电气自动控制原理与系统.ppt

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1、书名：电气自动控制原理与系书名：电气自动控制原理与系统第统第2 2版版 ISBNISBN：978-7-111-08163-0978-7-111-08163-0作者：陈渝光作者：陈渝光出版社：机械工业出版社出版社：机械工业出版社本书配有电子课件本书配有电子课件第二章 自动控制系统的数学模型第一节 数学模型简介第二节 典型环节的传递函数及其功能框图第三节 框图第四节 自动控制系统传递函数本章小结主要内容第一节 数学模型简介 研究一个自动控制系统，除定性了解组成系统各元件或环节的功能，以及它们之间的相互关系、工作原理以外，还必须定量分析系统的动态、静态（稳态）过程，才能从本质上把握住系统的基本性能。

2、描述系统各变量之间的相互关系的数学表达式，称为系统的数学模型数学模型。描述系统动态及稳态性能的数学表达式分别称为动动态态及及稳（静）态模型稳（静）态模型。时域模型时域模型微分方程；复频域模型复频域模型传递函数、动态和静态框图；频域模型频域模型频率特性、Bode图。数学模型简介 这些数学模型一般都是可以相互转换的，它们是经典控制理论中常用的时域分析方法、频域分析方法等所使用的数学工具。时域分析方法可以得到控制系统的时域响应曲线，它直观地反映了系统的动态过程。利用它建立起来的系统概念、指标体系等对系统进行性能评估。同时，这些系统概念、指标体系等易于人们理解和使用。一个控制系统的微分方程往往是高阶的

3、微分方程式，求解这类方程式较困难。同时，通过时域解很难找出微分方程式系数（它们取决组成系统的元件的参数）对方程解影响的一般规律，因而使得控制系统的分析和校正较为困难。通过建立频域和时域之间的关系，使用频率法间接地达到分析和校正控制系统的目的。数学模型简介 系统的数学模型可以用解析法（又称为理理论论建建模模）或实验法（又称为系统辨识系统辨识）建立。解解析析法法适用于对系统中各元件的物理、化学等性质比较清楚的情况。根据系统的实际结构参数，从系统各元件所依据的物理、化学等规律出发建立系统的数学模型。实实验验法法适用于系统的运动机理复杂而不便于分析或不可能进行分析的情况。人为地在系统或元件的输入端加上

4、一定形式的测试信号，分析系统中各变量的运动规律，然后选择适当的数学表达式，使之近似地逼近这种运动规律，以此作为系统的数学模型。用解析法建立系统的数学模型时，应合理地简化其数学模型。模型过于简单，会使分析结果误差太大；模型过于复杂，则会导致分析计算上的困难。应在精度许可的前提下，尽量简化其数学模型。建立微分方程式的一般步骤全面了解系统的工作原理、组成结构和系统运动所遵循的物理（化学）规律，确定其输入、输出量。从系统的输入端入手，在充分考虑到相邻元件或环节的相互影响的前提下，依次列写元件或环节的微分方程式。综合各个环节微分方程式，得到系统的微分方程式。将系统的微分方程式整理成标准形式：把与输入量有

5、关的各项放在方程式的右边，把与输出量有关的各项放在方程式的左边，各导数项按降幂排列，并将方程式中的系数化为具有一定物理意义的表示形式，如时间常数等。建立微分方程式的一般步骤例：例：建立图2-1所示直流电动机的微分方程式。图2-1 直流电动机 建立微分方程式的一般步骤解解：直流电动机各物理量之间的基本关系如下：式中 ud电枢电压；式中：e 电枢电动势；id电枢电流；Rd电枢电阻；Ld电枢漏电感；Td电磁转矩；TL摩擦和负载阻力矩；磁通；KT转矩常数；Ke电动势常数；n 转速；JG转动惯量；GD 2飞轮矩；建立微分方程式的一般步骤以ud作为输入量，n作为输出量，TL作为扰动量。消去中间变量Id、T

6、d和e，并整理成标准形式，得：式中 m电动机的机电时间常数：若不考虑电动机负载的影响，则：d 电枢回路的电磁时间常数：可以看出：电动机的转速与电动机自身的固有参数m、d有关，与电枢电压ud、负载转矩TL以及负载转矩对时间的变化有关。传递函数 控制系统性能取决于系统的内在因素，即系统的结构参数，与外部施加的信号无关。控制系统品质好坏的评价可以通过对系统结构参数的分析来达到，而不需要直接对系统输出响应进行分析。传递函数是建立在拉氏变换基础之上，描述线性定常系统或元件输入、输出关系的函数。它是和微分方程一一对应的一种数学模型，它能方便地分析系统或元件结构参数对系统响应的影响。频率法和根轨迹法都是建立

7、在传递函数这种数学模型基础之上的。传递函数是经典控制理论中最基本也是最重要的数学模型。传递函数传传递递函函数数 当初始条件为零时，线性定常系统或元件输出信号c（t）的拉氏变换式与输入信号r（t）的拉氏变换式之比，称为该系统或元件的传递函数，记为G（s），即：传递函数控制系统微分方程式的一般形式为：设r（t）、c（t）初始条件为零，对上式进行Laplace变换，经整理得到有理分式的形式：M（s）传递函数的分子多项式；N（s）传递函数的分母之多项式。传递函数的性质（1）只适用于线性定常系统，且只能反映零初始条件下的全部运动规律。（2）传递函数是s的复变函数，其M（s）、N（s）中的各项系数均由系统

8、或元件的结构参数决定，并与微分方程式中的各项系数一一对应。N（s）=0是控制系统的特征方程式，它与微分方程式的特征方程式对应。（3）传递函数表征系统或元件本身的特性，而与输入信号无关，但它不能反映系统或元件的物理结构。（4）由于能源功率的限制和实际系统或元件总是具有惯性的缘故，其输出量不可能无限制上升，因而有：nm。通常将分母多项式的阶数为n的系统，称为n阶系统。（5）传递函数表征输入输出信号间的信号传递关系，因此对于同一系统，选取不同的输入、输出变量，传递函数将不同。传递函数的性质（6）传递函数也可以表示成零、极点的形式：式中 KrKr=bm/an，是传递函数常数用零、极点形式表 示时的传递

9、系数；z1z2zm分子多项式M=0的根，称为零点；p1p2pn分母多项式N=0的根，称为极点。传递函数的性质（7）传递函数也常表示成时间常数的形式：式中 i分子中各因子的时间常数；j分母中各因子的时间常数；K传递函数中的一个系数，称为传递系数。传递函数的求取直直接接计计算算法法 对于元件或简单系统，首先建立描述元件或系统的微分方程式，然后在零初始条件下，对方程式进行拉氏变换，即可求得元件或系统的传递函数。阻阻抗抗法法 求取无源网络或电子调节器的传递函数，采用复数阻抗法更为方便。下表中列出了电路中电阻、电容和电感的阻抗传递函数。利用动态框图求取传递函数利用动态框图求取传递函数 元件名称电路形式元

10、件微分方程阻抗传递函数电阻R电感L电容C线性系统的两个重要性质（1）齐次性齐次性 如果线性系统对输入信号x（t）的响应为y（t），则输入信号为ax（t）时，其响应为ay（t）。（2）叠加性叠加性 如果线性系统对x1（t）和x2（t）的响应分别为y1（t）和y2（t），则系统输入信号为x1（t）+x2（t）时，系统的响应应为y1（t）+y2（t）。非线性元件的线性化处理 线性化就是在一定的工作范围内，用近似的线性方程代替这些非线性方程。常用的线性化方法有：忽忽略略非非线线性性因因素素 如果非线性因素对系统的影响很小，就可采用该方法。取取线线性性段段 如非线性元件在其工作范围内是近似线性的，则取其

11、线性部分，忽略其非线性部分。小小信信号号分分析析法法 在工作点附近的微小工作范围内，用近似的线性方程代替其非线性方程。工作范围内越小，这种近似程度越高。第二节 典型环节的传递函数及其功能框图 若通过微分方程的最简单形式（如一阶或二阶微分方程式）描述元件或其中一部分的动态性能时，通常称这种简单形式为典型环节典型环节。控制系统可视为由若干典型环节按一定方式组合而成。一个元件可能由一个典型环节构成，但也可能包含数个典型环节，或者由数个典型环节构成一个环节。典型环节都可以用功能框表示。功能框是用带框的图形符号（包含输入、输出信号间的功能关系）来表示功能相关的元件的组合体。常用的典型环节比例环节积分环节

12、理想微分环节惯性环节比例微分环节振荡环节延迟环节（纯滞后环节）比例环节 微分方程 式中 K比例系数。传递函数 动态响应 当r（t）=1（t）时 c（t）=K 积分环节微分方程 传递函数 动态响应 当r（t）=1（t）时 c（t）=t/i 式中 i积分时间常数。积分环节a)功能框 b)阶跃响应 c)实例理想微分环节 微分方程：式中 d微分时间常数。传递函数：动态响应：当r（t）=1（t）时 式中（t）为单位脉冲函数理想微分环节a)功能框 b)阶跃响应 c)实例惯性环节 微分方程 式中 惯性时间常数。传递函数 动态响应：当r（t）=1（t）时惯性环节a)功能框 b)阶跃响应 c)实例比例微分环节

13、微分方程 传递函数 动态响应：比例微分环节的阶跃响应为比例环节和理想微分环节的响应的叠加。如下图所示。比例微分环节a)功能框 b)阶跃响应 c)实例振荡环节 微分方程：式中 n无阻尼自然角频率，n=1/；阻尼比。传递函数：（2-25）振荡环节 动态响应：当=0时，c（t）等幅自由振荡（称为无阻尼振荡），振荡频率为n；当1时，c（t）为单调上升的曲线；只有当01时，式（2-25）才成其为一个振荡环节，c(t)减幅振荡（称为阻尼振荡），其振荡频率为d。式中 d 阻尼自然振荡频率，振荡环节 a)功能框 b)阶跃响应 c)实例延迟环节 微分方程：c（t）=r（t-D）式中 D纯延迟时间常数。传递函数：

14、延迟环节动态响应：a)功能框 b)阶跃响应 c)实例第三节 框图框框图图又称为结结构构图图。控制系统中常用框图来形象地描述各元件（环节）之间和各作用量之间的相互关系，它具有简明、直观和运算方便的特点。框图又分为动动态态框框图图（描述动态关系）和静静态态框框图图（描述静态关系）。静态框图仅描述环节或系统的静态关系，因而它可视为动态框图的特殊情况。框图由信号线、引出点（分支点）、相加点（比较点）和功能框（方框）四个基本元素组成。框图信号线的箭头表示信号传输方向，可以在信号线的上（下）方标出信号线的名称。引出点表示把一个信号分成两路或多路输出，同一位置引出的信号都与原信号相同。相加点具有对几个信号求

15、和的功能。功能框表示一个环节或系统，功能框中填入相应环节或系统的传递函数。框图结构图的基本组成元素：a)信号线 b)引出点 c)相加点 d)功能框自动控制系统框图的建立根据系统电路图画出其复频域电路图。从输入开始，由左至右，根据系统中各变量的传递顺序，用信号线连接各元件或环节的功能框，直至输出为止。从输出量开始，用信号线将反馈变量引至有关比较点，构成主反馈或局部反馈环节。例例 试建立图2-1直流电动机的框图（以电枢电压Ud(s)为参考输入量、转速N(s)为输出量）。解解 1）列出直流电动机各环节的微分方程式、传递函数和框图，如下表所示。2）按Ud(s)Id(s)Td(s)N(s)顺序，依次连接

16、各环节框图。3）标出参考输入量Ud(s)、输出量N(s)、扰动量TL(s)和中间变量Id(s)。这样就完成了直流电动机的框图建立，如下图所示。序号微分方程 拉氏变换式传递函数功能框框图代数框图代数又称为结构图的等效变换结构图的等效变换。框图代数主要有两类：一类是环节的合并，另一类是引出点的移动或比较点的移动。环节的合并：串联环节的合并 并联环节的合并 反馈环节的合并环节的合并串联环节的合并串联环节的合并其等效传递函数为：串联环节合并时，应考虑其电源内阻效应或负载效应。只有在上一级电源内阻较小，或下一级负载阻抗较大时，或加了隔离电路之后才可不考虑这两种效应。本书讨论的串联环节，在无特别说明的情况

17、下，均为无电源内阻效应或负载效应环节。环节的合并并联环节的合并并联环节的合并环节的合并反馈环节的合并反馈环节的合并比较点的互换、合并 比较点的互换，输出量保持不变；比较点合并，输出量也保持不变。分支点和比较点的移动规则 分支点的移动规则是保持移动前后的引出量不变；比较点的移动规则是保持移动前后的输出量不变。分支点和比较点移动前后的框图对照表位置移动前框图移动后框图引出点前移引出点后移比较点前移比较点后移非单位反馈系统化为单位反馈系统 利用比较点的移动规则，非单位反馈系统等效变换成单位反馈系统。利用框图代数求取传递函数 利用引出点和比较点移动规则，解除环间交叉，简化成大环套小环的互不交叉的多回路

18、框图形式。对多回路框图，可以由里向外进行变换，直至变换成一个等效的功能框。如果有多个输入量分别作用在系统的不同部位上，或系统有多个输出量，则应分别对每一个输入量或输出量逐个进行框图代数运算。例例 系统框图如图2-25a所示，试求G（s）=C（s）/R（s）。解解 1.根据分支移动规则，解除交叉结构，如图2-25b 所示。2.根据反馈环节等效规则，求出内环传递函数，如图2-25c 所示。3.根据串联环节等效规则，求出主通道上的传递函数，如图2-25d 所示。4.根据反馈环节等效规则，求出系统传递函数，如图2-25e所示。图2-25 框图简化 常用闭环系统传递函数计算的简便方法 根据梅逊公式，我们

19、可以得到以下闭环系统传递函数计算的简便公式。多多环环相相互互接接触触的的控控制制系系统统 系统的特点是前向通道只有一条，各环都与前向通道接触，而且环与环之间都有公共部分（环与环相互接触）。式中 G（s）的分子为前向通道各串联环节传递函数之积（n为前向通道串联环节数），分母为各回环开环传递函数之和加1（m为反馈环数目），且每一回环开环传递函数的符号，负反馈时取正，正反馈时取负。具有多环互不接触回路的控制系统具有多环互不接触回路的控制系统 式中 分子为前向通道各串联环节传递函数之积（n为前向通道串联环节数）；分母第二项为各回环开环传递函数之和（m为反馈环数目），且每一回环开环传递函数的符号，负反馈

20、时取正，正反馈时取负；分母第三项为所有两个互不接触回环开环传递函数乘积之和；分母第四项为所有三个互不接触回环开环传递函数乘积之和；分母第五项、第六项等，依此类推。上面两式只能求解有一条前向通道的系统的等效传递函数。对于前向通道多于一条时，应先运用框图代数简化成一条前向通道，再应用上式。第四节 自动控制系统传递函数 闭环系统的开环传递函数闭环系统的开环传递函数 闭环系统的开环传递函数定义闭环系统的开环传递函数开环传递函数为：Go（s）为闭环系统的开环传递函数，指断开主反馈通道（开环）而得到的，而非开环系统的传递函数。Go（s）主要用来研究控制系统的固有性能。闭环传递函数 系统中给定量R（s）与扰

21、动量D（s）均为系统的输入量，利用迭加原理可得到两个传递函数：1.R（s）作用下的闭环传递函数令D（s）=0 GR（s）主要用来研究控制系统的跟随性能（即输出量跟随给定量变化的性能）。闭环传递函数 2.D（s）作用下的闭环传递函数令R（s）=0 GD（s）主要用来研究控制系统的抗扰性能。3.在给定量R（s）和扰动量D（s）同时作用下，运用迭加原理可得到闭环系统的总输出响应：自动控制系统传递函数的特点 各种闭环传递函数的分母均为1+Go（s），即它们的极点相同。对于 ，若 时 闭环控制系统具有抗扰能力，扰动的抑制主要与 有关，即扰动的抑制只能从扰动信号引入点前的环节入手解决。自动控制系统传递函数

22、的特点对于 当 时，闭环控制系统能克服主通道上元件参数的变化，但对反馈元件（测量元件）的误差或参数变化而引起的误差（扰动）却无能为力。闭环控制系统的偏差传递函数 控制系统分析中常关心误差的变化规律。控制误差的大小，可达到控制系统精度的目的。偏差与误差之间存在一一对应的关系。研究偏差，即可达到分析误差的目的。1.只有R（s）作用时令D（s）=0的偏差传递函数2.只有D（s）作用时令R（s）=0的偏差传递函数 闭环控制系统的偏差传递函数3.R（s）和D（s）同时作用下的偏差 由迭加定理可得：4.特点：当 时 偏差（或误差）与扰动作用点前的环节密切相关。闭环控制系统的偏差传递函数GER（s）用来研究

23、系统输出跟随给定量变化过程中的误差（偏差）；ER（s）是系统输出跟随给定量变化过程中的偏差（误差）。也正是这个偏差的作用才能产生控制作用-自动控制系统的基本原理。GED（s）用来研究扰动所引起的误差（偏差）；ED（s）为扰动所引起的误差（偏差）。当系统进入稳态后，若E（s）=0，则称该系统为无差系统；若E（s）0，则称该系统为有差系统。本章小结微分方程是自动控制系统的最基本的数学模型，也是系统的时域数学模型。传递函数是系统或环节在初始条件为零时输出量的拉氏变换式和输入量的拉氏变换式之比。传递函数只与系统（或环节）内部的结构、参数有关，而与输入量、扰动量等外界因素无关。对于同一系统，若选取的输入

24、量和输出量不同，则其对应的微分方程式和传递函数也不同。控制系统框图可用框图代数或控制系统常用的传递函数简化公式来简化。本章小结传递函数Go（s）用来描述系统的固有特性，GR（s）用来描述系统的跟随性能，GD（s）用来描述系统的抗扰性能，GER（s）用来研究系统输出跟随输入变化过程中的误差（偏差），GED（s）用来研究扰动量所引起的误差（偏差）。闭环控制系统具有抗扰能力，扰动的抑制只能从扰动信号引入点前的环节入手解决。闭环控制系统虽然能克服主通道上元件参数的变化，但对反馈元件（测量元件）的误差或反馈元件参数变化而引起的误差（扰动）却无能为力。当系统进入稳态后，若E（s）=0，则称该系统为无差系统；若E（s）0，则称该系统为有差系统。