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1、1第四章 向量组的线性相关性 1n维向量 一,向量定义 定义11 引言第七章 最小二乘法问题的提出:已知一组离散数据 ,希望由此得到x,y之间的(近似)关系y=f(x).解决问题的思路:寻找一个比较”合理”的函数 来“近似”f(x).现在这里的”近似”与插值近似不同.本章讨论在如下意义下的”近似”:要求”近似”函数在已知点上与原来函数值的偏差达到最小,即:使 达到最小这种意义下的”近似”问题称为离散最佳平方逼近问题,又称最小二乘逼近.几何上又称曲线的最小二乘拟合.最小二乘逼近问题中的近似函数 可以在更”合理”的某种函数类中找一个函数使 与插值问题比较,最小二乘法更注重整体的逼近效果,在函数类型
2、的选择上比插值问题有更大的灵活性,当然多项式是一种常用的函数类,也可以根据问题的需要,选择其它的函数类,如指数函数,反比函数等.选定了函数类 以后,就要在这个函数类中选择一个函数 ,使达到最小这里的”合理”可以根据问题的需要来确定.达到最小33,线性组合与线性表示 定义2 Th1 如n次多项式全体作为一个函数类,就是它的一个基,任意一个n次多项式都由它线性表示.由于一个函数类中有无穷多个函数,我们引进函数类的基引进了函数类的基,原来在函数类的无穷多个函数中找一个函数的问题就转化为求n+1个数,使.最小44,向量组的等价及矩阵的行(列)向量的线性表示 定义3由多元函数的极值原理,应有:给出m个节
3、点上的函数值 ,和权函数要在一个确定的函数类 中求一个函数 ,使 2 曲线拟合的最小二乘法最小5例这就得到了一个线性方程组,这个方程组称为最小二乘法的法方程组(又称正规方程组).由这个法方程组的解就可得到所要求的函数67,向量组的线性相关性 定义4现选取三种不同的曲线类型：用最小二乘法求拟合曲线.例 1 2 3 4 5 6 7 8 9 103.8 6.3 7.9 8.6 9.2 9.5 9.7 9.9 10.1 10.277,向量组的线性相关性 定义4作变换:令 则 数据表变为 例:从1870年开始,100多年来地球大气温度上升的数据如下,试用最小二乘法预测:照此增长方式,到哪一年地球温度将
4、比1870年增高7度.(设年份与 温度增高的关系为指数函数)数据的平移与压缩为了简化计算,减少计算误差,有时对数据表可以进行平移和压缩.1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 0.01 0.02 0.03 0.04 0.06 0.08 0.10 0.13 0.18 0.24 0.32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 6 8 10 13 18 24 3287,向量组的线性相关性 定义4即照此增长方式,到2079年地球温度将比1870年升高7度.现在已知 x=700,要求n令:求得:97,向量组的
5、线性相关性 定义4则最小二乘法的法方程组就可以写为:对于有些不能化为多项式形式的函数,照此矩阵形式,计算较简单.现在要求可令:最小二乘法的矩阵形式设:给出107,向量组的线性相关性 定义4则最小二乘法的法方程组就可以写为:求得:现在用最小二乘法求拟合曲线作变换例:给出数据 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.172 0.323 0.484 0.690 1.000 1.579 11命题最小二乘法的一种应用:求矛盾方程组的最小二乘解对于非齐次的线性方程组,当 时该方程组无解.我们来求它的”近似”解.即使 达到最小.这样的”解”称为矛盾方程组的最小二乘解.例127,向量组的线性相关性 定义4最小二乘法的法方程组就是:多元函数的最小二乘拟合问题 求一个近似函数 使最小例:取双线性函数作为近似函数,即则: