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1、河北衡水中学河北衡水中学 2016-2016-20222022 学年度学年度高三下学期数学第三次摸底考试（文科）高三下学期数学第三次摸底考试（文科）必考部分必考部分一一、选择题选择题：本大题共本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的. .1. 已知 虚数单位，等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：根据题意，有，故选 B考点：复数的运算2. 已知集合，则集合等于（）A.B.C.D.【答案】D【解析】,选 D.3. 已知是 上的奇函
2、数，则的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因为是 上的奇函数，所以，得,.故选 A.4. 在面积为 的正方形内任意投一点，则点到四边的距离均大于的概率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】易知正方形的边长，到两边距离均大于，则形成的区域为边长为的小正方形，其概率为,故选 C.5. 已知，则的值等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因为,所以.，故选 A.6. 已知、分别是双曲线的左、右焦点，以线段为边作正三角形，如果线段的中点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率 等于（）学。科。网.A.B.C.D. 2【答案】D【解析】由题意得渐近线斜率为，即，选 D.7. 在中，“”是“”的
3、（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】时，所以必要性成立；时，所以充分性不成立，选 B.8. 已知二次函数的两个零点分别在区间和内，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意得，可行域如图三角形内部（不包括三角形边界，其中三角形三顶点为） ：，而，所以直线过 C 取最大值，过 B点取最小值，的取值范围是，选 A.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小
4、值会在可行域的端点或边界上取得.9. 如图，一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为 2 的等边三角形，若该简单几何体的体积是，则其底面周长为（）A.B.C.D.【答案】C10. 20 世纪 30 年代，德国数学家洛萨-科拉茨提出猜想：任给一个正整数，如果 是偶数，就将它减半；如果 是奇数，则将它乘 3 加 1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到 1，这就是著名的“”猜想.如图是验证“”猜想的一个程序框图，若输出 的值为 8，则输入正整数的所有可能值的个数为（）A.3B.4C.6D.无法确定【答案】B【解析】由题意得；，因此输入正整数的所有可能值的个数为 4，选 B.11. 已知函
5、数的导数为， 若对任意的都有，则 的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】.得：,化简得,不等式两边同除以得：.学。科。网.有，令，,在上单调递增，,所以只需，解得，故选 A.利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)a 恒成立，只需 f(x)mina 即可；f(x)a 恒成立，只需 f(x)maxa即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.12. 已知向量满足，若，的最大值
6、和最小值分别为，则等于（）A.B. 2C.D.【答案】C【解析】把 放入平面直角坐标系，使 起点与坐标原点重合，方向与 轴正方向一致，则，设，因为，所以，所以，.设，所以,化简得：，即.点可表示圆心在，半径为的圆上的点.，所以最大值，最小值为.因为，所以，解得.所以.故选 C.点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决列出方程组求解未知数.二、填空题：本大题共二、
7、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分，将答案填在答题纸上分，将答案填在答题纸上13. 为稳定当前物价，某市物价部门对本市的 5 家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5 家商场商品的售价 元和销售量 件之间的一组数据如下表所示：价格8.599.51010.5销售量1211976由散点图可知，销售量 与价格 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则_【答案】39.4【解析】点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据
8、用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.14. 将函数的图象向右平移个单位（） ，若所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是_【答案】【解析】向右平移个单位得为偶函数，所以，因为，所以15. 在中，点在边上，且满足，若，则_【答案】【解析】设，得.在中，由正弦定理可得，代入解得，.在中，所以.由勾股定理可得，化简整理得,.所以,.16. 已知是过抛物线焦点 的直线与抛物线的交点， 是坐标原点，且满足，则的值为_【答案】【解析】因为，所以因此，所以因为，所以，因此三、解答题三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .17. 已知数列前 项
9、和为，等差数列的前 项和为，且，.学。科。网.（1）求数列的通项公式；（2）求证：.【答案】 （1）； （2）见解析.【解析】试题分析： （1）利用，求通项；（2）分别求出和，作差比较大小即可.试题解析：（1）因为，所以当时，所以，即，所以从第二项开始是公比为 4 的等比数列，即，因为，所以，解得，当时，解得，则，所以是首项为 1 公比为 4 的等比数列，其通项公式为；（2）由（1）知，所以，设数列的公差为 ，所以，解得，所以，所以，所以所以18. 在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了 40 名学生的成绩作为样本， 这 40 名学生的成绩全部在 40 分至 100 分之间，现将成绩按
10、如下方式分成 6 组：第一组，成绩大于等于 40 分且小于 50 分；第二组，成绩大于等于 50 分且小于 60 分；第六组，成绩大于等于 90 分且小于等于 100 分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.在选取的 40 名学生中.（1）求成绩在区间内的学生人数及成绩在区间内平均成绩；（2）从成绩大于等于 80 分的学生中随机选 3 名学生，求至少有 1 名学生成绩在区间内的概率.【答案】 （1）71.875； （2） .【解析】试题分析： （1）根据频率分布直方图的意义计算即可.（2）用列举法求出从成绩大于等于 80 分的学生中随机选 3 名学生的事件个数，查出至少有 1 名学生成绩在90
11、，100的事件个数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解试题解析：（1）因为各组的频率之和为 1，所以成绩在区间的频率为，所以 40 名学生中成绩在区间的学生人数为，易知成绩在区间内的人数分别为 18，8，4，2，学。科。网.所以成绩在区间内的平均成绩为；（2） 设 表示事件“在成绩大于等于 80 分的学生中随机选 2 名学生， 至少有 1 名学生成绩在区间内”，由已知（1）的结果可知成绩在区间内的学生有 4 人，记这四个人分别为成绩在区间内的学生有 2 人，记这两个人分别为，则选取学生的所有可能结果为：，基本事件数为 20事件“至少有 1 名学生成绩在区间之间”的可能结果为，基本事件为数 1
12、6，所以19. 如图，在长方体中，点 在棱的延长线上，且.（1）求的中点 到平面的距离；（2）求证：平面平面【答案】 （1）； （2）见解析.【解析】试题分析： （1）利用三棱锥等体积法计算距离即可；（2）要证平面平面，只需证平面即可.试题解析：证明： （1）连接，四边形是平行四边形，又平面，平面，平面，点 到平面的距离等于点 到平面的距离，由，得，又易知的中点 到平面的距离为（2）由已知得，则，由长方体的特征可知平面，学。科。网.而平面，面积，平面，又平面，平面平面20. 如图，已知为椭圆上的点，且，过点 的动直线与圆相交于两点，过点 作直线的垂线与椭圆 相交于点 （1）求椭圆 的离心率；（
13、2）若，求【答案】 （1）； （2）.【解析】试题分析： （1）根据题意列方程组：，解方程组可得，再根据离心率定义求椭圆 的离心率； （2）先根据垂径定理求圆心到直线的距离,再根据点到直线距离公式求直线 AB 的斜率,根据垂直关系可得直线 PQ 的斜率,最后联立直线 PQ 与椭圆方程,利用韦达定理及弦长公式求试题解析：解： （1）依题知，解得，所以椭圆 的离心率；（2）依题知圆 的圆心为原点，半径为，所以原点到直线的距离为，因为点 坐标为，所以直线的斜率存在，设为 所以直线的方程为，即，所以，解得或当时，此时直线的方程为，所以的值为点 纵坐标的两倍，即；当时，直线的方程为，将它代入椭圆 的方程
14、，消去 并整理，得，设 点坐标为，所以，解得，所以点睛：有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.21. 已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2） 若对任意及， 恒有成立， 求实数的取值范围【答案】 （1）见解析； （2）.【解析】试题分析： （1）求导得，讨论单调性即可；（2）若对任意及，恒有成立，求的最大值，最小值，解得恒成立，得.试题解析：学。科。网.（1），当时，令，得或，令，得；当时，得，令，
15、得或，令，得；当时，综上所述， 当时， 函数的递减区间为和，递增区间；当时，函数在上单调递减；当时，函数的递减区间为和，递增区间为（2）由（1）可知，当时，函数在区间上单调递减，当时，函数取最大值；当时，函数取最小值，整理得， 恒成立， ， 点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地， f(x)a 恒成立， 只需 f(x)mina 即可； f(x)a 恒成立， 只需 f(x)maxa 即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极
16、值(最值)，然后构建不等式求解.选考部分选考部分请考生在请考生在 2222、2323 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. .22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中直线 的倾斜角为 ，且经过点，以坐标系的原点为极点， 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为，直线 与曲线 相交于两点，过点的直线 与曲线 相交于两点，且（1）平面直角坐标系中，求直线 的一般方程和曲线 的标准方程；（2）求证：为定值【答案】 （1）一般方程为；曲线 的标准方程为； （2）24 为定值.【解析】试题分析： （1）根据点
17、斜式可得直线 的一般方程，注意讨论斜率不存在的情形；根据将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程，配方化为标准方程.（2）利用直线参数方程几何意义求弦长：先列出直线参数方程，代入圆方程，根据及韦达定理可得，类似可得，相加即得结论.试题解析：解： （1）因为直线 的倾斜角为 ，且经过点，当时，直线 垂直于 轴，所以其一般方程为，当时，直线 的斜率为，所以其方程为，即一般方程为因为 的极坐标方程为，所以，因为，所以所以曲线 的标准方程为学。科。网.（2）设直线 的参数方程为（ 为参数） ，代入曲线 的标准方程为，可得，即，则，所以，同理，所以23. 选修 4-5：不等式选讲已知实数满足（1）求的取值范围；（2）若，求证：【答案】 （1）； （2）见解析.【解析】试题分析： （1）因为，所以，又，即得的取值范围；（2）因为，而，即证.试题解析：解： （1）因为，所以当时，解得，即；当时，解得，即，所以，则，而，所以，即；（2）由（1）知，因为当且仅当时取等号，所以