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1、偏微分方程有限差分法简介简介1一 建立离散方程的方法 (Discretization of the heat equation)1.有限差分法(finite-difference methods)1)、网格划分(Nodal network/grid/mesh)把物体分割为有限数目的网格单元，将微分方程变换为差分方程，通过数值计算直接求取各网格单元节点的温度。2)、节点(Nodes)网格线的交点3)、基本原理(fundamental theory)利用有限差商代替微商，从而将微分方程转化为差分。例如：232、向后差分式(backward-difference)1).一阶截断公式2).中心差分式(
2、central-difference)属于二阶截断公式，比一阶公式精确。43).二阶导数的中心差分(Central difference)同理5二、热传导问题的数值计算1、二维稳态导热式中 表示节点(i,j)所在网格单元的内热源强度。若无内热源，且网格划分均匀，则62、边界节点方程式的建立(Boundary node equations)第一类边界条件：边界节点温度已知；第二类或第三类边界条件：热平衡关系 边界节点方程。如图4-3：v 第三类边界条件：边界节点温度离散方程如下：73、节点方程组的求解设有n个未知节点，则可得n个线性方程式84、非稳态导热问题的数值计算1）.计算格式910或上式称
3、为显式差分格式。整理得112）.稳定性条件(Stability Criterion)为了加快计算的进程而调整x和 的大小时，必须遵守使上式中tik的系数 大于或至少等于零。即二维非稳态导热均匀网格的显式差分格式，稳定性条件为：12133）.隐式差分格式（The implicit method)（Backward difference）（Central difference）Note that：The implicit formulation is unconditionally stable(隐式差分格式是无条件稳定的)代入微分方程得，1415u(x,t)can be determined f
4、rom initial conditions u(x,0)=f(x)at t=0.t=0t=t1t=t2t=t3三、Pure Convection问题的数值计算Hot fluidCold fluidT=100CT=0CDiffusion set to zerok=0Ex.Accuracy and false diffusionConsider the problem below.If there is no false diffusion,the temperature will be exactly 100 C everywhere above the diagonal and exactly 0 C everywhere below the diagonal.False diffusion will occur due to the oblique flow direction and non-zero gradient of temperature in the direction normal to the flow.178 x 864 x 64First-order UpwindSecond-order UpwindAccuracy and false diffusion18Seismogram Dispersion