n项项和公式以及一些基本运算能力和公式以及一些基本运算能力,考查证明不等式的基本方法考查证明不等式的基本方法.考考 向向 精精 测测(2009江苏高考江苏高考)如图如图,在直三棱柱在直三棱柱ABC-A1B1C1中中,E,F分别是分别是A1B,A1C的中点的中点,点点D在在B1C1上上,A1D B1C.求证求证:(1)EF 平面平面ABC;(2)平面平面A1FD 平面平面BB1C1C.分析分析:本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查空间想象能力、推理论证能力考查空间想象能力、推理论证能力.(与题图一样与题图一样)
15、证明证明:(1)由由E,F分别是分别是A1B,A1C的中点知的中点知EF BC,因为因为EF平面平面ABC,BC平面平面ABC,所以所以EF 平面平面ABC.(2)由三棱柱由三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱知为直三棱柱知CC1 平面平面A1B1C1,又又A1D平面平面A1B1C1,故故CC1 A1D.又因为又因为A1D B1C,CC1B1C=C,CC1,B1C平面平面BB1C1C,故故A1D 平面平面BB1C1C.又又A1D平面平面A1FD,所以平面所以平面A1FD 平面平面BB1C1C.课时作业课时作业(二十三二十三)综合法、分析综合法、分析法与反证法法与反证法一、选择题一、选择题1.用
16、反证法证明用反证法证明:若整系数一元二次方程若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0有有理根有有理根,那么那么a,b,c中至少有一个偶数时中至少有一个偶数时,下列假设正确的是下列假设正确的是()A.假设假设a,b,c都是偶数都是偶数B.假设假设a,b,c都不是偶数都不是偶数C.假设假设a,b,c至少有一个偶数至少有一个偶数D.假设假设a,b,c至多有两个偶数至多有两个偶数答案答案:B2.若若a,b,c0,且且ab+bc+ca=1,则下列不等式中正确的是则下列不等式中正确的是()A.a2+b2+c22B.(a+b+c)23C.1a+1b+1c2D.a+b+c答案答案:B解析解析:a2+b22ab
17、,b2+c22bc,c2+a22ca,2(a2+b2+c2)2(ab+bc+ca),a2+b2+c2ab+bc+ca,(a+b+c)23(ab+bc+ca),(a+b+c)23.B正确正确,其它均错其它均错.3.下列四个命题中下列四个命题中,正确的是正确的是()A.a,b R,则则|a|-|b|a+b|B.a,b R,则则|a-b|a|+|b|C.若实数若实数a,b满足满足|a-b|=|a|+|b|,则则ab0D.若实数若实数a,b满足满足|a|-|b|a+b|,则则ab0时时,D不成立不成立.或用或用分析法证明分析法证明C成立成立.4.已知已知m,n是两条不重合的直线是两条不重合的直线,、是
18、两个不重合的平面是两个不重合的平面,下下列命题中正确的是列命题中正确的是()A.若若m,n,则则m nB.m n,n,m,则则m C.,m,则则m D.m,n,m n,则则 答案答案:B解析解析:由直线与平面平行的判定定理知由直线与平面平行的判定定理知,B正确正确.5.设设x0,y0,且且 ,则则xy的最小值为的最小值为()A.4B.8C.16D.24答案答案:C二、填空题二、填空题答案答案:AB7.应用反证法推出矛盾的推导过程中应用反证法推出矛盾的推导过程中,要把下列哪些作为条件要把下列哪些作为条件使用使用_.假设假设;原命题的条件原命题的条件;公理、定理、定义等公理、定理、定义等;原结论原
19、结论.答案答案:答案答案:xy答案答案:解析解析:利用不等式的性质可证得利用不等式的性质可证得是真命题是真命题.三、解答题三、解答题11.已知已知a,b,c(0,1),求证求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于不能同时大于 .12.已知函数已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b R),当实数当实数p,q满足满足p+q=1时时,试证试证明明:pf(x)+qf(y)f(px+qy)对任意对任意x,y都成立的充要条件是都成立的充要条件是0p1.证明证明:pf(x)+qf(y)-f(px+qy)=p(x2+ax+b)+q(y2+ay+b)-(px+qy)2-a(px+qy)-b=p(1-p)x2-2pqxy+q(1-q)y2=pqx2-2pqxy+q5py2=pq(x-y)2.充分性充分性:若若0p1,则则q=1-p .pq(x-y)20,pf(x)+qf(y)f(px+qy).必要性必要性:若若pf(x)+qf(y)f(px+qy),则则pq(x-y)20,(x-y)20,pq0,p(1-p)0,0p1.综上所述综上所述,原命题成立原命题成立.