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1、平行线分线段成比例平行线分线段成比例本节内容3.2 下图是一架梯子的示意图下图是一架梯子的示意图.由生活常识可以知由生活常识可以知道：道：AA1，BB1，CC1，DD1互相平行，且若互相平行，且若AB=BC，则则A1B1=B1C1.由此可以猜测：若两条直线被一组平由此可以猜测：若两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等那么在另一条直线上截得的线段也相等.这个猜测是这个猜测是真的吗真的吗？观察观察 如下图所示，已知直线如下图所示，已知直线abc，直线，直线l1，l2 被直线被直线a、b、c截得的
2、线段分别为截得的线段分别为AB，BC和和A1B1，B1C1，且，且AB=BC.过点过点B作直线作直线l3l2 ，分别与直线，分别与直线a、c相交于点相交于点A2、C2.由于由于abc，l3l2，因此由，因此由“夹在两平行线夹在两平行线间的平行线段相等间的平行线段相等”可知可知A2B=A1B1，BC2=B1C1.在在BAA2和和BCC2中，中，ABA2=CBC2，BA=BC，BAA2=BCC2，因此因此 BAA2BCC2.从而从而 BA2=BC2，所以所以 A1B1=B1C1.由此可以得到：由此可以得到：两条直线被一组平行线所截，两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么
3、在如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等另一条直线上截得的线段也相等.动脑筋动脑筋 如图，任意画两条直线如图，任意画两条直线l1，l2 ，再画三条与，再画三条与l1，l2相交的平行直线相交的平行直线a、b、c.分别度量分别度量l1，l2被直线被直线a、b、c截得的线段截得的线段AB，BC，A1B1，B1C1的长度的长度.相等吗相等吗？任意平移直线任意平移直线c，再度量，再度量AB，BC，A1B1，B1C1的长度，的长度，与与与与还相等吗还相等吗？=下面我们来证明：下面我们来证明：假设假设 ，则把线段，则把线段 二等分，分点为二等分，分点为D，过点，过点D作直线作
4、直线da，交，交l2于点于点D1，如下图，如下图:把线段把线段BC三等分，三等分点为三等分，三等分点为E，F，分别过点，分别过点E，F作直线作直线ea，fa，分别交，分别交l2于点于点E1，F1.由已知由已知 ，得得 .由于由于 ，因此因此 .由于由于adbefc，因此因此 A1D1=D1B1=B1E1=E1F1=F1C1.从而从而 类似地，可以证明：直线类似地，可以证明：直线abc，直线，直线 被被直线直线a、b、c截得的线段分别为截得的线段分别为AB，BC 和和A1B1，B1C1，若若 （其中（其中m，n是正整数），则是正整数），则l1，l2进一步可以证明，若进一步可以证明，若 （其中（其
5、中k为无理数），则为无理数），则，我们还可以得到：我们还可以得到：从而从而结论结论两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.由此，得到以下基本事实：由此，得到以下基本事实：我们把以上基本事实简称为我们把以上基本事实简称为平行线分线段成比例平行线分线段成比例.动脑筋动脑筋如图，在如图，在ABC 中，已知中，已知DEBC，则，则和和成立吗成立吗？为什么为什么？如图，过点如图，过点A作直线作直线MN，使，使MNDE.DEBC，MNDEBC.同时还可以得到同时还可以得到 因此因此AB，AC被一组平行线被一组平行线MN，DE，BC 所截，则所截，则由平
6、行线分线段成比例可知，由平行线分线段成比例可知，结论结论 平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例应线段成比例.由此得到以下结论：由此得到以下结论：举举例例例例 如图，已知如图，已知AA1BB1CC1，AB=2，BC=3，A1B1=1.5，求，求 B1C1 的长的长.即即 ，由平行线分线段成比例可知由平行线分线段成比例可知 ，解解因此因此练习练习如图，如图，AC，BD相交于点相交于点O，直线，直线MN过点过点O，且且 BAMNCD.已知已知 OA=3，OB=1，OD=2，求，求OC的长的长.1.则由平行线分线段成比例可知则由平行线分线段成比例可知 ，解解所以所以BAMNCD，因为因为如图，点如图，点D，E分别在分别在ABC的边的边AB，AC上，且上，且DEBC.若若AB=3，AD=2，EC=1.8，求，求AC 的长的长.2.则由平行线分线段成比例可知则由平行线分线段成比例可知 ，解解DEBC，又又解得解得中考中考 试题试题例例 如图，在如图，在ABC中，中，DE BC，且，且DB=AE，若，若AB=5，AC=10，求，求AE的长的长.解解由由DE BC，可得，可得设设 DB=AE=x，AB=2，BC=3，（5-x）:5=x:10.解得解得 x=即即AE的长为的长为结结 束束