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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！（二十一）数学分析期终考试题 一 叙述题：（每小题 5 分，共 15 分）1 开集和闭集 2 函数项级数的逐项求导定理 3 Riemann 可积的充分必要条件 二 计算题：（每小题 7 分，共 35 分）1、9131dxxx 2、求)0()(222babbyx绕x轴旋转而成的几何体的体积 3、求幂级数nnnxn12)11(的收敛半径和收敛域 4、11lim222200yxyxyx 5、22),(yzxyxzyxf，l为从点P0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向，求fl(P0)三 讨论与验证
2、题：（每小题 10 分，共 30 分）1、已知0,0001sin)(),(222222yxyxyxyxyxf，验证函数的偏导数在原点不连续，但它在该点可微 2、讨论级数12211lnnnn的敛散性。3、讨论函数项级数 1,1)1(11xnxnxnnn的一致收敛性。四 证明题：（每小题 10 分，共 20 分）1 若adxxf)(收敛，且f（x）在a,+）上一致连续函数，则有0)(limxfx 2 设二元函数),(yxf在开集2RD 内对于变量x是连续的，对于变量y满足Lipschitz 条件：),(),(yyLyxfyxf其中LDyxyx,),(),(为常数证明),(yxf在D内连续。参考答案
3、 一、1、若集合 S 中的每个点都是它的内点，则称集合 S 为开集；若集合 S 中包含了它的所有的聚点，则称集合 S 为闭集。欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！2 设函数项级数1)(nnxu满足（1）),2,1)(nxun在a，b连续可导 a)1)(nnxu在a，b点态收敛于)(xS b)1)(nxun在a，b一致收敛于)(x 则)(xS=1)(nnxu在a，b 可导，且11)()(nnnnxudxdxudxd 3、有 界 函 数)(xf在 a，b 上 可 积 的 充 分 必 要 条 件 是，对 于 任 意 分 法，当0)(max
4、1inix时 Darboux 大和与 Darboux 小和的极限相等 二、1、令31xt（2 分）7468)1(312033913dtttdxxx（5 分）2、222221,xabyxaby，（2 分）所求的体积为：badxyyaa2222212)(（5 分）3、解：由于ennnnnnnn1)111(1)111()11(lim(11收敛半径为e1(4 分），当ex1时，)(01)1()1()11(2nennnn，所以收敛域为)1,1(ee(3 分）4、2)11(lim)11)(11()11)(lim11lim22002222222200222200yxyxyxyxyxyxyxyxyxyx（7
5、分）5、解：设极坐标方程为4)2,1,2(.0)2,1,2(,2)2,1,2(zyxfff（4 分）136)2,1,2(lf（3 分）三、1、解、000)1cos11(sin22222222222yxyxyxyxyxxfx（4分）由 于欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！22221cos1yxyx当趋于（0，0）无极限。所以不连续，同理可的yf也不连续，（2 分）2、解：11211lnlim222nnnn（5 分）1212nn收敛，所以原级数收敛（5 分）3、解：部 分 和1)(1nxxxSnn（3分），,0 取1N，Nn 时 有n
6、nxxxSnn11)(1，所以级数一致收敛（7 分）四、证明题（每小题 10 分，共 20 分）1、证明：用反证法 若结论不成立，则XxaX00,.,0，使得00)(xf，（3 分）又因为在f（x）在a,）上一致连续函数，axx 0,),1,0(，只要0 xx，有2)()(0 xfxf，（3 分）于是1,00AXaA令，取上述使00)(xf的点,0Xx，不妨设0)(0 xf，则对任意满足00 xx的x，有022)()(000 xfxf取 A 和 A分别等于200 x和200 x，则002)(AAdxxf有，由 Cauchy 收敛定理，adxxf)(不收敛，矛盾（4 分）2、证明：Dyx),(0
7、0，由 Lipschitz 条件),(),(),(),(),(),(000000yxfyxfyxfyxfyxfyxf),(),(0000yxfyxfyyL（1），（6 分）又由二元函数),(yxf在开集2RD 内对于变量x是连续的，（1）式的极限为 0，),(yxf在),(00yx连续，因此),(yxf在D内连续（4 分）（二十二）数学分析期末考试题 一 叙述题：（每小题 5 分，共 15 分）1 Darboux 和 2 无穷限反常积分的 Cauchy 收敛原理 3 Euclid 空间 二 计算题：（每小题 7 分，共 35 分）欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删
8、除!我们将竭诚为您提供优质的文档！1、nnnn!lim 2、求由下列两条曲线围成的平面图形的面积 3、dxxeInxn0(n是非负整数）4、设fxyzzyxfu),(222具有二阶连续偏导数，求xzu2 5、求xexf)(的幂级数展开式 三 讨论与验证题：（每小题 10 分，共 20 分）1、讨论二元函数连续、偏可导、可微之间的关系。对肯定的结论任选一进行证明；对否定的结论，给出反例 2、讨论级数)0(cos1xnnxnp的绝对和条件收敛性。四 证明题：（每小题 10 分，共 30 分）1 f（x）在0，+）上连续且恒有f（x）0，证明xxdttfdtttfxg00)()()(在0，+）上单调
9、增加 2 设正项级数1nnx收敛，nx单调减少，证明0limnnnx 3 yxyyxf2),(，证明：),(lim00yxfyx不存在 参考答案 一、1、有界函数)(xf定义在,ba上，给一种分法P，bxxxan10和记,),(inf,),(sup11iiiiiixxxfmxxxfM，则niiiniiixmPSxMPS11)(,)(分别称为相应于分法P的 Darboux 大和和 Darboux 小和。2、aN.0使得Nnm，成立nmdxxf)(3、nR向量空间上定义内积运算nnyxyx11yx,构成Euclid 空间 二、1、由于1ln1lnlim)ln)ln(1lim!lnlim1011xd
10、xnninninnnninninnn（7 分）2、解：两曲线的交点为（2，2），（0，0），（2 分）欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！所求的面积为：34)22(202dxxx（5 分）3、解：dxxeInxn0=0|xnex+dxxennx01=1nnIdxxenx10+dxxenx1（6 分）!nIn(1 分）4、：xu=212yzfxf（3 分）)2()2(22221212112xyfzfyzyfxyfzfxxzu（4 分）5、解：由于余项)(0)!1()(1nxnexrnxn，（3 分）所以!212nxxxenx（4 分）
11、三、1、解、可微必可偏导和连续，证明可看课本 133 页（4 分），可偏导不一定连续和可微例子可看课本 135 页（6 分）2、解：当1p时，级数绝对收敛，（4 分）当10 p，由 Dirichlet 定理知级数收敛，但ppppnnxnnnxnnx22cos21coscos2，所以1|cos|npnnx发散，即级数条件收敛（4 分），当0p时，级数的一般项不趋于 0，所以级数不收敛（2 分）四、证明题（每小题 10 分，共 30 分）1 证明：0)()()()()()()()()()(2002000 xxxxxdttfdtttftxfxfdttfdtttfxfdttfxxfxg（8 分）所以函
12、数单调增加（2 分）2 证明：mnm,，有mnmxxxmn1)(由此得mnxmnnnx，（4 分）由级数收敛，故0可取定0m使得0mx，又1lim0mnnn，故0n使得0nn 时，有2 mnn，（4分）于是当0nn 时，有20nnx，得证（2 分）3、证明：1lim),(lim200 xxxyxfxxyx21lim),(lim222002xxxyxfxxyx，所以),(lim00yxfyx不存在（10 分）（二十三）数学分析期末考试题 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！一 叙述题：(每小题 5 分，共 15 分）1 微积分基本公式
13、 2 无穷项反常积分 3 紧几合 二 计算题：(每小题 7 分，共 35 分）1、11214042xdxtdtdxdx 2、求由下列两条曲线围成的平面图形的面积 3、求1)2(nnxnn的收敛半径和收敛域 4、设yexeuzyz，求偏导数和全微分 5、xyxyyx11lim00 三 讨论与验证题：(每小题 10 分，共 30 分）1 讨论22222)(),(yxyxyxyxf的二重极限和二次极限 2 讨论epxxdx10ln的敛散性 3、讨论函数项)10()(1xxxxfnnn的一致收敛性。四 证明题：(每小题 10 分，共 20 分）1 设f（x）连续，证明dudxxfduuxufxux 0
14、00)()(2 证明)(22yxyu满足uyxyuxxuy 参考答案 一、1、设)(xf在,ba连 续，)(xF是)(xf在,ba上 的 一 个 原 函 数，则 成 立)()()(aFbFdxxfba。2、设函数)(xf在),a有定义，且在任意有限区间,Aa上可积。若极限AaAdxxf)(lim存在，则称反常积分收敛，否则称反常积分发散 3、如果S的任意一个开覆盖 U中总存在一个有限子覆盖，即存在 U中的有限个开集 kiiU1，满足SUiki1，则称S为紧集 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！二、1、11214042xdxtdtd
15、xdx=8041212xxtdtdxdx（7 分）2、解：两曲线的交点为（-2，4），（1，1），（2 分）所求的面积为：29)2(122dxxx（5 分）3 ：1)2(limnnnn，收敛半径为 1（4 分），由于1x时，级数不收敛，所以级数的收敛域为（-1，1）（3 分）4：xu=yzeyu=1yzxzezu=zyzexye（4 分）dzexyedyxzedxeduzyzyzyz)()1(（3 分）5、解：21)11()11)(11(lim11lim0000 xyxyxyxyxyxyyxyx（7 分）三、1、解、由于沿kxy 趋于（0，0）时，1110)(lim22222)0,0(),(k
16、kyxyxyxkxx，所以重极限不存在（5 分）0)(limlim,0)(limlim22222002222200yxyxyxyxyxyxxyyx，（5 分）2：10 p，由于)0(0ln121xxxxpp故epxxdx10ln收敛（4 分）；1p，由于)(ln121xxxxpp（4 分）故epxxdx10ln收敛，1p，exxdx10ln，发散（2分）。3、)(0)(limxfxfnn（3 分），0)11()1(limsuplim)()(suplim1nnnnxxxfxfnnnnxnnn，所以函数列一致收敛（7 分）四、证明题（每小题 10 分，共 20 分）1 证明：dudxxfxu 00)(=xxxxuduuufduufxduuufdxxfu00000)()()()(=xduuxuf0)(（10 分）欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！2、证 明：)(222yxxyxu，)(2)(22222yxyyxyu（6分）uyxyxxyuxxuy)(22（4 分）