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1、第六章空间力系第六章第六章 空间力系空间力系 空间汇交力系空间汇交力系 力对轴之矩和力对点之矩力对轴之矩和力对点之矩 空间力偶系空间力偶系 空间力系的简化空间力系的简化 空间力系的平衡条件和平衡方程空间力系的平衡条件和平衡方程 物体的重心物体的重心4.1 空间汇交力系yxzFFxFyFzikj若已知力与正交坐标系Oxyz三轴间夹角，则用直接投影法4.1.1 力在直角坐标轴的投影yxzFFxFyFzFxyjg当力与坐标轴Ox、Oy间的夹角不易确定时，可把力F先投影到坐标平面Oxy上，得到力Fxy，然后再把这个力投影到x、y轴上，这叫间接投影法。4.1.1 力在直角坐标轴的投影1.合成将平面汇交力
2、系合成结果推广得：合力的大小和方向为：4.1.2 空间汇交力系的合成与平衡或2.平衡空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的合力等于零。以解析式表示为：4.1.2 空间汇交力系的合成与平衡空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。例1 重为P的物体用杆AB和位于同一水平面的绳索AC与AD支承，如图。已知P1000N，CEED12cm，EA24cm，b 45，不计杆重；求绳索的拉力和杆所受的力。解：以铰A为研究对象，受力如图。由几何关系：解得：ABCDE4.2 力对点的矩和力对轴的矩4.2.1 力对点的矩以矢量表示力矩矢xyzOFMO(F
3、)rA(x,y,z)hB 空间力对点的矩的作用效果取决于：力矩的大小、转向和力矩作用面方位。这三个因素可用一个矢量MO(F)表示，如图。其模表示力矩的大小；指向表示力矩在其作用面内的转向(符合右手螺旋法则)；方位表示力矩作用面的法线。由于力矩与矩心的位置有关，所以力矩矢的始端一定在矩心O处，是定位矢量。4.2.1 力对点的矩以矢量表示力矩矢以r表示力作用点A的矢径，则以矩心O为原点建立坐标系，则xyzOFMO(F)rA(x,y,z)hBjik4.2.1 力对点的矩以矢量表示力矩矢力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投影为xyzOFMO(F)rA(x,y,z)hBjik力F对z 轴的矩定义为：力对轴
4、的矩是力使刚体绕该轴转动效果的度量，是一个代数量，其绝对值等于力在垂直于该轴平面上的投影对于轴与平面交点的矩。(任意一个平面)4.2.2 力对轴的矩xyzOFFxyhBAab符号规定：从z轴正向看，若力使刚体逆时针转则取正号，反之取负。也可按右手螺旋法则确定其正负号。由定义可知：(1)当力的作用线与轴平行或相交(共面)时，力对轴的矩等于零。(2)当力沿作用线移动时，它对于轴的矩不变。力对轴之矩实例力对轴之矩实例FzFxFy力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果的度量，是一个代数量，其绝对值等于力在垂直于该轴平面上的投影对于轴与平面交点的矩。(任意一个平面)由定义可知：(1)当力的作用线与轴平行或相
5、交(共面)时，力对轴的矩等于零。(2)当力沿作用线移动时，它对于轴的矩不变。4.2.3 力对轴的矩的解析表达式xyzOFFxFyFzA(x,y,z)BFxFyFxyabxy设力F沿三个坐标轴的分量分别为Fx，Fy，Fz，力作用点A的坐标为(x,y,z)，则同理可得其它两式。故有比较力对点的矩和力对轴的矩的解析表达式得：即：力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。4.2.4 力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系4.2.4 4.2.4 力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系例例4-34-3已知：已知：求：求：解：把力解：把力 分解如图分解如图求力F
6、在三轴上的投影和对三轴的矩。解：yxzFjqbcaFxyFyFxFzO如图所示，长方体棱长为a、b、c，力F沿BD，求力F对AC之矩。解：FbbcaABCDa4.2.4 力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 例例例例4 4-2 2 图示正立方体，已知图示正立方体，已知边长为边长为a，在前侧面作用一力在前侧面作用一力F，求该力对三坐标轴的矩。求该力对三坐标轴的矩。解法解法解法解法1 1 按定义计算按定义计算按定义计算按定义计算 解法解法解法解法2 2 按解析式计算按解析式计算按解析式计算按解析式计算力力F 对对x、y轴的矩可类似求得。轴的矩可类似求得。力偶由一个平面平行移至刚体另一个平行平面不影
7、响它对刚体的作用效果。4.3空间力偶4.3.1 空间力偶的性质AFFRRBOF2A1F1B1F2F1 由力偶的性质可知：力偶的作用效果取决于力偶矩的大小、力偶转向和作用面方位。因此可用一矢量M表示：选定比例尺，用M的模表示力偶矩的大小；M的指向按右手螺旋法则表示力偶的转向；M的作用线与力偶作用面的法线方位相同。如图所示。M称为力偶矩矢。力偶矩矢为一自由矢量。空间力偶的等效条件是：两个力偶的力偶矩矢相等。FMF4.3.2 力偶的矢量表示4.3.3 空间力偶等效定理4.3.3 空间力偶等效定理空间力偶的三要素（1）大小：力与力偶臂的乘积；（3）作用面：力偶作用面。（2）方向：转动方向；力偶矩矢4.
8、3.3 空间力偶等效定理2 2、力偶的性质、力偶的性质力偶矩力偶矩因因（2 2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。改变而改变。(1(1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 。4.3.3 空间力偶等效定理（3 3）只要保持力偶矩不变，力）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变。果不变。(4)(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面
9、移至另一与此平面平行只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。的任一平面，对刚体的作用效果不变。=4.3.3 空间力偶等效定理(5)(5)力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡。力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡。定位矢量定位矢量力偶矩相等的力偶等效力偶矩相等的力偶等效力偶矩矢是自由矢量力偶矩矢是自由矢量自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）滑移矢量滑移矢量力偶作用面不在同一平面内的力偶系称为空间力偶系。空间力偶系合成的最后结果为一个合力偶，合力偶矩矢等于各力偶矩矢的矢量和。即：4.3.4 空间力偶系的合成根据合矢量投
10、影定理：于是合力偶矩的大小和方向可由下式确定：4.3.4 空间力偶系的合成 空间力偶系可以合成一合力偶，所以空间力偶系平衡的必要与充分条件是：合力偶矩矢等于零。即：因为：所以：上式即为空间力偶系的平衡方程。4.3.5 空间力偶系的平衡例2.曲杆ABCD,ABC=BCD=900,AB=a,BC=b,CD=c,(y方向),(z方向)求：止推轴承A支座反力及 (x方向)4.3.5 空间力偶系的平衡xyzBcCbaDAm1m3m2BcCbaDAm1m3m2解：根据力偶只能与力偶平衡的性质,画出构件的受力图见图示。约束反力 和 形成一力偶,与 形成一力偶。故该力系为一空间力偶系。可解得:xyz取整体为研
11、究对象 空间力系向点O简化得到一空间汇交力系和一空间力偶系，如图。4.4 空间力系向一点的简化主矢与主矩FnF1F2yzxOF1FnF2MnM2M1zyxOMOFROxyz4.4.1 空间任意力系向一点的简化空间汇交力系可合成一合力FR：力系中各力的矢量和称为空间力系的主矢。主矢与简化中心的位置无关。4.4.1 空间力系向一点的简化MOFROxyz空间力偶系可合成为一合力偶，其矩矢MO：力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和称为力系对简化中心的主矩。主矩与简化中心的位置有关。结论：空间力系向任一点O简化，可得一力和一力偶，这个力的大小和方向等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O；这个力偶的矩矢等于
12、该力系对简化中心的主矩。4.4.1 空间力系向一点的简化4.4.2 空间任意力系的简化结果分析空间任意力系向一点简化的结果可能出现四种情况：(1)FR0，MO0;(2)FR 0，MO 0;(3)FR 0，MO0;(4)FR0，MO 0 MOFROxyz 1)空间任意力系简化为一合力偶的情形FR0，MO0简化结果为一个与原力系等效的合力偶，其合力偶矩矢等于对简化中心的主矩。此时力偶矩矢与简化中心位置无关。FR 0，MO 0这时得一与原力系等效的合力，合力的作用线过简化中心O，其大小和方向等于原力系的主矢。4.4.2 空间任意力系的简化结果分析2)空间任意力系简化为一合力的情形MOOxyzFROx
13、yz 这时亦得一与原力系等效的合力，其大小和方向等于原力系的主矢，合力的作用线离简化中心O的距离为4.4.2 空间任意力系的简化结果分析 FR 0，MO0，且FR MOMOFROFRFRFROOdFROOMOFROxyzFR 0，MO0，且FR MO(指矢量方向）此时无法进一步合成，这就是简化的最后结果。这种力与力偶作用面垂直的情形称为力螺旋。FR与MO同方向时，称为右手螺旋；FR与MO反向时，称为左手螺旋。图示为一右手螺旋。MOFROOFR3)空间任意力系简化为力螺旋的情形4.4.2 空间任意力系的简化结果分析FR 0，MO0，同时两者既不平行，又不垂直，此时可将MO分解为两个分力偶MO和M
14、O，它们分别垂直于FR和平行于FR，则MO和FR可用作用于点O的力FR来代替，最终得一通过点O 的力螺旋。FROOMO4.4.2 空间任意力系的简化结果分析MOFROMOMOFRqO4.4.2 空间任意力系的简化结果分析4)空间任意力系简化为平衡的情形当空间任意力系向一点简化时出现 主矢FR0，主矩MO 0，这是空间任意力系平衡的情形。4.5 空间任意力系的平衡方程4.5.1 空间任意力系的平衡方程FR0，MO 0=空间任意力系平衡的必要与充分条件为：力系中各力在三个坐标轴上投影的代数和等于零，且各力对三个轴的矩的代数和也等于零。上式即为空间任意力系的平衡方程。4.5 空间任意力系的平衡方程4
15、.5.2 空间约束类型例3 一车床的主轴如图a所示，齿轮C半径为100 mm，卡盘D夹住一半径为50 mm的工件，A为向心推力轴承，B为向心轴承。切削时工件等速转动，车刀给工件的切削力Px466 N、Py352 N、Pz1400 N，齿轮C在啮合处受力为Q，作用在齿轮C的最低点。不考虑主轴及其附件的质量，试求力Q的大小及A、B处的约束反力。例4 一等边三角形板边长为a,用六根杆支承成水平位置如图所示.若在板内作用一力偶其矩为M。求各杆的约束反力。ABC16425330o30o30oABCM解:取等边三角形板为研究对象画受力图。ABC16425330o30o30oABCMF1F2F3F4F5F6
16、ABC16425330o30o30oABCMF1F2F3F4F5F6 例5 扒杆如图所示，立柱AB用BG和BH两根缆风绳拉住，并在A点用球铰约束，A、H、G三点位于 xy平面内，G、H两点的位置对称于y轴，臂杆的D端吊悬的重物重P=20kN；求两绳的拉力和支座A的约束反力。解：以立柱和臂杆组成的系统为研究对象，受力如图，建立如图所示的坐标。列平衡方程：联立求解得：4-18解:F5F4F6F3F2F1F500mm1000mmDCBADCBA 例6 均质长方形板ABCD重G=200N，用球形铰链A和碟形铰链B固定在墙上，并用绳EC维持在水平位置，求绳的拉力和支座的反力。解：以板为研究对象，受力如图
17、，建立如图所示的坐标。例7 用六根杆支撑正方形板ABCD如图所示，水平力 沿水平方向作用在A点，不计板的自重，求各杆的内力。解：以板为研究对象，受力如图，建立如图坐标。4.6.1平行力系中心平行力系中心是平行力系合力通过的一个点。平行力系合力作用点的位置仅与各平行力的大小和作用点的位置有关，而与各平行力的方向无关。称该点为此平行力系的中心。4.6 重心xF1FRF2yzOACBr1rCr2上述公式适用上述公式适用所有方向所有方向的平行力系的平行力系 重力是地球对物体的吸引力，如果将物体由无数的质点组成，则重力便构成空间汇交力系。由于物体的尺寸比地球小得多，因此可近似地认为重力是个平行力系，这力
18、系的合力就是物体的重量。不论物体如何放置，其重力的合力的作用线相对于物体总是通过一个确定的点，这个点称为物体的重心。4.6.2 重心若是刚体：均质体PiV 均质杆(等截面)对于均质物体、均质板或均质杆，其重心坐标分别为：4.6.2 重心均质物体的重心就是几何中心，即形心。均质物体均质板(等厚度）这些表达式以重量无关这些表达式以重量无关4.6.3 确定物体重心的方法1 简单几何形状物体的重心如果均质物体有对称面，或对称轴，或对称中心，则该物体的重心必相应地在这个对称面，或对称轴，或对称中心上。简单形状物体的重心可从工程手册上查到。2）图示弓形面积可看成由扇形OAMB去掉三角形OAB得到，由负面积
19、法可求得弓形的重心。扇形和三角行的面积，重心位置查表可得；故所求弓形体物块的重心的坐标为 例8 图示均质等厚物块，其横截面积由半径为R的圆弧AMB与弦AB所围成的弓形，试求其重心在其对称面中的位置。解 1）在物块的对称面上建立图示直角坐标系oxy，由对称性知，弓形体物块的重心必在x轴上，故yc=0。扇形OAMB的面积 其重心位置：三角形OAB的面积其重心位置：4.6.3 确定物体重心的方法2 用组合法求重心如果一个物体由几个简单形状的物体组合而成，而这些物体的重心是已知的，那么整个物体的重心可由下式求出。1）分割法2）负面积法若在物体或薄板内切去一部分（例如有空穴或孔的物体），则这类物体的重心，仍可应用与分割法相同的公式求得，只是切去部分的体积或面积应取负值。均质杆(等截面)均质板(等厚度）均质物体 例9 求图示均质板重心的位置。解一：（组合法）建立如图坐标：解二：（负面积法）x y a a a a C1 C2 O x a a a a C2 C1 O y3 用实验方法测定重心的位置1）悬挂法2）称重法3 用实验方法测定重心的位置2）称重法则有整理后，得若汽车左右不对称，如何测出重心距左（或右）轮的距离？