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1、第三节第三节 泰勒级数泰勒级数二、泰勒定理三、将函数展开成泰勒级数一、问题的引入四、典型例题五、小结与思考1一、问题的引入一、问题的引入问题问题:任一个解析函数能否用幂级数来表达？任一个解析函数能否用幂级数来表达？.内任意点内任意点如图如图:.K.2由柯西积分公式由柯西积分公式,有有其中其中 K 取正方向取正方向.则则34由高阶导数公式由高阶导数公式,上式又可写成上式又可写成其中其中可知在可知在K内内5令令则在则在K上连续上连续,6即存在一个正常数即存在一个正常数M,7在在内成立内成立,从而在从而在K内内 圆周圆周的半径可以任意增大的半径可以任意增大,只要只要内成立内成立.在在的的泰勒展开式泰
2、勒展开式,在在泰勒级数泰勒级数8如果如果到到的边界上各点的最短距离为的边界上各点的最短距离为那末那末在在的泰勒展开式在内成立的泰勒展开式在内成立因为凡满足因为凡满足的的必能使必能使由上讨论得重要定理由上讨论得重要定理泰勒展开定理泰勒展开定理在在的泰勒级数的泰勒级数的收敛半径的收敛半径至少等于，至少等于，但但9二、泰勒定理二、泰勒定理其中其中泰勒级数泰勒级数泰勒展开式泰勒展开式定理定理设设在区域在区域内解析内解析,为为 内的一内的一为为到到的边界上各点的最短距离的边界上各点的最短距离,那末那末点点,时时,成立成立,当当泰勒介绍泰勒介绍10说明说明:1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数复变函
3、数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多时弱得多;(想一想想一想,为什么为什么?)4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的.(为什么为什么?)11因为解析，可以保证无限次可各因为解析，可以保证无限次可各阶导数的连续性阶导数的连续性;所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广阔的多要比实变函数广阔的多.注意注意问题：问题：利用泰勒级数可以将函数展开为幂级利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数数，展开式是否唯一？展开式是否唯一？12那末那末即即因此因此,任何解析函数展开成幂级数的结果就是任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰
4、勒级数泰勒级数,因而是唯一的因而是唯一的.13三、将函数展开成泰勒级数三、将函数展开成泰勒级数常用方法常用方法:直接法和间接法直接法和间接法.1.直接法直接法:由泰勒展开定理计算系数由泰勒展开定理计算系数14例如，例如，故有故有15仿照上例仿照上例,162.间接展开法间接展开法:借助于一些已知函数的展开式借助于一些已知函数的展开式,结合解析结合解析函数的性质函数的性质,幂级数运算性质幂级数运算性质(逐项求导逐项求导,积积分等分等)和其它数学技巧和其它数学技巧(代换等代换等),求函数的泰求函数的泰勒展开式勒展开式.间接法的优点间接法的优点:不需要求各阶导数与收敛半径不需要求各阶导数与收敛半径,因
5、而比因而比直接展开更为简洁直接展开更为简洁,使用范围也更为广泛使用范围也更为广泛.17例如，例如，18附附:常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式1920例例1 1解解四、典型例题四、典型例题21上式上式两边逐项求导两边逐项求导,22例例2 2分析分析如图如图,23即即 将展开式两端沿将展开式两端沿 C 逐项积分逐项积分,得得解解24例例3 3 解解25例例4 4 解解26例例5 5解解27例例6 6解解即微分方程即微分方程对微分方程逐次求导得对微分方程逐次求导得:2829五、小结与思考五、小结与思考 通过本课的学习通过本课的学习,应理解泰勒展开定理应理解泰勒展开定理,熟记熟记五个基本函数的泰勒展开式五个基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成掌握将函数展开成泰勒级数的方法泰勒级数的方法,能比较熟练的把一些解析函数能比较熟练的把一些解析函数展开成泰勒级数展开成泰勒级数.30奇、偶函数的泰勒级数有什么特点奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?思考题思考题31 奇函数的泰勒级数只含奇函数的泰勒级数只含 z 的奇次幂项的奇次幂项,偶函数偶函数的泰勒级数只含的泰勒级数只含 z 的偶次幂项的偶次幂项.思考题答案思考题答案放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.32