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1、 第六章 计算机控制系统的 直接设计法q 6.1 概述 q 6.2 最少拍控制系统设计 q 6.3 纯滞后对象的控制算法 q 6.4 设计数字控制器的根轨迹法q 6.5 数字控制器的频域设计法 6.1 概述 计算机控制系统的直接设计法，是先将被控对象和保持器组成的连续部分离散化，然后应用离散控制理论的方法进行分析和综合，直接设计出满足控制指标的离散控制器，用计算机来实现。直接设计法的优点是 不存在采样周期必须足够小的限制 可以考虑采样点之间的性能 可以得到比相应连续系统更好的性能 6.2 最少拍控制系统设计 最少拍设计，是指系统在典型输入信号(如阶跃信号，速度信号，加速度信号等)作用下，经过最
2、少拍(有限拍)，使系统输出的稳态误差为零。q 稳定、不包含纯滞后环节的广义对象的最少拍控制器设计q 任意广义对象的最少拍控制器设计 q 最少拍无纹波控制器设计q 具有阻尼权因子的最少拍控制系统设计1.稳定、不包含纯滞后环节的广义对象的最少拍控制器设计 图6.2是最少拍控制系统结构图,其中H0(s)为零阶保持器，GP(s)为被控对象，D(z)即为待设计的最少拍控制器。定义广义被控对象的脉冲传递函数为 这里，广义被控对象的脉冲传递函数在z平面单位圆上及单位圆外没有极点，且不含有纯滞后环节。图6.2 最少拍随动系统框图稳定、不包含纯滞后环节的广义对象的最少拍控制器设计闭环脉冲传递函数 误差脉冲传递函
3、数则有 稳定、不包含纯滞后环节的广义对象的最少拍控制器设计将其展开如下形式 据最少拍控制器的设计准则，系统输出应在有限拍N拍内跟踪上系统输入，即iN之后，e(i)=0，也就是说，E(z)只有有限项。在不同输入信号R(z)作用下，本着使E(z)项数最少的原则，选择合适的e(z)，即可设计出最少拍无差系统控制器。稳定、不包含纯滞后环节的广义对象的最少拍控制器设计一般地，典型输入信号的z变换具有如下形式式中，A(z-1)是不包含(1-z-1)因式的z-1的多项式。从准确性要求来看，为使系统对典型输入无稳态误差，e(z)应具有的一般形式为式中，F(z-1)是不含(1-z-1)因式的z-1的有限多项式。
4、选择合适的e(z)就是选择合适的p及F(z-1)。单位阶跃输入单位阶跃输入为使E(z)项数最少，选择e(z)=1-z-1，即p=1，F(z-1)=1，使e(z)具有最简形式，则 由z变换定义可知e(t)为单位脉冲函数，即 图6.3 单位阶跃输时的误差及输出序列单位速度输入单位速度输入 选择p=2,F(z-1)=1,则e(z)=(1-z-1)2，可使E(z)具有最简形式 则e(0)=0,e(T)=T,e(2T)=e(3T)=e(4T)=0图6.4 单位速度输入时的误差及输出序列单位加速度输入单位加速度输入 选择p=3，F(z-1)=1，即e(z)=(1-z-1)3，可使E(z)有最简形式：图6.
5、5 单位加速度输入时的误差及输出序列 2.任意广义对象的最少拍 控制器设计设广义脉冲传递函数G(z)为其中，b1，b2，bu是G(z)的u个不稳定零点，a1，a2，av是G(z)的v个不稳定极点，G(z)是G(z)中不包含单位圆上或单位圆外的零极点部分。当对象不包含延迟环节时，m=1；当对象包含延迟环节时，m1。为避免发生D(z)与G(z)的不稳定零极点对消，(z)应满足如下稳定性条件 任意广义对象的最少拍 控制器设计1.因 所以e(z)的零点应包含G(z)在z平面单位圆上或单位圆外的所有极点，即 其中，F1(z1)是关于z1的多项式且不包含G(z)中的不稳定极点ai。任意广义对象的最少拍 控
6、制器设计2.因所以(z)应保留G(z)所有不稳定零点。即其中，F2(z-1)为关于z-1的多项式且不包含G(z)中的不稳定零点bi。任意广义对象的最少拍 控制器设计满足了上述稳定性条件后 即D(z)不再包含G(z)的z平面单位圆上或单位圆外零极点。考虑到准确性、快速性，应选择 其中，对应于阶跃、等速、等加速输入，pq应分别取为1，2，3。任意广义对象的最少拍 控制器设计 综合考虑闭环系统的稳定性、快速性、准确性，(z)必须选为 其中，m为广义对象G(z)的瞬变滞后，该滞后只能予以保留；bi为G(z)在z平面的不稳定零点；u为G(z)不稳定零点数；v为G(z)不稳定的极点数(z=1极点除外)；q
7、分别取1，2，3；ci为q+v个待定系数，ci(i=0,1,2,q+v1)应满足下式：任意广义对象的最少拍 控制器设计具体地，有 前q个方程实际上就是准确性条件，后v个方程是由“aj(j=1,2,，v)是G(z)的极点”得到的。例6.1 3.最少拍无纹波控制器设计 最少拍设计是采用z变换进行的，仅在采样点处是闭环反馈控制，在采样点间实际上是开环运行的。因此，在采样点处的误差为零，并不能保证采样点之间的误差也为零。事实上，按上面方法设计的最少拍系统的输出响应在采样点间存在纹波。为使被控对象在稳态时的输出与输入同步，要求被控对象必须具有相应的能力。例如，若输入为等速输入函数，被控对象Gp(s)的稳
8、态输出也应为等速函数。因此就要求Gp(s)中至少有一个积分环节。最少拍无纹波控制器设计 系统进入稳态后，若数字控制器输出u(t)仍然有波动，则系统输出就会有纹波。因此要求u(t)在稳态时，或者为0，或者为常值。由 Y(z)=(z)R(z)=U(z)G(z)知U(z)=(z)R(z)/G(z)。要求u(t)在稳态时无波动，就意味着U(z)/R(z)为z-1的有限项多项式。而这要求(z)R(z)包含G(z)的所有零点。即其中，w为广义对象G(z)的所有零点个数，bi(i=1,2,，w)为G(z)的所有零点。最少拍无纹波控制器设计综上，无纹波系统的闭环脉冲传递函数(z)必须选择为 式中m为广义对象G
9、(z)的瞬变滞后；q为典型输入函数R(z)分母的(1-z-1)因子的阶次；b1,b2,bw为G(z)所有的w个零点；v为G(z)在z平面单位圆外的极点数(z=1的极点不计在内)。待定系数c0,c1,cq+v-1，由下列方程确定例6.2 4.具有阻尼权因子的 最少拍控制系统设计 最少拍过渡过程响应方法具有对输入函数适应性差的缺点，阻尼权因子方法是对各种输入函数的响应采用折衷方法处理。使它对不同输入信号都具有较满意的性能。当然，这样的系统已不具备最少拍响应了。设计程序很简单，即在所期望的闭环脉冲传递函数(z)中先引入一个权因子C，且用1-Cz-1除1-(z)得 因为C现在是以w(z)的一个极点出现
10、，所以我们必须限制C的大小在-1和+1之间，以便使w(z)是稳定的。6.3 纯滞后对象的控制算法 在工业生产中，大多数过程对象含有较大的纯滞后特性。被控对象的纯滞后时间使系统的稳定性降低，动态性能变坏，如容易引起超调和持续的振荡。对象的纯滞后特性给控制器的设计带来困难。q 纯滞后补偿控制史密斯(Smith)预估器q 大林(Dahlin)算法 1.史密斯(Smith)预估器设被控对象传递函数为纯滞后时间常数为采样周期T的整数倍：=NT，G0(s)不包含纯滞后特性。带零阶保持器的广义对象传递函数为待设计控制器为D(z)，如图6.11所示。图6.11 纯滞后对象控制系统史密斯(Smith)预估器闭环
11、脉冲传递函数为 可见，闭环传递函数分母中包含有纯时间滞后环节，它会使系统的稳定性降低，如果足够大，系统甚至可能变为不稳定。为此，引入史密斯预估器将对象进行改造。q 史密斯预估器的设计步骤 史密斯预估器的设计步骤1.不考虑纯滞后，根据对闭环系统理想特性要求0(z)，先构造一个无时间滞后的闭环系统(见图6.12)。因纯滞后特性无法消除，因此理想闭环系统特性为 此时的数字控制器 图6.12 理想闭环系统史密斯预估器的设计步骤待设计的系统如图6.11所示，D(z)即为待设计的数字控制器。该系统应与图6.12系统具有相同的闭环脉冲传递函数，则求得 上式即为史密斯预估器的z传递函数，其结构如图6.13(a
12、)所示。图6.13 史密斯补偿控制系统史密斯预估器的设计步骤2.将图6.13(a)所示系统作如图6.13(b)所示的等效变换，可以看出，史密斯预估器实际上是引入了一个与被控对象并联的补偿器(1-z-N)G0(z)，使得补偿以后的等效对象不包含纯滞后特性，为G0(z)。因此Smith预估器也称作Smith补偿器。经过补偿后，闭环系统特征方程为上式中已不包含z-N，因此纯滞后的特性不影响系统的稳定性。图6.14 纯滞后被补偿控制系统单位阶跃响应 2.大林(Dahlin)算法 如果对系统的要求是无超调量或超调量很小，并且允许有较长的调节时间，则大林算法的控制效果往往比PID等控制算法具有更好的效果。
13、假设有滞后特性的被控对象可以用带有纯滞后环节e-s的一阶或二阶惯性环节来近似。即 或大林(Dahlin)算法带零阶保持器的一阶对象的脉冲传递函数为带零阶保持器的二阶对象的z传递函数为 式中 数字控制器D(z)的形式 不论是对一阶惯性对象还是对二阶惯性对象，大林算法的设计目标都是使闭环传递函数(s)相当于一个纯滞后环节和一个惯性环节的串联，其中纯滞后环节的滞后时间与被控对象的纯滞后时间完全相同。这样就能保证使系统不产生超调，同时保证其稳定性。因此 式中，Tc为理想闭环系统的一阶惯性时间常数 数字控制器D(z)的形式对上式用零阶保持器法离散化，得到 由于 所以，只要确定了被控对象，就可以由上式确定
14、控制器。大林算法的主要步骤 选取期望的闭环传递函数 根据被控装置的传递函数计算广义脉冲传递函数 计算数字控制器脉冲传递函数例6.4振铃现象及其消除 所谓振铃(Ringing)现象，是指数字控制器的输出以二分之一采样频率大幅度衰减的振荡。振铃现象中的振荡是衰减的。由于被控对象中惯性环节的低通特性，使得这种振荡对系统的输出几乎无任何影响。但是振铃现象却会增加执行机构的磨损，在有交互作用的多参数控制系统中，振铃现象还有可能影响到系统的稳定性。振铃现象的分析系统的输出Y(z)和数字控制器的输出U(z)间有下列关系系统的输出Y(z)和输入函数R(z)之间有下列关系由上面两式得到数字控制器的输出U(z)与
15、输入函数的R(z)之间的关系为 振铃现象的分析定义显然 Ku(z)表达了数字控制器的输出与输入函数在闭环时的关系，是分析振铃现象的基础。振铃现象的分析 对于单位阶跃输入函数R(z)=1/(1-z-1)，含有极点z=1，如果Ku(z)的极点在z平面的负实轴上，且与z=1点相近，那么数字控制器的输出序列u(k)中将含有这两种幅值相近的瞬态项，而且瞬态项的符号在不同时刻是不同的。当两瞬态项符号相同时，数字控制器的输出控制作用加强，符号相反时，控制作用减弱，从而造成数字控制器的输出序列大幅度波动。分析Ku(z)在z平面福实轴上的极点分布情况，就可得出振铃现象的有关结论。振铃幅度RA 振铃幅度RA用来衡
16、量振铃强烈的程度。为描述振铃强烈的程度，应找出数字控制器输出量的最大值umax。由于这一最大值与系统参数的关系难于用解析的式子描述出来，所以常用单位阶跃作用下数字控制器第0次输出量与第1次输出量的差值来衡量振铃现象强烈的程度。程度。振铃现象的消除有两种方法可用来消除振铃现象 1.找出D(z)中引起振铃现象的因子(z=-1附近的极点)，然后令其中的z=1，根据终值定理，这样处理不影响输出量的稳态值。2.选择合适的采样周期T及系统闭环时间常数Tc，使得数字控制器的输出避免产生强烈的振铃现象。振铃现象示例已知被控装置的传递函数为 被控装置广义脉冲传递函数 用大林算法确定的数字控制器为振铃现象示例 由
17、于D(z)在z平面的左半平面有靠近z=-1的两个极点z=-0.6321，z=-0.7919。对于单位阶跃输入数字控制器的输出将产生振铃现象。振铃现象示例 按消除振铃现象的第一种方法，令z=-0.6321和z=-0.7919中的z=1。根据终值定理，这样处理不影响输出量的稳态值。具有纯滞后系统的数字控制器直接设计的步骤 根据系统的性能，确定闭环系统的参数Tc，给出振铃幅度RA的指标 根据振铃幅度RA与采样周期T的关系，解出给定振铃幅度下对应的采样周期T，如果T有多解，则选择较大的采样周期 确定纯滞后时间与采样周期之比的最大整数N 求广义对象的脉冲传递函数G(z)及闭环系统的脉冲传递函数(z)求数
18、字控制器的脉冲传递函数D(z)6.4 设计数字控制器的根轨迹法q离散时间系统的根轨迹 q迟后校正 q超前校正 1.离散时间系统的根轨迹图6.16所示系统的闭环脉冲传递函数为：特征方程为 图6.16 数字控制系统框图将增益K从0变化至时，闭环系统的根在z平面上的轨迹，称为闭环系统的根轨迹。图6.14是单位反馈系统，如反馈通道有环节H(s),则将G(z)改称HG(z)离散时间系统的根轨迹根轨迹上任意一点Za均满足其特征方程，即幅值和相位满足 考虑一种特殊情况，设D(z)=1，且设KG(z)为 其中 为实数。离散时间系统的根轨迹此时有关系式(如图6.17所示)设数字控制器具有如下简单形式图6.17离
19、散时间系统的根轨迹其中，数字控制器D(z)的极点在单位圆内的实轴上。为了不影响系统的稳态特性，设D(1)=1。此时有 当z0zp时,有Kd1，此时称数字控制器为相位超前控制器（零点在极点的右侧，可提供一个超前角）；当z0zp时,有Kd1，此时称数字控制器为相位迟后控制器（零点在极点的左侧，可提供一个迟后角）。2.迟后校正设 取迟后校正环节（控制器）的零极点接近z3=1点，此时，z3=1附近的两个极点和一个零点等效于一个单极点。校正前的根轨迹如图6.18左图所示，校正后的根轨迹如图6.18右图所示。校正前后的根轨迹非常接近，即图6.18 根轨迹图迟后校正此时有 其中，Kc是系统的增益。由于所以有
20、 迟后校正Ku是没有校正前极点在za处的系统增益，即 则由上两式可得由于Kd1时，所以校正后的系统增益Kc大于校正前的增益Ku。系统稳态特性得到了改善。迟后校正设计步骤 选择期望的闭环极点za，计算对应的增益Ku 根据给定的稳态性能指标要求，确定校正后系统增益Kc 计算迟后补偿器的增益 选择迟后补偿器的极点zp，使其接近z=1点 计算迟后补偿器的零点例6.5 3.超前校正超前校正设计步骤如下 选择期望的闭环极点 选择超前校正控制器的零点，使其与的G(z)极点对消 选择超前校正控制器的增益Kc或极点zpz0 求解方程 得增益Kc或极点zpz0 例6.6 6.5 数字控制器的频域设计法 将G(z)
21、作w变换后映射成G(w)，因w域与s域有类似的对应关系，这样就可以运用与连续系统相同的频域设计方法来进行数字控制系统的分析和设计。q w变换 q 数字控制器的频率特性q w变换法的设计步骤 1.w变换由z平面到w平面的双线性变换公式为 w变换 w反变换 2.数字控制器的频率特性设一阶校正器的传递函数D(w)的一般形式为 其中，-vz和-vp分别是w平面中零点和极点的位置。当vzvp时，D(w)具有迟后相位，称为相位迟后校正器。q 相位超前校正器 q 相位迟后校正器 相位超前校正器与s域频率特性定义方法类似,令w=jv，可得图6.25相位超前校正器的频率特性 选择vp和vz，使相位超前发生在相位
22、交界频率附近，则可以增加相位裕量。由图6.26可以看出，相位超前校正器增加了频带宽度，低频端增益基本上不变，因此，稳态精度同无校正时一样。相位超前校正器图6.26有相位超前校正器的开环频率特性 相位迟后校正器 当vzzp时，可画出相位迟后校正器的频率特性如图6.27所示。图6.27 相位滞后校正器的频率特性 为了不使校正器的附加迟后相移影响相位交界频附近的相频特性，vp和vz应该远小于相位交界频率，如图6.28所示。由该图的幅频特性可以看出，相位迟后校正器减少了频带宽度，在低频段v=0附近的增益不变，稳态精度不受影响。相位迟后校正器图6.28 有相位滞后校正器的开环频率特性 3.w变换法的设计
23、步骤w变换设计的基本方法如下 经z-w双线性变换后，首先将w平面的传递函数G(w)分解为各典型环节(比例、积分、微分、二阶等)用s域中绘制伯德图的方法，绘制w平面上的伯德图 根据给定的性能指标，调整原系统的伯德图，得到所期望的频率特性 确定出所求的串联校正装置或并联校正(反馈校正)装置的结构和参数 在w平面设计数字控制器的具体步骤如下 根据给定的被控对象传递函数，求出包含零阶保持器在内的广义对象的脉冲传递函数 选取采样周期T，进行w变换 令w=jv，作G(jv)的伯德图，用与连续系统相同的方法，根据相位裕度和幅值裕度的要求进行补偿校正，设计出D(w)w变换法的设计步骤 将D(w)变换成z平面的脉冲传递函数D(z)，即 将D(z)变换成计算机数字算法，检验系统的性能指标，作必要的再修正 例6.8w变换法的设计步骤