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1、上页上页 下页下页 返回返回 退出退出2-2 动量定理动量定理 动量守恒定律动量守恒定律重写牛顿第二定律的微分形式重写牛顿第二定律的微分形式考虑一过程，时间从考虑一过程，时间从t t1 1-t t2 2，两端积分两端积分一、一、动量定理动量定理左侧积分表示力对时间的累积量，叫做左侧积分表示力对时间的累积量，叫做冲量冲量。于是得到积分形式于是得到积分形式上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 这这就就是是质质点点的的动动量量定定理理：物物体体在在运运动动过过程程中中所所受受到的合外力的冲量，等于该物体动量的增量。到的合外力的冲量，等于该物体动量的增量。动量定理的几点说明：动量定理的几点说明：(1
2、)(1)冲量的方向：冲量的方向：冲量冲量 的方向一般不是某一瞬时力的方向一般不是某一瞬时力 的方向，而的方向，而是所有元冲量是所有元冲量 的合矢量的合矢量 的方向的方向。(2)(2)在直角坐标系中将矢量方程改为标量方程在直角坐标系中将矢量方程改为标量方程上页上页 下页下页 返回返回 退出退出(3)(3)动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力。动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力。打打击击或或碰碰撞撞，力力 的的方方向向保保持持不不变变，曲曲线线与与t t轴轴所所包包围围的的面面积积就就是是t t1 1到到t t2 2这这段段时时间间内内力力 的的冲冲量量的的大大小小，根根据据改改变变动动量量
3、的的等等效效性性，得到平均力。得到平均力。将将积分用平积分用平均力代替均力代替动量定动量定理写为理写为平均力写为平均力写为平均力大小：平均力大小：上页上页 下页下页 返回返回 退出退出例例 动量定理解释了动量定理解释了“逆风行舟逆风行舟”船船前前进进方方向向风吹来风吹来取一小块风取一小块风dm为研究对象为研究对象初初末末由牛顿第由牛顿第三定律三定律前前进进方方向向风对帆的冲量大小风对帆的冲量大小方向与方向与 相反相反上页上页 下页下页 返回返回 退出退出例例题题2-2 质质量量m=3t的的重重锤锤，从从高高度度h=1.5m处处自自由由落落到到受受锻锻压压的的工工件件上上，工工件件发发生生形形变
4、变。如如果果作作用用的的时时间间(1)t=0.1s，(2)t=0.01s。试求锤对工件的平均冲力。试求锤对工件的平均冲力。解：解：以重锤为研究对象，分析受力，作受力图以重锤为研究对象，分析受力，作受力图：解解法法一一：锤锤对对工工件件的的冲冲力力变变化化范范围围很很大大，采采用用平平均均冲冲力力计计算算，其其反作用力用平均支持力代替。反作用力用平均支持力代替。在竖直方向利用动量定理，取竖直在竖直方向利用动量定理，取竖直向上为正。向上为正。初状态动量为初状态动量为末状态动量为末状态动量为0 0上页上页 下页下页 返回返回 退出退出得得到到解得解得代入代入m、h、t的值，求得的值，求得：(1)(1
5、)(2)(2)上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 解解法法二二：考考虑虑从从锤锤自自由由下下落落到到静静止止的的整整个个过程，动量变化为零。过程，动量变化为零。重力作用时间重力作用时间为为支持力的作用时间为支持力的作用时间为t根据动量定理，整个过程合外力的冲量为零，根据动量定理，整个过程合外力的冲量为零，得到解法一相同的结果得到解法一相同的结果即即上页上页 下页下页 返回返回 退出退出例例题题2-3 一一绳绳跨跨过过一一定定滑滑轮轮，两两端端分分别别拴拴有有质质量量为为m及及的的m物物体体A和和B，m大大于于m。B静静止止在在地地面面上上，当当A自自由由下下落落距距离离h后后，绳绳子子才才
6、被被拉拉紧紧。求求绳绳子子刚刚被被拉拉紧时两物体的速度，以及能上升的最大高度。紧时两物体的速度，以及能上升的最大高度。mmBAh解解：以以物物体体A和和B为为系系统统作作为为研研究究对对象象，采采用用隔隔离离法法分分析析受受力，作出绳拉紧时的受力图：力，作出绳拉紧时的受力图：AB 绳绳子子刚刚好好拉拉紧紧前前的的瞬瞬间间，物体物体A的速度为：的速度为：取竖直向上为正方向取竖直向上为正方向。上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 绳绳子子拉拉紧紧后后，经经过过短短暂暂时时间间的的作作用用，两两物物体体速速率相等，对两个物体分别应用动量定理，得到：率相等，对两个物体分别应用动量定理，得到：忽略重力
7、，考虑到绳不可伸长，有：忽略重力，考虑到绳不可伸长，有：解得：解得：当物体当物体B上升速度为零时，达到最大高度上升速度为零时，达到最大高度上页上页 下页下页 返回返回 退出退出例题例题2-42-4 矿砂从传送带矿砂从传送带A落到另一传送带落到另一传送带B，其速度，其速度v1=4=4m/s，方向与竖直方向成，方向与竖直方向成3030角，而传送带角，而传送带B与水与水平成平成1515角，其速度角，其速度v2=2 m/s如传送带的运送量恒如传送带的运送量恒定，设为定，设为k=20 kg/s，求落到传送带，求落到传送带B上的矿砂在落上上的矿砂在落上时所受到的力时所受到的力解解:设在某极短的时间设在某极
8、短的时间t内落在传送带上矿砂的质量内落在传送带上矿砂的质量为为m，即，即m=kt，这些矿砂动量的增量为，这些矿砂动量的增量为上页上页 下页下页 返回返回 退出退出于是于是其量值可用矢量差方法求得其量值可用矢量差方法求得 参看图参看图 (b)(b)设这些矿砂在设这些矿砂在t时间内的平均作用力为时间内的平均作用力为F F，根，根据动量定理据动量定理，作用力作用力F的方向与的方向与(mv v)的方向相同，图的方向相同，图(b)中的中的角可由下式求得：角可由下式求得：上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 物物体体m与与质质元元dm在在t时时刻刻的的速速度度以以及及在在t+dt时时刻刻合并后的共同速度
9、如图所示：合并后的共同速度如图所示：mdmm+dm 把把物物体体与与质质元元作作为为系系统统考考虑虑，初初始始时时刻刻与与末末时时刻的动量分别为：刻的动量分别为：初始时刻初始时刻末时末时刻刻二、变质量物体的运动方程二、变质量物体的运动方程上页上页 下页下页 返回返回 退出退出对系统利用动量定理对系统利用动量定理略去二阶小量，两端除略去二阶小量，两端除dt变质量物变质量物变质量物变质量物体运动微体运动微体运动微体运动微分方程分方程分方程分方程 值值得得注注意意的的是是，dm可可正正可可负负，当当dm取取负负时时，表明物体质量减小，对于火箭之类喷射问题，表明物体质量减小，对于火箭之类喷射问题，为尾
10、气推力。为尾气推力。上页上页 下页下页 返回返回 退出退出例例2-5 质量为质量为m的匀质链条，全长为的匀质链条，全长为L，手持其上端，手持其上端，使下端离地面为使下端离地面为h.然后放手让它自由下落到地面上，然后放手让它自由下落到地面上，如图所示如图所示.求链条落到地上的长度为求链条落到地上的长度为l时，地面所受链时，地面所受链条作用力的大小条作用力的大小.解解：此此题题可可用用变变质质量量物物体体运运动动微微分分方方程求解，用链条为系统，向下为程求解，用链条为系统，向下为x正向，正向，x t时刻，落地面链段时刻，落地面链段ml速度为零，即速度为零，即u=0，空中链段（，空中链段（m-ml）
11、速度为）速度为v，受力，受力如图。如图。x 由由变质量物体运动微分方程可得变质量物体运动微分方程可得上页上页 下页下页 返回返回 退出退出因在自由下落中因在自由下落中 ，所以上式化简为，所以上式化简为 或或因因 ,又又 所以所以 地面所受链条的作用力的大小地面所受链条的作用力的大小上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 如果系统所受的外力之和为零（即如果系统所受的外力之和为零（即 ），则），则系统的总动量保持不变。这个结论叫做系统的总动量保持不变。这个结论叫做动量守恒定律动量守恒定律.条件条件定律定律时时时时时时时时=常量常量时时时时直角坐标系下的分量形式直角坐标系下的分量形式三、动量守恒定律
12、三、动量守恒定律上页上页 下页下页 返回返回 退出退出3.自然界中不受外力的物体是没有的，但如果自然界中不受外力的物体是没有的，但如果系统的系统的内力内力外力外力，可近似认为动量守恒。，可近似认为动量守恒。2.若合外力不为若合外力不为 0，但在某个方向上合外力分量，但在某个方向上合外力分量为为 0，这个方向上的动量守恒，这个方向上的动量守恒。1.对于一个质点系，若合外力为对于一个质点系，若合外力为 0，系统的总动量，系统的总动量保持不变，但系统内的动量可以相互转移。保持不变，但系统内的动量可以相互转移。明确几点明确几点上页上页 下页下页 返回返回 退出退出例题例题2-6 如图所示如图所示,设炮
13、车以仰角设炮车以仰角 发射一炮弹，炮发射一炮弹，炮车和炮弹的质量分别为车和炮弹的质量分别为M和和m，炮弹的出口速度为炮弹的出口速度为v，求炮车的反冲速度求炮车的反冲速度V。炮车与地面间的摩擦力不计。炮车与地面间的摩擦力不计。解解:把炮车和炮弹看成一个系统。发炮前系统在竖把炮车和炮弹看成一个系统。发炮前系统在竖直方向上的外力有重力直方向上的外力有重力 和地面支持力和地面支持力 ，而且，而且 ，在发射过程中，在发射过程中 并不成立（想一想为什并不成立（想一想为什么？），系统所受的外力矢量和不为零，所以这一么？），系统所受的外力矢量和不为零，所以这一系统的总动量不守恒。系统的总动量不守恒。vmM上页
14、上页 下页下页 返回返回 退出退出经分析，对地面参考系而言，炮弹相对地面的速经分析，对地面参考系而言，炮弹相对地面的速度度 ，按速度变换定理为，按速度变换定理为它的水平分量它的水平分量为为于是，炮弹在水平方向的动量为于是，炮弹在水平方向的动量为m(vcos -V)，而炮而炮车在水平方向的动量为车在水平方向的动量为-MV。根据动量守恒定理有根据动量守恒定理有由此得炮车的反冲速度为由此得炮车的反冲速度为 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出解解:物体的动量原等于零，炸裂时爆炸力是物体内力，物体的动量原等于零，炸裂时爆炸力是物体内力，它远大于重力，故在爆炸中，可认为动量守恒。由此它远大于重力，故在
15、爆炸中，可认为动量守恒。由此可知，物体分裂成三块后，这三块碎片的动量之和仍可知，物体分裂成三块后，这三块碎片的动量之和仍等于零，即等于零，即例题例题2-7 一个静止物体炸成三块，其中两块质量相等，一个静止物体炸成三块，其中两块质量相等，且以相同速度且以相同速度30m/s沿相互垂直的方向飞开，第三块沿相互垂直的方向飞开，第三块的质量恰好等于这两块质量的总和。试求第三块的速的质量恰好等于这两块质量的总和。试求第三块的速度（大小和方向）。度（大小和方向）。所以，这三个动量必处于所以，这三个动量必处于同一平面内，且第三块的动量同一平面内，且第三块的动量必和第一、第二块的合动量大必和第一、第二块的合动量
16、大小相等方向相反，如图所示。小相等方向相反，如图所示。因为因为v1 1和和v2 2相互垂直所以相互垂直所以m3v3m2v2m1v1 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出由于由于 和和 所成角所成角 由下式决定由下式决定：因因所以所以即即 和和 及及 都成都成 且三者都在同一平面内且三者都在同一平面内由于由于 ,所以所以 的大小为的大小为上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 例题例题2-8 质量为质量为m1 和和m2的两个的两个小孩，在光滑水平冰面小孩，在光滑水平冰面上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为l。问他们将在问他们将在何处相遇？何处相遇？解解:把两
17、个小孩和绳看作一个系统，水平方向不受把两个小孩和绳看作一个系统，水平方向不受外力，此方向的动量守恒。外力，此方向的动量守恒。建立如图坐标系。以两个小孩的中点为原点，向右建立如图坐标系。以两个小孩的中点为原点，向右为为x轴为正方向。设开始时质量为轴为正方向。设开始时质量为m1 的小孩坐标为的小孩坐标为x10,质量为质量为m2的小孩坐标为的小孩坐标为x20，他们在任意时刻的速度分他们在任意时刻的速度分别别v1为为v2,相应坐标为相应坐标为x1和和x2由运动学公式得由运动学公式得Cm2m1x10 x20 xO上页上页 下页下页 返回返回 退出退出在相遇时在相遇时，x1=x2=xc，于是有于是有即即因
18、动量守恒，所以因动量守恒，所以 m1v1+m2v2=0代入式上式得代入式上式得上页上页 下页下页 返回返回 退出退出令令x1=xc得得上述结果表明，两小孩在纯内力作用下，将在他们上述结果表明，两小孩在纯内力作用下，将在他们共同的质心相遇。上述结果也可直接由质心运动定共同的质心相遇。上述结果也可直接由质心运动定律求出律求出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出XOtt+dtvt 时刻时刻 火箭的速度火箭的速度Mt 时刻时刻 火箭的质量火箭的质量dmt+dt 时刻喷出气体的质量时刻喷出气体的质量ut+dt 时刻喷出气体相对于火箭的速度时刻喷出气体相对于火箭的速度M+dMt+dt 时刻火箭的质量时刻
19、火箭的质量v+dvt+dt 时刻火箭的速度时刻火箭的速度选地面参考系，并建立直角坐标系选地面参考系，并建立直角坐标系四、火箭飞行原理四、火箭飞行原理上页上页 下页下页 返回返回 退出退出由于火箭在喷出气体前及喷出气体后系统动量守恒由于火箭在喷出气体前及喷出气体后系统动量守恒：在火箭喷出气体在火箭喷出气体 dm 前前 ，系统动量，系统动量：喷出气体喷出气体 dm 后后 ，火箭的动量火箭的动量：喷出气体喷出气体 dm 的动量的动量：选选 t t 时刻火箭及内部气体为系统，对于地面参考系时刻火箭及内部气体为系统，对于地面参考系上页上页 下页下页 返回返回 退出退出将（将（2 2）、（）、（3 3）式
20、代入（）式代入（1 1）式中并整理得到：）式中并整理得到：上页上页 下页下页 返回返回 退出退出设火箭在点火前质量为设火箭在点火前质量为Mi，初速度为初速度为 vi设火箭在燃料烧完后质量为设火箭在燃料烧完后质量为Mf，速度为速度为 vf 火箭速度的增量与喷出气体的相对速度成正比。火箭速度的增量与喷出气体的相对速度成正比。与火箭始末质量的自然对数成正比。与火箭始末质量的自然对数成正比。提高火箭速度的途径有二：提高火箭速度的途径有二：第一条是提高火箭喷气速度第一条是提高火箭喷气速度u第二条是加大火箭质量比第二条是加大火箭质量比M0/M(选优质燃料选优质燃料 )(采取多级火箭采取多级火箭)上页上页 下页下页 返回返回 退出退出选择进入下一节选择进入下一节2-0 2-0 教学基本要求教学基本要求2-1 2-1 质点系的内力质点系的内力 质心质心 质心运动定理质心运动定理2-2 2-2 动量定理动量定理 动量守恒定律动量守恒定律2-3 2-3 功功 动能动能 动能定理动能定理2-4 2-4 保守力保守力 成对力的功成对力的功 势能势能2-5 2-5 质点系的功能原理质点系的功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律2-6 2-6 碰撞碰撞2-7 2-7 质点的角动量和角动量守恒定律质点的角动量和角动量守恒定律2-8 2-8 对称性和守恒定律对称性和守恒定律