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1、高等院校非数学类本科数学课程 多元微积分学 大 学 数 学（三三）第一讲第一讲第一讲第一讲 多元函数的基本概念多元函数的基本概念多元函数的基本概念多元函数的基本概念第一章第一章 多元函数微分学多元函数微分学第一第一节节 多元函数的概念多元函数的概念正确理解集合的连通性的概念。正确理解集合的连通性的概念。正确理解开区域、闭区域、区域边界的概念。正确理解开区域、闭区域、区域边界的概念。正确理解区域的有界性概念。正确理解区域的有界性概念。正确理解正确理解 n 维空间中点的邻域的概念。维空间中点的邻域的概念。正确理解集合的聚点的概念。正确理解集合的聚点的概念。正确理解多元函数及其图形的概念。正确理解多
2、元函数及其图形的概念。本节教学要求：本节教学要求：集合的连通性集合的连通性 开集、闭集开集、闭集 有界集、无界集有界集、无界集 邻域邻域 多元函数多元函数本节关键概念和理论本节关键概念和理论本节关键概念和理论本节关键概念和理论 聚点聚点第一节多元函数概念第一第一节节 多元函数的概念多元函数的概念2.聚点、开集、闭集、有界集3.区域4.多元函数及其图形请点击请点击().利用“点”、“距离”将邻域概念推广到高维空间.回忆一维空间中点的邻域概念().利用“点”、“距离”将邻域概念推广到高维空间.回忆一维空间中点的邻域概念1.空间Rn中邻域的定义想想想想:二维、三维空间中点的邻域是什么样子二维、三维空
3、间中点的邻域是什么样子?Oxy.开圆盘开圆盘开球体开球体Oxyz.去心邻域概念去心邻域的概念也可搬过来。去心邻域的概念也可搬过来。2.聚点、开集、有界集2.聚点、开集、闭集、有界集聚点、开集、闭集、有界集集合的内点、外点、边界点。集合的内点、外点、边界点。集合的聚点集合的聚点集合的孤立点集合的孤立点开集、闭集开集、闭集有界集有界集集合的连通性集合的连通性请点击请点击内点、外点、边界点集合的内点、外点、边界点集合的内点、外点、边界点E 边界点边界点 外点外点内点内点 其内既有其内既有 E的点也有不的点也有不属于属于E 的点的点边界点不一定属于集合！边界点不一定属于集合！边界点不一定属于集合！边界
4、点不一定属于集合！聚点 集合的聚点集合的聚点聚点聚点聚点例Oxy.1.聚点可能属于集合 E,也可能不属于集合 E。例集合的孤立点集合的孤立点集合的孤立点集合的孤立点一定是集合的边界点.孤立点是否为集合的边界点？例的所有点均为 E 孤立点。.(1,1).例开集、闭集开集、闭集开集、闭集喂！是所有聚点哦！由内点构成的集合！有界集yxOErEO中的有界集中的有界集 2R 有界集有界集无界性示意图E无界集无界集集合的连通性集合的连通性连通集连通集单连通集单连通集复连通集复连通集分为连通性示意图集合的连通性示意图 单连通单连通 复连通复连通EE.不连通不连通E.例是有界是有界判别下列集合的有界性、连通性
5、及开闭判别下列集合的有界性、连通性及开闭:是无界是无界 是有界是有界连通连通开集开集连通连通闭集闭集连通连通非开非闭集非开非闭集 例例对空集的规定 区域是连通开集.区域 的内点及边界点都是它的聚点.注意：集合的聚点注意：集合的聚点 不一定属于集合不一定属于集合.开的开的3.区域区域区域的边界区域的边界图示区域的边界区域的边界闭区域区域与其全部边界点的并集,称为闭区域.记为4.多元函数及其图形多元函数及其图形多元函数及其图形长方体体积 V 依赖于其长度 x，宽度 y 及高 z：这里 x,y,z 各自独立变化，所以 V 是“自变量”x、y、z 的 例函数。它是一个三元函数：例多元函数图示一元函数X
6、.R二元函数xyoR.fD.f.三元函数xyzo.R.fXXI矩形的面积 S=xy长方体体积 V=xyzR.定义：定义：多元函数定义多元函数的表示方法解析法表格法图形法多元函数表示法前面学过的一些二次曲面就是 相应的一些二元函数的图形。多元函数的图形多元函数的图形求多元函数定义域举例求多元函数定义域举例求定义域举例二元函数的图形在平面上的投影即为函数的定义域。xyOxyzD.定义域图示求下列函数的定义域:想想，该怎么求？想想，该怎么求？与一元函数的情形进行比较与一元函数的情形进行比较 例例解Oxy求函数的定义域:与一元函数的情形进行比较与一元函数的情形进行比较 例例由对数函数知识、得xy故原函数的定义域为1解负数不能开偶次方，分母不能为零、解 想一想想一想想一想想一想想一想想一想想一想想一想想一想想一想想一想想一想 例例复合函数多元函数也有复合函数与一元函数中的情形类似 例例与一元函数中的情形类似多元函数也有隐函数定义定义隐函数的定义例和下半球面上半球面 例初等函数 多元函数的初等函数概念与一元函数的情形类似。如分别是二元和三元的初等函数。请认真看书！请认真看书！认真做作业！认真做作业！下课下课再再 见见祝你成为21世纪的高素质人才！