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1、课题：椭圆的几何性质（一）课题：椭圆的几何性质（一）1.椭圆的定义椭圆的定义:到两定点到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于的距离之和为常数（大于|F1F2|）的动点的轨）的动点的轨迹叫做椭圆。迹叫做椭圆。2.椭圆的标准方程：椭圆的标准方程：3.椭圆中椭圆中a,b,c的关系的关系:a2=b2+c2当焦点在当焦点在x x轴上时轴上时当焦点在当焦点在y y轴上时轴上时复习回顾复习回顾4.4.椭圆中参数椭圆中参数a a、b b、c c的几何意义分别是什么？的几何意义分别是什么？abcF F1 1F F2 2O O复习回顾复习回顾新课导入新课导入 上面我们从椭圆的定义上面我们从椭圆的定义(几何特征几
2、何特征)出发建立了椭圆出发建立了椭圆的标准方程的标准方程.下面再利用椭圆的标准方程研究它的几何下面再利用椭圆的标准方程研究它的几何性质，包括椭圆的形状、大小、对称性和位置等性质，包括椭圆的形状、大小、对称性和位置等.我们用椭圆的标准方程我们用椭圆的标准方程来研究椭圆的几何性质来研究椭圆的几何性质.观察：观察：观察椭圆观察椭圆 的形状，你能从图上的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？比较特殊？新知探究新知探究对于椭圆对于椭圆 探究探究1 1.从图形上看从图形上看x x、y y的取值范围如何？的取值范围如何？oy
3、B2B1A1A2F1F2cabx,探究探究2 2.从椭圆的标准方程看，从椭圆的标准方程看，x x、y y的取值范围如何？的取值范围如何？新知探究新知探究由由 可知，可知，所以，椭圆上的点都适合不等式所以，椭圆上的点都适合不等式即即同理有同理有即即这说明椭圆位于直线这说明椭圆位于直线x=x=a a和和y=y=b b所围成的矩形框里。所围成的矩形框里。从图形上看，从图形上看，椭圆关于椭圆关于x轴、轴、y轴、原点对称。轴、原点对称。（1 1）把）把y y换成换成-y-y方程不变，椭圆关于方程不变，椭圆关于x x轴对称；轴对称；（2 2）把）把x x换成换成-x-x方程不变，方程不变，椭圆关于椭圆关于
4、y y轴对称；轴对称；（3 3）把）把x x换成换成-x-x，同时把，同时把y y换成换成-y-y方程不变，椭圆方程不变，椭圆 关关于原点成中心对称。于原点成中心对称。新知探究新知探究探究探究3 3.从椭圆的形状看，椭圆的从椭圆的形状看，椭圆的对称性对称性如何？如何？探究探究4.如何从从椭圆的标准方程说明椭圆的如何从从椭圆的标准方程说明椭圆的对称性对称性？新知探究新知探究 椭圆椭圆 关于关于x轴、轴、y轴和原点都是对轴和原点都是对称的称的.这时，坐标轴是它的这时，坐标轴是它的对称轴对称轴，原点是它的，原点是它的对称中心对称中心.椭圆的对称中心叫椭圆的椭圆的对称中心叫椭圆的中心中心.oF1F2
5、oF1F2新知探究新知探究 研究曲线上某些特殊点的位置，可以确定曲线的位置研究曲线上某些特殊点的位置，可以确定曲线的位置.要确要确定曲线在坐标系中的位置常常要求出曲线与定曲线在坐标系中的位置常常要求出曲线与x x轴、轴、y y轴的交点坐标轴的交点坐标.探究探究5 5.你能由椭圆方程你能由椭圆方程 得出椭圆与得出椭圆与x x轴、轴、y y轴的轴的交点坐标吗？交点坐标吗？令令 x=0 x=0，得，得 y=y=？，说明椭圆与？，说明椭圆与y y轴的交点？轴的交点？令令 y=0y=0，得，得 x=x=？说明椭圆与？说明椭圆与x x轴的交点？轴的交点？y=y=b b1 1(0,-b)(0,-b)、2 2
6、(0,b)(0,b)x=x=a aA A1 1(-a,0)(-a,0)、A A2 2(a,0)(a,0)B2B1A1A2椭圆与其对称轴的交点叫做椭圆的椭圆与其对称轴的交点叫做椭圆的顶点顶点.所以，椭圆有四个顶点：所以，椭圆有四个顶点：新知探究新知探究线段线段A A1 1A A2 2，B B1 1B B2 2分别叫做椭圆的分别叫做椭圆的长轴长轴和和短轴短轴.oyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2它们的长别为它们的长别为2a2a和和2b,2b,a a、b b分别叫做分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的长半轴长和短半轴长。探究探究6.6.椭圆上任意两点间的距离的椭圆上任意两点间的距离的最大最
7、大值值为多少？为多少？F F1 1O OF F2 2x xy y2a2a新知探究新知探究思考？思考？观察不同的椭圆，我们发现，椭圆的扁平程度不一，那观察不同的椭圆，我们发现，椭圆的扁平程度不一，那么，用什么量可以刻画椭圆的扁平程度呢？么，用什么量可以刻画椭圆的扁平程度呢？探究探究1.1.这些椭圆有什么联系和区别？这些椭圆有什么联系和区别？长轴相同，短轴不同，椭圆的扁平程长轴相同，短轴不同，椭圆的扁平程度不一度不一.椭圆的长半轴长椭圆的长半轴长a a为定值，当短半轴长为定值，当短半轴长b b越小，椭圆越扁平越小，椭圆越扁平.探究探究2 2.若椭圆的长半轴长若椭圆的长半轴长a a为定值，当短半轴长
8、为定值，当短半轴长b b增大或减小时，增大或减小时，半焦距半焦距c c的大小如何？的大小如何？c c随随b b的增大的增大(减小减小)而减小而减小(增大增大).).新知探究新知探究探究探究3 3.若椭圆的长半轴长若椭圆的长半轴长a a为定值，为定值，c c与椭圆的扁平程度有什么与椭圆的扁平程度有什么关系？关系？c c越大，椭圆越扁平越大，椭圆越扁平.我们可以用我们可以用a a和和c c这两个量，来刻画椭圆的扁平程度这两个量，来刻画椭圆的扁平程度.我们把椭圆的焦距与长轴长的比我们把椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的称为椭圆的离心率离心率，用用e e表示，即表示，即探究探究4 4.离心率离心率e
9、e对椭圆的扁平程度有什么影响？对椭圆的扁平程度有什么影响？因为因为 a c 0a c 0，所以，所以0e10e1e 越接近越接近 1，c 就越接近就越接近 a，从而，从而 b就越就越(？)，椭圆就越（？），椭圆就越（？）小小扁扁e 越接近越接近 0，c 就越接近就越接近 0，从而，从而 b就越就越(？)，椭圆就越，椭圆就越(?)大大圆圆特例：特例：e=0e=0，则，则 a=ba=b，则，则 c=0c=0，两个焦点重合，椭圆变为，两个焦点重合，椭圆变为(?)(?)它的方程变为（？）它的方程变为（？）圆圆新知探究新知探究探究探究5 5.或或 的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什么？的大小能刻画椭圆的
10、扁平程度吗？为什么？探究探究6.6.你能用三角函数的知识解释，为什么你能用三角函数的知识解释，为什么 越大，椭圆越越大，椭圆越扁？扁？越小，椭圆越圆？越小，椭圆越圆？F F1 1O OF F2 2x xy ya ab bc c标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率 关于x轴、y轴成轴对称；-对称轴关于原点成中心对称-对称中心a2=b2+c2,回顾小结回顾小结思考？思考？对于椭圆对于椭圆 其其范围、顶点、对称性、离心率范围、顶点、对称性、离心率分分别是什么？别是什么？自主探究自主探究例例4 4 求椭圆求椭圆 16 x16 x2 2+25y+25y2 2=400=400的长轴和短轴的长、离
11、心率、焦的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标。点和顶点坐标。知识应用知识应用解：解：把已知方程化成标准方程把已知方程化成标准方程所以，所以，因此，椭圆的长轴长和短轴长分别是因此，椭圆的长轴长和短轴长分别是离心率离心率焦点坐标分别是焦点坐标分别是四个顶点坐标是四个顶点坐标是123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y1 2 345-1-5-2-3-4x1 2 345-1-5-2-3-4x（1）（2）A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 知识应用知识应用1.1.根据椭圆的性质画草图根据椭圆的性质画草图.2.2.若焦点在若焦点在x x轴上的椭圆轴上的椭圆 的离心率为的离心率为
12、，则，则m m为（为（）A A、B B、C C、D D、3.3.下列方程所表示的曲线中，关于下列方程所表示的曲线中，关于x x轴、轴、y y轴都对称的（轴都对称的（）A A、B B、C C、D D、4.4.方程方程 （a ab b0,k0,k0 0且且k1)k1)与方程与方程（a ab b0)0)表示的椭圆（表示的椭圆（）A A、有等长的短轴、长轴；、有等长的短轴、长轴；B B、有共同的焦点；、有共同的焦点；C C、有相同的离心率；、有相同的离心率；D D、有相同的顶点。、有相同的顶点。BDC知识应用知识应用5.5.椭圆椭圆x x2 29y9y2 23636与与3x3x2 24y4y2 248
13、48哪一个较扁些？哪一个较扁些？4.4.求适合下列条件的椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程经过点经过点P(P(3,0)3,0)、Q(0,Q(0,2)2)；长轴长等于长轴长等于2020，离心率，离心率3/53/5。解解：方法一：设方程为方法一：设方程为mxmx2 2nyny2 21 1（m m0 0，n n0 0，mnmn），），将点的坐标代入方程，求出将点的坐标代入方程，求出m m1/9,n1/9,n1/41/4。方法二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴方法二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在的交点就是椭圆的顶点，于
14、是焦点在x x轴上，且点轴上，且点P P、Q Q分别是椭圆分别是椭圆长轴与短轴的一个端点，故长轴与短轴的一个端点，故a a3 3，b b2 2，所以椭圆的标准方程为，所以椭圆的标准方程为 或或课堂练习课堂练习1.1.范围、对称性、顶点是刻画椭圆形状、大小和位置的简单几何范围、对称性、顶点是刻画椭圆形状、大小和位置的简单几何性质，一般由这几个性质就可以画出椭圆的大致图形性质，一般由这几个性质就可以画出椭圆的大致图形.课堂小结课堂小结2.2.椭圆的离心率是反映椭圆扁平程度的一个几何性质，它能换算椭圆的离心率是反映椭圆扁平程度的一个几何性质，它能换算为为a a，b b，c c任意两个数之间的直接关系
15、，也是确定椭圆的一个基本任意两个数之间的直接关系，也是确定椭圆的一个基本条件，在解题中会经常遇到条件，在解题中会经常遇到.3.3.椭圆的长轴、短轴是分别连结椭圆相对顶点的两条线段，而椭圆的长轴、短轴是分别连结椭圆相对顶点的两条线段，而不是直线，也不是数量不是直线，也不是数量2a2a、2b2b，椭圆关于长轴、短轴所在直线，椭圆关于长轴、短轴所在直线对称，且关于其交点成中心对称对称，且关于其交点成中心对称.标准方程标准方程图形图形范围范围对称性对称性顶点坐标顶点坐标焦点坐标焦点坐标半轴长半轴长离心率离心率关于关于x x轴、轴、y y轴成轴对称；轴成轴对称；关于原点成中心对称关于原点成中心对称a2=
16、b2+c2同左同左同同左左同同左左同同左左,b,y-它的长轴长是：它的长轴长是：;短轴长是短轴长是：;焦距是：焦距是：;离心率等于：离心率等于：;焦点坐标是：焦点坐标是：;顶点坐标是：顶点坐标是：;外切矩形的面积等于：外切矩形的面积等于：。21.1.已知椭圆方程为已知椭圆方程为 ,则则课后练习课后练习3.已知椭圆已知椭圆 的离心率的离心率 求求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标。的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标。2.求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率。求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率。（1）x2+9y2=81 (2)25x2
17、+9y2=225 (3)16x2+y2=25 (4)4x2+5y2=1课后练习课后练习4.4.如果一椭圆短轴上的一个顶点与两个焦点构成一个正三角如果一椭圆短轴上的一个顶点与两个焦点构成一个正三角形，求椭圆的离心率。形，求椭圆的离心率。5.5.椭圆椭圆 的长轴是短轴的的长轴是短轴的2 2倍，则倍，则k=_.k=_.6.6.根据下列条件，求椭圆的标准方程。根据下列条件，求椭圆的标准方程。长轴长和短轴长分别为长轴长和短轴长分别为8 8和和6 6，焦点在，焦点在x x轴上轴上 长轴和短轴分别在长轴和短轴分别在y y轴，轴，x x轴上，经过轴上，经过P(-2,0)P(-2,0)，Q(0,-3)Q(0,-3)两点两点.一焦点坐标为（一焦点坐标为（3 3，0 0）一顶点坐标为（）一顶点坐标为（0 0，5 5）两顶点坐标为（两顶点坐标为（0 0，6 6），且经过点（），且经过点（5 5，4 4）焦距是焦距是1212，离心率是，离心率是0.60.6，焦点在，焦点在x x轴上。轴上。7.7.已知椭圆的一个焦点为已知椭圆的一个焦点为F F（6 6，0 0）点）点B B，C C是短轴的两端点，是短轴的两端点，FBCFBC是等边三角形，求这个椭圆的标准方程。是等边三角形，求这个椭圆的标准方程。