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1、椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程占金虎占金虎高二数学组高二数学组哈雷慧星及其运行轨道生活中的椭圆数数 学学 实实 验验1取一条细绳，取一条细绳，2把它的两端固定在把它的两端固定在板上的两点板上的两点F1、F23用铅笔尖（用铅笔尖（P）把）把细绳拉紧，在板上慢细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图慢移动看看画出的图形形 椭圆的画法椭圆的画法实例30 画椭圆的副本的副本.gsp（一）椭圆的定义：（一）椭圆的定义：平面内与两个定点平面内与两个定点F F1 1、F F2 2的距离的和的距离的和等于常数（大于等于常数（大于|F F1 1F F2 2|）的点的轨迹叫的点的轨迹叫做做椭圆椭圆，这两个定点叫做这
2、两个定点叫做椭圆的焦点椭圆的焦点，两焦点的距离叫做两焦点的距离叫做椭圆的焦距椭圆的焦距绳长|F1F2|绳长|F1F2|结论结论1 1 绳子的长度对轨迹有影响绳子的长度对轨迹有影响问题问题1 1：当绳长等于：当绳长等于|F F1 1F F2 2|时，点时，点M M的的 轨迹轨迹 是什么？是什么？问题问题2 2：当绳长小于：当绳长小于|F F1 1F F2 2|时，点时，点M M的轨迹的轨迹 是什么？是什么？线段线段F F1 1F F2 2轨迹不存在轨迹不存在结论结论2 2 要得到椭圆，绳长与要得到椭圆，绳长与|F F1 1F F2 2|需需满足一满足一 定关系定关系 P PF F1 1F F2X
3、 XY YO二二.推导椭圆的标准方程：推导椭圆的标准方程：以以F F1 1、F F2 2所在直线为所在直线为x x轴，线段轴，线段F F1 1F F2 2垂直平垂直平分线为分线为y y轴，建立坐标轴，建立坐标系。系。2)2)列式：列式：椭圆的集合为椭圆的集合为1)1)建系设点：建系设点：又设又设M与与F1、F2距离之和距离之和等于等于2a,F1F2MOxy设设|F1F2|=2c(c0),M(x,y)为椭圆上的任意一点，为椭圆上的任意一点，则则F1(-c,0)、F2(c,0)3)3)代换代换:4)4)化简：化简：即即令令其中其中代入上代入上式，得式，得即即F1F2POxy焦点是焦点是F F1 1
4、(-c,0)(-c,0)、F F2 2(c,0)(c,0)该该方程叫做方程叫做椭圆的标准方程椭圆的标准方程。这里，这里，则方程可化为则方程可化为则方程可化为则方程可化为观察左图，观察左图，观察左图，观察左图，你能从中找出表示你能从中找出表示你能从中找出表示你能从中找出表示 c c、a a 的线段吗？的线段吗？的线段吗？的线段吗？a a2 2-c-c2 2 有什么几何意义？有什么几何意义？有什么几何意义？有什么几何意义？（）如果焦点在如果焦点在y y轴上，标准方程又是什么样的呢？轴上，标准方程又是什么样的呢？我们选我们选F F1 1F F2 2所在直线为所在直线为y y轴，轴，F F1 1F F
5、2 2的垂直平分线为的垂直平分线为x x轴，建立直角坐标系如图：轴，建立直角坐标系如图：Y YX XOF F2 2F F1 1P P我们用同样的方法可得出焦点在我们用同样的方法可得出焦点在Y Y轴上的椭圆的方程是：轴上的椭圆的方程是：椭圆的标准方程2：焦点在焦点在y y轴上，焦点为轴上，焦点为F F1 1(0,-c),F(0,-c),F2 2(0,c(0,c).).这里这里c c2 2=a=a2 2-b-b2 2.X XOF F2 2F F1 1P PY Y椭圆的焦点判定法则：椭圆的焦点判定法则：焦点在分母较大的那个轴上焦点在分母较大的那个轴上12yoFFPxy xoF2F1P定定 义义图图
6、形形方方 程程焦焦 点点F F1 1(-c(-c，0)0)，F F2 2(c,0)(c,0)F F1 1(0(0，-c),F-c),F2 2(0,c)(0,c)a,b,c之间之间的关系的关系b b2 2=a=a2 2-c-c2 2|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)椭圆的标准方程椭圆的标准方程例例1.填空：填空：(1)已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为：，则，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标焦点坐标为：为：_焦距等于焦距等于_;若若CD为过为过左焦点左焦点F1的弦，则的弦，则三角形三角形F2CD的周长为的周长为_543(3,0)、(-3,0)620F1F2CD例题讲解例题讲解例例2.
7、已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为：,则则 a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：焦点坐标为：_，焦距，焦距 等于等于_;若曲线上一点若曲线上一点P到焦点到焦点F1的距离为的距离为3，则，则 点点P到另一个焦点到另一个焦点F2的距离等于的距离等于_，则则 F1PF2的周长为的周长为_21(0,-1)、(0,1)2PF1F2|PF1|+|PF2|=2a例例3.下列方程哪些表示椭圆？下列方程哪些表示椭圆？若是若是,则判定其焦点在何轴？则判定其焦点在何轴？并指明并指明 ，写出焦点坐标，写出焦点坐标.例例4.4.求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程：(2)焦点为焦点为F1(0,
8、3)，F2(0,3),且且a=5；(1)a=,b=1,焦点在焦点在x x轴上；轴上；(3)两个焦点分别是两个焦点分别是F1(2,0)、F2(2,0),且过且过P()点；点；例例5.5.已知方程已知方程 表示焦点在表示焦点在x x轴上的椭圆，则轴上的椭圆，则m的取值范围是的取值范围是 .(0,4)变变1 1：已知方程已知方程 表示焦点在表示焦点在y y轴上的轴上的 椭圆，则椭圆，则m的取值范围是的取值范围是 .(1,2)变变2：方程：方程 ,分别求方程满足下列条分别求方程满足下列条件的件的m的取值范围：的取值范围：表示一个圆；表示一个圆；表示一个椭圆；表示一个椭圆；表示焦点在表示焦点在x轴上的椭
9、圆。轴上的椭圆。m=9/2-16m25且m9/2-16m9/2例例6：动点：动点P到两定点到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距的距离之和为离之和为8，则动点，则动点P的轨迹为的轨迹为-（）A.椭圆椭圆 B.线段线段F1F2 C.直线直线F1F2 D.不能确定不能确定B例例7：若方程：若方程4x2+ky2=1表示的曲线是表示的曲线是焦点在焦点在y轴上的椭圆，求轴上的椭圆，求k的取值范围。的取值范围。解：解：由由 4x2+ky2=1,可得可得 因为因为方程表示的曲线是焦点在方程表示的曲线是焦点在y轴上轴上的椭圆，所以的椭圆，所以即：即：0k4所以所以k的取值范围为的取值范围为0k2c)习题习题3.1-A3.1-A组第组第1 1，2 2题题