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1、给我最大快乐的，不是已懂的知识，给我最大快乐的，不是已懂的知识，而是不断的学习而是不断的学习.-高斯高斯课前复习课前复习1 1、什么叫轴对称图形、什么叫轴对称图形?什么叫对称轴什么叫对称轴?如果一个图形沿着一条线折叠，两侧如果一个图形沿着一条线折叠，两侧的图形能够完全重合，这样的图形就的图形能够完全重合，这样的图形就是是轴对称图形轴对称图形。折折痕痕所在的直线就是轴对称图形所在的直线就是轴对称图形的对称轴。的对称轴。2 2、什么叫、什么叫两个图形两个图形成轴对称成轴对称?如果把一个图形沿着某如果把一个图形沿着某一直线一直线折叠折叠,能能够与另一个图形重合够与另一个图形重合,那么就说这那么就说这
2、两个两个图形图形关于关于这条直线对称这条直线对称,也称为也称为这两个这两个图形成轴对称图形成轴对称,这条直线也叫作这条直线也叫作对称轴对称轴,互相重合的两个点互相重合的两个点,其中一点叫作另一其中一点叫作另一个点关于这条直线的个点关于这条直线的对称点对称点如图，如图，ABC和和 A B C 关于直线关于直线MN对称对称,点点A、B、C 分别是分别是 A、B、C的对称点，线的对称点，线段段 AA、B B、C C 与直线与直线MN有何关系有何关系?CAACB BMNB知识探究知识探究PQS AABBCCPQSMN对于其他的对应点也有类似情况。对于其他的对应点也有类似情况。因此，对称轴所在的因此，对
3、称轴所在的直线经过对称点所连线段的直线经过对称点所连线段的中点，中点，并且并且垂直垂直于这条线段。于这条线段。也就是也就是MNMN垂直平分垂直平分AAAA。我发现了我发现了:A A与与A A重合重合,AP=A,AP=AP P，APM=AAPM=APM=90PM=90对称轴是过对称点所连线段的对称轴是过对称点所连线段的中点中点的的垂线垂线。经过线段的经过线段的中点中点并且并且垂直垂直于这于这条线段的条线段的直线直线，叫做这条线段的，叫做这条线段的垂直平分线垂直平分线（也称（也称中垂线中垂线）。）。如果两个图形关于某条如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任直线对称，那么对称轴是任何一对对应点
4、所连线段的垂何一对对应点所连线段的垂直平分线。直平分线。线段的垂直平分线的定义线段的垂直平分线的定义图形轴对称的性质图形轴对称的性质AABBCCPQSMNAA/BB/CC/轴对称图形的性质轴对称图形的性质线段线段ABAB的中垂线的中垂线MNMN，垂足为垂足为C C；在；在MNMN上任取一上任取一点点P P，连结连结PAPA、PBPB；量一量：量一量：PAPA、PBPB的长，你能发现什么？的长，你能发现什么？PMNCPA=PBP1A=P1B由此你能得到什么规律？由此你能得到什么规律？命题命题：线段垂直平分线上的线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距点和这条线段两个端点的距离相等。离相等。画一
5、画画一画ABP1命题：线段垂直平分线上的命题：线段垂直平分线上的点点和这条线段和这条线段两个端两个端点点的距的距离相等。离相等。已知：如图，已知：如图，直线直线MNAB,MNAB,垂足为垂足为C,C,且且AC=CB.AC=CB.点点P P在在MNMN上上.求证：求证：PA=PBPA=PB证明：证明：MNAB PCA=PCB 在在 PAC和和 PBC中，中，AC=BC PCA=PCB PC=PC PAC PBC PA=PB证一证证一证ABPMN NC性质定理：性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。点的距离相等。ABPMNCPA=PBPA=
6、PB点点P P在在线段线段ABAB的垂直的垂直平分线上平分线上线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的和这条线段两个端点的距离相等距离相等性质定理有何作用？性质定理有何作用？可证明线段相等可证明线段相等定理应用格式：定理应用格式：AC=BC,MNAB,PAC=BC,MNAB,P是是MNMN上任意一点上任意一点(已知已知),),PA=PBPA=PB(线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点距离相线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点距离相等等).).线段垂直平分线性质线段垂直平分线性质ABPCPA=PBPA=PB点点P P在在线段线段ABAB的垂直的垂直平分线上平分线上 （利用
7、全等（利用全等,仿照性质定理自己证明）仿照性质定理自己证明）反过来，如果反过来，如果PA=PBPA=PB，那么点那么点P P是否在线段是否在线段ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上?换一换换一换判定定理：和一条线段两个端点距离相等的判定定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。点，在这条线段的垂直平分线上。判定定理有何作用？判定定理有何作用？用途：判定一条直线是线段的中垂线用途：判定一条直线是线段的中垂线判定定理：判定定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。平分线上。性质定理：性质定理：线段垂直平分线
8、上的点和这条线段两个端点的距离相等。线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。PA=PBPA=PB点点P P在在线段线段ABAB的垂直的垂直平分线上平分线上和一条线段两个端点距离相等的和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上点，在这条线段的垂直平分线上ABPC线段垂直平分线上的点和这线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等条线段两个端点的距离相等性质定理和判定定理存在什么关系？性质定理和判定定理存在什么关系？题设和结论正好相反，是互逆关系题设和结论正好相反，是互逆关系线段垂直平分线性质线段垂直平分线性质用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做用一根木棒和一根弹性均匀
9、的橡皮筋，做一一 个简易的个简易的“弓弓”，“箭箭”通过木棒通过木棒中中央央的孔射出去，怎样才能保持射出去的方的孔射出去，怎样才能保持射出去的方向与木棒垂直呢？向与木棒垂直呢？只要只要AC=BCAC=BC就就可以了可以了结论：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条结论：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线上ABC为什么？为什么？已知：已知：两点两点A A、B B，和点和点A A、B B的距离相等的的距离相等的点应在什么位置？点应在什么位置？AB （1 1）线段）线段ABAB的垂直平分线上的所有点都满的垂直平分线上的所有点都满 足足“和点和点A A、B B的距
10、离相等的距离相等”这一条件吗？这一条件吗？线段的垂直平分线线段的垂直平分线可以看作是和线段两可以看作是和线段两个端点距离相等的所有的点的集合个端点距离相等的所有的点的集合想一想想一想（2 2）满足）满足“和和A A、B B的距离相等的距离相等”的所有点都的所有点都在线段在线段ABAB的垂直平分线上吗？的垂直平分线上吗？1 1、如图直线、如图直线MNMN垂直平分垂直平分线段线段ABAB，则，则AE=AFAE=AF。2 2、如图线段、如图线段MNMN被直线被直线ABAB垂垂直平分，则直平分，则ME=NEME=NE。3 3、如图、如图PA=PBPA=PB，则直则直线线MNMN是线段是线段ABAB的垂
11、直的垂直平分线。平分线。二、逆定理：二、逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条和一条线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。线段的垂直平分线上。线段的垂直平分线线段的垂直平分线一、性质定理：一、性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端线段垂直平分线上的点和这条线段两个端 点的距离相等。点的距离相等。PA=PBPA=PB点点P P在在线段线段ABAB的垂直的垂直平分线上平分线上和一条线段两个端点距离相等的和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上点，在这条线段的垂直平分线上线段垂直平分线上的点和这线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等条线段两个
12、端点的距离相等三、三、线段的垂直平分线的集合定义：线段的垂直平分线的集合定义：线段的垂直平分线可以看作是和线段两个线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合端点距离相等的所有点的集合13.3 角的平分线角的平分线ODEABPC定理定理1 在角的平分线上的点到这个在角的平分线上的点到这个角的两边的角的两边的距离相等距离相等。定理定理2 到一个角的两边的到一个角的两边的距离相等距离相等的点，在这个角的平分线上。的点，在这个角的平分线上。角角的的平分线是到角的平分线是到角的两边两边距离距离相等相等的所有点的集合的所有点的集合 14.1 线段的垂直平分线线段的垂直平分线定定 理理
13、线段垂直平分线上的点和这线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的条线段两个端点的距离相等距离相等。逆定理逆定理 和一条线段两个端点和一条线段两个端点距离相距离相等等的点，在这条线段的垂直平分线上。的点，在这条线段的垂直平分线上。线段的垂直平分线可以看作是和线段线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点两个端点距离相等距离相等的所有点的集合的所有点的集合ABMNP点的点的集合是一条射线集合是一条射线点的点的集合是一条直线集合是一条直线拓展：如图所示，在如图所示，在ABC中，中，AB=AC32，MN是是AB的垂直的垂直平分线，且有平分线，且有BC=21，求，求BCN的周长。的周长。1、如图，如图，A
14、DBC，BD=DC，点点C在在AE的垂直平分线上，的垂直平分线上，AB、AC、CE 的长度有什么关系？的长度有什么关系？AB+BD 与与DE有什么关系？有什么关系？P34练习练习AC=CEAB+BD=DE2、如图，、如图，AB=AC，MB=MC，直线直线AM是线段是线段BC的垂直平分线吗？的垂直平分线吗？例已知：在例已知：在ABCABC中，中，ABAB的垂直平分的垂直平分线交线交ABAB于于D D，交，交BCBC于于E E，且，且ABAB10cm,10cm,ABCABC的周长为的周长为23cm.23cm.求：求：AECAEC的周长的周长.CBADE 2 2、如图，如图，ABCABC中，中，AB
15、AB的垂直平分的垂直平分线分别交线分别交ABAB、BCBC于点于点D D、E E，ACAC的垂直的垂直平分线分别交平分线分别交ACAC、BCBC于点于点F F、G G，要求，要求AEGAEG的周长，还需添加什么条件？的周长，还需添加什么条件？PABCNEDM3.如右图所示如右图所示,直直线线MN和和DE分别分别是线段是线段AB、BC的垂直平分线，的垂直平分线，它们交于它们交于P点，点，请问请问PA和和PC的的关系如何？你的关系如何？你的理由是什么？理由是什么？PA=PC已知：已知：ABC中，边中，边AB、BC的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点P。求证：求证：PA=PB=PC.PABC结论：三
16、角形三边的垂直平分线交于一点，并结论：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等。且这点到三个顶点的距离相等。证明：证明：MNAB，P在在MN上上PA=PB（线段垂直平分线上的点（线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等）与线段两个端点的距离相等）同理：同理：PB=PCPA=PB=PCMFEN沈阳市政府沈阳市政府政府为了方便居民政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区的生活，计划在三个住宅小区A A、B B、C C之间修建一个购物中心，之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离才能使得它到三个小区的距离相等。相等。A AB BC C 例：已知例：已知:如图如图,在在ABCABC中中,AB,AB、BCBC的的中垂线交于点中垂线交于点O O，那么点，那么点O O在在ACAC的中垂线吗的中垂线吗？为什么？为什么？BACMNEFO 已知已知ABCABC中中,AD,AD平分平分BAC,BAC,过过ADAD的中点的中点E E做做EFAD,EFAD,交交BCBC的延长线于的延长线于F F点点,连接连接AF,AF,若若B=45B=45,求求 CAFCAF.寄语寄语 如果你智慧的双眼善于观察，善于发现，那你一定会觉得数学就在我们的身边。老师相信：你辛勤的汗水一定会浇灌出智慧的花朵！