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1、 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系(定积分定积分 )高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系第五章第五章 定定 积积 分分第一节第一节 定积分的概念和性质定积分的概念和性质 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系第五章 定 积分定积分问题举例1,曲边梯形面积第一节 定积分概念与性质设y=f(x)是闭区间a,b上的连续函数,且f(x)0.由直线x=a,x=b和x轴,y=f(x)曲线构成的图形称为曲边梯形.yy=f(x)aAcbxB 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理
2、系系yy=f(x)Axxixi+1分割分割,取点取点,求和求和,取极限取极限是求面积的主要方法B它的面积为yy=f(x)高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系二 定 积 分 的 定 义定义 设函数f(x)在区间a,b上有界,在a,b内任意插入(n-1)个分点将a,b分成n个小区间为各区间的长度,在每一个小区间上取一点令令 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系如果极限存在y=f(x)xabxixi-1Ai其中 f(x)称为被积函数,f(x)dx 称为被积表达式,x称为积分变量.a,b 为积分区间,b为积分上限,a为积分下限 为黎曼
3、积分和y 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系注意:(1)函数在区间上可积,要求区间有限.函数在这区间内是有界的.(2)定义中对小区间的划分和选点是任意的虽然在划分和选点是任意的,但其和式只有唯一的极限.这样,对于函数如果可积,则可用特殊的点和特殊的划分使问题简单.(3)定积分和积分变量的字母的选取无关.例如 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系(4)定积分只与被积函数和积分区间有关.与区间的划分和选点无关.由积分定义,可知以a,b上连续曲线y=f(x)0为曲边的曲边梯形的面积如果(2)中的极限存在,我们称为函数f(x)在区间
4、a,b内可积.高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系下面我们不加证明给出几个定理和推理。定理1 若函数f(x)在a,b上可积,则f(x)在a,b上有界定理2 若函数f(x)在a,b上连续,则f(x)在a,b上可积定理3 若函数f(x)在a,b上有界,且又有有限个间断点,则f(x)在a,b上可积.高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系推论1 在区间a,b上分段连续的函数f(x)在a,b可积.推论2 若函数f(x)在a,b上可积,则f(x)在a,b上的定积分等于它在(a,b),(a,b,或a,b)上的定积分.对于这几种区间上的定积分,
5、我们通常用闭区间a,b作为代表来进行研究,并把它们统一作为(2)当b0,则这性质表示以f(x)0,为边的曲边梯形的面积非负.推论(不等式)如果在a,b上,f(x)g(x),则性质6(绝对值不等式)高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系性质7(估计不等式)设M与m分别是f(x)在区间a,b是的最大值与最小值,则这个性质用来计算不等式.具体做法是利用被积函数的性质;如极值,单调性等得到在这区间中的最大值M和最小值m.高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系性质8(定积分中值定理定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间a,b上连续,则至少
6、存在一点a,b,使得几何意义是曲边梯形的面积等于以(b-a)为底边,f()为高的矩形面积aby=f(x)f()xy 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例2 估计积分的值之范围先求极值:高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系积分中值定理可推广为:若函数f(x)与g(x)在a,b上连续,且g(x)不变号,则存在a,b,使有利用性质7 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系不等式的证明除了利用性质7外,还可利用定积分的几何意义例3 设f(x)在a,b上二次可微,且f(x)0.f“(x)0,试证oxyABCDEf(x)高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系证明:因为f(x)0,f”(x)0.所以f(x)在a,b上递增,且是凹的.显然f(x)的定积分是存在的.它等于曲边梯形ABCD的面积,从图上看,它小于梯形ABCD的面积,大于矩形ABED的面积所以不等式成立注意注意:这种面积证法这种面积证法,显得非常简显得非常简洁洁,对于面积有关的问题可应用对于面积有关的问题可应用这种证明方法这种证明方法.