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1、第六节第六节 函数的连续性与连续函数函数的连续性与连续函数1 1、函数的增量、函数的增量一、函数在一点处的连续一、函数在一点处的连续1 例例1 1 证明函数证明函数y=x2在给定点在给定点x0处连续。处连续。证证 在在x0处，函数的改变量为处，函数的改变量为所以所以 y=x2 在给定点在给定点x0处连续。处连续。2 2、函数在一点处连续的定义、函数在一点处连续的定义2下面给出函数连续的定义的另一种下面给出函数连续的定义的另一种等价形式等价形式。3例例2 2证证4定理定理3.3.单侧连续单侧连续5例例3 3解解即不右连续也不左连续即不右连续也不左连续,x y-1 1 O6例例4 4解解7二、连续
2、函数二、连续函数8例例5 5证证9三、连续函数的运算和初等函数的连续性三、连续函数的运算和初等函数的连续性 定理定理1 1例如例如,1、连续函数的四则运算法则、连续函数的四则运算法则三角函数在其定义域内皆连续三角函数在其定义域内皆连续.10定理定理2 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数反函数.例如例如,反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.2、反函数的连续性、反函数的连续性11定理定理3 33、复合函数的连续性、复合函数的连续性极限运算与函数运算可以交换极限运算与函数运算可以交换124、初等函数的连续性、初等函数的连续性三角函
3、数及反三角函数在它们的定义域内是连续的三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.均在其定义域内连续均在其定义域内连续.13所有基本初等函数在其定义域内都是连续的所有基本初等函数在其定义域内都是连续的.一切初等函数在其定义域内都是连续的一切初等函数在其定义域内都是连续的.也就是说，对初等函数来说，连续区间即为其定义域。也就是说，对初等函数来说，连续区间即为其定义域。14 利用函数的连续性可以计算一些极限利用函数的连续性可以计算一些极限.初等函数求极限的方法：初等函数求极限的方法：代入法代入法.例例6 6例例7 7解解解解15例例8 8解解极限运算与函数运算可以交换极限运算与函数运算可以交换1
4、6例例9 9解解类似可得类似可得17例例1010解解前面已证前面已证18常用等价无穷小常用等价无穷小:19等价代换原理：等价代换原理：证证只有在乘、除的极限运算中才能替换；只有在乘、除的极限运算中才能替换；注意注意在加、减的极限运算中不能替换！在加、减的极限运算中不能替换！20例例1111解解21例例1212解解解解错错22例例1313解解23例例1414解解例例1515解解24定定理理1(1(有有界界性性与与最最大大值值最最小小值值定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的函数在该区间上有界且能取得最大值和最小值的函数在该区间上有界且能取得最大值和最小值.1、有界性与最大值最小值定理、有界性与最大值最小值定理四、闭区间上的连续函数四、闭区间上的连续函数记作记作25注意注意:1.若区间是开区间若区间是开区间,定理不一定成立定理不一定成立;2.若区间内有间断点若区间内有间断点,定理不一定成立定理不一定成立.262、介值定理与零点定理、介值定理与零点定理推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值与最小值m之间的任何值之间的任何值.27几何解释几何解释:MBCAmab28几何解释几何解释:定义定义29例例1616证证由零点定理由零点定理,30例例1717证证由零点定理由零点定理,31练习：练习：P67 习题二习题二32