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1、3.1.1方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点 讨论：一元二次方ax2+bx+c=0(a0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象有什么关系？先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数，方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3；方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1；方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3；再请同学们解方程，并分别画出三个函数的草图.方程方程x2 2-2-2x-3=0-3=0与函数与函数y=x2 2-2-2x-3-3xyO3 3-2-2-1-1-1-11 1 2 21 12 2-3-3-4-4方程x2-2x-3=0有两个实根x1=-1,x
2、2=3；函数y=x2-2x-3的图象与x轴有两个交点(-1,0),(3,0).方程方程x2 2-2-2x+1=0+1=0与函数与函数y=x2 2-2-2x+1+1xyO-1-11 1 2 21 12 2方程x2-2x+1=0有两个相等的实数x1=x2=1；函数y=x2-2x+1的图象与x轴有唯一的交点(1,0).方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3xyO35-11 21234 方程x2-2x+3=0无实数根，函数y=x2-2x+3的图象与x轴没有交点.上述关系对一般的一元二次方程上述关系对一般的一元二次方程ax2 2+bx+c=0(0(a0)0)及其相应的二次函数及其相应的二次函数y
3、=ax2 2+bx+c(a0)0)也成立也成立.设判别式=b2-4ac，我们有：（1）当0时，一元二次方程有两个不等的实数根x1，x2，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0)；（2）当=0时，一元二次方程有两个相等的实数根x1=x2，相应的二次函数的图象与x轴有唯一的交点(x1,0)；（3）当0时，一元二次方程没有实数根，相应的二次函数的图象与x轴没有交点.结论：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴的交点的横坐标.一、函数的零点 定义:对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)
4、的零点（zero point）.说明：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.结论：方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.思考思考1:1:函数函数y=f(x)的的零点零点是一个点吗？是一个点吗？思考思考2 2：所有的函数：所有的函数y=f(x)都有都有零点零点吗？吗？一、函数的零点课堂例题课堂例题例、利用函数图象判断方程有没有根，例、利用函数图象判断方程有没有根，有几个根：有几个根：xyO3 36 65 5-1-11 1 2 21 12 23 34 45 58 87 74 4-2-2由图知
5、，由图知，相应的二次函数相应的二次函数y=-x2 2+3+3x+5+5的图象与的图象与x轴有两个交点，所以一元二轴有两个交点，所以一元二次方程次方程-x2 2+3+3x+5=0+5=0有两个不等的实数有两个不等的实数根根.y=-x2+3x+5探究：探究：观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象，我们发现函数f(x)=x2-2x-3在区间-2,1上有零点.计算f(-2)与f(1)的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间2,4上是否也具有这种特点呢？xyO3 3-2-2-1-1-1-11 1 2 21 12 2-3-3-4-4二、零点定理二、零点定理 经过讨论，可以发现：经过讨论，可以发现：f
6、(-2)(-2)f(1)(1)0 0，函数函数f(x)=)=x2 2-2-2x-3-3在区间在区间(-2,1)(-2,1)内有内有零零点点x=-1=-1，是方程，是方程x2 2-2-2x-3=0-3=0的一个的一个根根.同样地，同样地，f(2)(2)f(4)(4)0 0，函数函数f(x)=)=x2 2-2-2x-3-3在区间在区间(2,4)(2,4)内有内有零零点点x=3=3，是方程，是方程x2 2-2-2x-3=0-3=0的另一个的另一个根根.零点定理：零点定理：一般地，我们有：一般地，我们有：如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间 a,b 上的上的图象是连续不断的一条曲线，图象是连续不断
7、的一条曲线，并且有并且有f(a)f(b)0 0，那么，函数那么，函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内有内有零点，即存在零点，即存在c(a,b)，使得使得f(c)=0)=0，这个，这个c也就是方程也就是方程f(x)=0)=0的根的根.课堂例题课堂例题例1.求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数.解：作出x、f(x)的对应值表：x1 12 23 34 45 56 67 78 89 9f(x)-4-4-1.3069-1.30691.09861.09863.338633.338635.60945.60947.79187.79189.94599.945912.079412.079414.197
8、214.1972再作出y=f(x)的图象：由以上表格和图象可知，f(2)0，即f(2)f(3)0,说明这个函数在区间(2,3)内有零点.由于f(x)在定义域(0,+)内是增函数，所以，它仅有一个零点.课堂小结课堂小结 如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解.3.1.2用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解 讨论：对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)可以用公式求根，但没有公式可用来求方程lnx+2x-6=0的根.联
9、系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求它的根呢？新课导入新课导入 上节课我们已经知道，f(x)=lnx+2x-6在区间（2，3）内有零点.问题是：如何找出这个零点呢？如果能够把零点所在的区间范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.下面介绍一种求近似解的方法.我们知道，函数f(x)的图象与直角坐标系中x轴交点的横坐标就是方程f(x)=0的解，利用上节课学过的函数零点存在的条件，我们用逐步逼近的方法，来求方程的近似解.1在区间（2，3）内，方程有解，取区间（2，3）中点2.5；2用计算器计算f(2.5)-0.084，因为f(2.5)f(3)0，所以零点
10、在区间(2.5,3)内 3再取区间(2.5,3)中点2.75，用计算器计算f(2.75)0.512，因为f(2.5)f(2.75)0，所以零点在区间(2.5,2.75)内.4重复上面的过程，在有限次重复相同步骤后，零点所在区间长度在一定精度控制范围内，零点所在区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值.本例中，把取中点和判断零点的过程，用表格列出 区间区间中点的值中点的值中点函数近似值中点函数近似值(2,3)(2,3)2.52.5-0.084-0.084(2.5,3)(2.5,3)2.752.750.5120.512(2.5,2.75)(2.5,2.75
11、)2.6252.6250.2150.215(2.5,2.625)(2.5,2.625)2.56252.56250.0660.066(2.5,2.5625)(2.5,2.5625)2.531252.53125-0.009-0.009(2.53125,2.5625)(2.53125,2.5625)2.5468752.5468750.0290.029(2.53125,2.546875)(2.53125,2.546875)2.53906252.53906250.0100.010(2.53125,2.5390625(2.53125,2.5390625)2.535156252.535156250.0010
12、.001 当精确度为0.01时，由于|2.5390625-2.53125|=0.00781250.01 所以，我们可将x=2.53125作为函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值，也即方程lnx+2x-6=0根的近似值.对于在区间对于在区间 a,b 上上连续不断且连续不断且f(a)f(b)0 0的函数的函数y=f(x)，通过不断，通过不断地把函数地把函数f(x)的零点所在的区间的零点所在的区间一一分为二分为二，使区间的两个端点逐步逼，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方近零点，进而得到零点近似值的方法叫做法叫做二分法二分法（bisection）.一、二分法一、二分法：给定精
13、确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：1.确定区间a,b，验证f(a)f(b)0，给定精确度；2.求区间(a,b)的中点c；二、二分法的步骤二、二分法的步骤3.计算f(c)；(1)若f(c)=0，则c就是函数的零点；(2)若f(a)f(c)0，则令b=c（此时零点x0(a,c)；(3)若f(c)f(b)0，则令a=c（此时零点x0(c,b)）.4.判断：区间长度是否达到精确度？即若|a-b|，则得到零点近似值；否则重复24.说明：由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.由于都是重复性的工作，所以可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算.阅读课本
14、第93页借助信息技术求方程的近似解.课堂例题课堂例题例1.借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度0.1）课堂小结课堂小结 1二分法的理论依据是什么？二分法的理论依据是：如果函数y=f(x)在闭区间a,b上连续不断，且f(a)f(b)x2，有时2xlog2x.图33说说函数y=2x，y=x2，y=log2x的 增长差异.在区间(0,+)上，总有x2log2x；当x4时，总有2xx2.所以当x4时，总有2xx2log2x.4 4一般的，在区间一般的，在区间(0,+)(0,+)上，上，尽管函数尽管函数y=ax(a1)1)，y=loglogax(a1)1)和和y=xn(n0)0
15、)都是增函数，都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同但它们的增长速度不同，而且不在同一个一个档次档次上，随着上，随着x的增大，的增大，y=ax(a1)1)的增长速度越来越快，会的增长速度越来越快，会超过并远远大于超过并远远大于y=xn(n0)0)的增长速度，的增长速度，而而y=loglogax(a1)1)的增长速度则会越来越的增长速度则会越来越慢慢.因此，因此，总会存在一个总会存在一个x0 0，当，当xx0 0时，就时，就有有 loglogaxxnx0 0时，总有时，总有在区间在区间(0,+)(0,+)上，总存在一个上，总存在一个x0 0,当当xx0 0时，总有时，总有 xnaxloglogax（n0,00,0a1 1）.