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1、流体动力学仿真电子科技大学电子科技大学机械电子工程学院第四讲 流体动力学基本方程Lecture 4 Basic Equations in Fluid DynamicsBasic Equations in Fluid Dynamics流体动力学基本方程(1)4-1 雷诺输运方程4-2 连续性方程4-3 理想流体的运动微分方程4-5 理想流体的伯努力方程4-1 雷诺输运方程控制体控制体(Control Volume):n由由一一个固定个固定空间构成的空间构成的体积体积n在不同时刻由不同的流体质点在不同时刻由不同的流体质点占据占据控制面控制面(Control Surface):n控制体的封闭表面控制
2、体的封闭表面n流体质点可自由通过流体质点可自由通过一、控制体与物质体4-1 雷诺输运方程物物质体质体(Material Volume):n由系统由系统的流体团构成的的流体团构成的体积体积n随流体运动而运动或变形随流体运动而运动或变形物质表面物质表面(Material Surface):n物质物质体积的封闭体积的封闭表面表面n流体质点不能通过流体质点不能通过一、控制体与物质体4-1 雷诺输运方程二、雷诺输运方程nG：物理量的集度：物理量的集度nMV：Material Volume，即物质体，即物质体nCV：Control Volume，即控制体，即控制体nCS：Control Surface，即
3、控制面，即控制面4-1 雷诺输运方程二、雷诺输运方程(1)：物质体中某物理量的随体导数：物质体中某物理量的随体导数(2)：控制体中该物理量的变化率（增加率）：控制体中该物理量的变化率（增加率）(3)：物理量通过控制表面的净通量（流出率）：物理量通过控制表面的净通量（流出率）(1)(2)(3)4-1 雷诺输运方程二、雷诺输运方程雷诺输运方程的物理意义：雷诺输运方程的物理意义：某瞬间控制体对应的物质体，它所具有的物理量的变化某瞬间控制体对应的物质体，它所具有的物理量的变化率，等于控制体中所含有同一物理量的变化率与该物理率，等于控制体中所含有同一物理量的变化率与该物理量通过控制面的净流出率之和量通过
4、控制面的净流出率之和(1)(2)(3)4-1 雷诺输运方程二、雷诺输运方程物理量的输运物理量的输运(Transport)或传递或传递(Transfer)是流体动力是流体动力学的主题，流体动力学基本方程讨论学的主题，流体动力学基本方程讨论的都是运动的都是运动流体各流体各物理量的物理量的输运输运与与守恒守恒n质量输运质量输运连续性方程连续性方程n动量输运动量输运欧拉方程、欧拉方程、N-S方程方程n能量输运能量输运伯努力方程、传热方程伯努力方程、传热方程n组分输运组分输运传质方程传质方程在雷诺输运方程在雷诺输运方程中，如果物理量为质量，即中，如果物理量为质量，即G=，则雷诺输运方程则表现为流体的连续
5、性方程：则雷诺输运方程则表现为流体的连续性方程：4-2 连续性方程(1)：物质体中质量的随体导数：物质体中质量的随体导数(2)：控制体中质量的增加率：控制体中质量的增加率(3)：通过控制表面的净质量通量：通过控制表面的净质量通量(1)(2)(3)一、一元流动的连续性方程4-2 连续性方程(1)：物质体中质量的随体导数：物质体中质量的随体导数由物质体的的定义，它总是由物质体的的定义，它总是包含包含相同质量的流体，因此相同质量的流体，因此(2)：控制体中质量的增加率：控制体中质量的增加率(3)：通过：通过控制表面的控制表面的净净质量质量通量通量一、一元流动的连续性方程4-2 连续性方程代入得一元流
6、体的连续性方程式：代入得一元流体的连续性方程式：即：即：单位单位时间内流入、流出控制体的时间内流入、流出控制体的流体质量之差等于该控制体内流流体质量之差等于该控制体内流体质量（密度）的变化率。体质量（密度）的变化率。或：或：一、一元流动的连续性方程4-2 连续性方程1、定常流动、定常流动 2、对于不可压缩流体流动、对于不可压缩流体流动 =Const 则：则：即：流过流束各断面的流量都相等，但流速与过流断即：流过流束各断面的流量都相等，但流速与过流断面面/有效截面面积成有效截面面积成反比反比，有效有效截面面积大的地方平均流截面面积大的地方平均流速小，有效截面面积小的地方平均流速大速小，有效截面面
7、积小的地方平均流速大。则：则：4-2 连续性方程 【例例3-1】有一输水管道，如图所示。水自截面有一输水管道，如图所示。水自截面1-1流向截流向截面面2-2。测得截面。测得截面1-1的水流平均流速的水流平均流速 m/s，已知，已知d1=0.5m，d2=1m，试求截面，试求截面2-2处的平均流速处的平均流速 为多少？为多少？【解解】由公式 得 在流场中选取任意形状的控制体，其体积为在流场中选取任意形状的控制体，其体积为V，表面，表面积为积为A，则：，则：V二、连续性方程的一般形式通过通过dA的单位时间的质量流出率为：的单位时间的质量流出率为：通过通过A的单位时间的净质量流量为：的单位时间的净质量
8、流量为：控制体单位时间的质量变化率为：控制体单位时间的质量变化率为：4-2 连续性方程由质量守恒原理，物质体中的流体质点总质量始终保由质量守恒原理，物质体中的流体质点总质量始终保持不变，则持不变，则代入雷诺输运方程，得代入雷诺输运方程，得4-2 连续性方程二、连续性方程的一般形式高斯定理V为空间固定范围积分形式连续方程 该式是该式是流体的连续方程流体的连续方程式式，是是质量守恒定律质量守恒定律在流体运动在流体运动中的体现，是一切中的体现，是一切流体运动必须遵循的普遍原则。流体运动必须遵循的普遍原则。直角坐标系直角坐标系下，连续方程式可写为：下，连续方程式可写为：4-2 连续性方程由于由于V是任
9、意选取的，可以去掉积分符号：是任意选取的，可以去掉积分符号：二、连续性方程的一般形式4-2 连续性方程也可以从质量守恒的角度来得到连续方程也可以从质量守恒的角度来得到连续方程。对如图。对如图所示任意选取的空间域，质量守恒定律所示任意选取的空间域，质量守恒定律的描述为：的描述为：VV内流体内流体质量增加质量增加(减少减少)=单位时间内流进单位时间内流进(流出流出)A的的质量质量流量流量积分形式连续方程二、连续性方程的一般形式微分形式连续方程特例1：定常流动定常流动中，流体任何空间点处的密度不随时间变化，定常流动中，流体任何空间点处的密度不随时间变化，定常流动的连续方程式为：定常流动的连续方程式为
10、：直角坐标系下：直角坐标系下：4-2 连续性方程二、连续性方程的一般形式特例2：不可压缩流体流动不可压缩流体的密度既不随时间变化，也不随空间不可压缩流体的密度既不随时间变化，也不随空间变化变化不可压缩流动的连续方程式为：不可压缩流动的连续方程式为：直角坐标系下：直角坐标系下：方程式适用于不可压缩的方程式适用于不可压缩的定常流动定常流动和和非定常流动非定常流动。4-2 连续性方程二、连续性方程的一般形式4-2 连续性方程例例3-2 假设已知平面流动的速度分布为假设已知平面流动的速度分布为4-3 理想流体的运动微分方程在在流场中取出一个正平行六面体流场中取出一个正平行六面体 流体微团流体微团。dV
11、=dxdydz.在某瞬时在某瞬时 t：形心形心A(x,y,z)处的压强为处的压强为 pA(x,y,z,t)，形心形心A(x,y,z)处处的速度为的速度为 vx,vy,vz 4-3 理想流体的运动微分方程作用在微元平行六面体上的力有质量力和作用在微元平行六面体上的力有质量力和表面力表面力。以以 y 方向为例分析受力。方向为例分析受力。一、一、y 方向的质量力方向的质量力 dFmy=dx dy dz fy二、二、y方向的表面力方向的表面力左表面：左表面：右表面：右表面：压强沿压强沿 y 方方向的变化向的变化率率4-3 理想流体的运动微分方程 三、三、y y方向的运动方程（力平衡关系式）方向的运动方
12、程（力平衡关系式）由牛顿第二定律：由牛顿第二定律：Fy=may即：即：得：得：单位质量流体在单位质量流体在 y方向上运动规律的数学方向上运动规律的数学表达式表达式4-3 理想流体的运动微分方程同理，可推得在同理，可推得在 x、z 方向有：方向有：理想流体的运动微分方程理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）（欧拉运动微分方程）4-3 理想流体的运动微分方程也可以从雷诺输运方程角度来得到欧拉方程：也可以从雷诺输运方程角度来得到欧拉方程：在雷诺输运方程在雷诺输运方程中，如果物理量中，如果物理量为动量为动量mv，则，则G=v，则雷诺输运方程则可写为：，则雷诺输运方程则可写为：(1)：物质体中动量的
13、随体导数：物质体中动量的随体导数(2)：控制体中动量的增加率：控制体中动量的增加率(3)：通过控制表面的净动量通量：通过控制表面的净动量通量(1)(2)(3)由动量守恒原理，物质体中的流体质点总动量变化率由动量守恒原理，物质体中的流体质点总动量变化率等于合外力，则等于合外力，则代入雷诺输运方程，得代入雷诺输运方程，得4-3 理想流体的运动微分方程高斯定理CV为空间固定范围4-3 理想流体的运动微分方程选取控制体为如图所示流体微团，则：选取控制体为如图所示流体微团，则：4-3 理想流体的运动微分方程选取控制体为如图所示流体微团，则：选取控制体为如图所示流体微团，则：由由dV=dxdydz4-3
14、理想流体的运动微分方程 该式该式是是欧拉运动欧拉运动微分方程微分方程，是，是动量守恒定律动量守恒定律在理想流体在理想流体运动中的表现：外力的冲量运动中的表现：外力的冲量=动量的改变量。动量的改变量。欧欧拉拉平平衡衡微微分分方方程程欧欧拉拉运运动动微微分分方方程程 由于研究的对象是理想流体，流体微团所受的表面力只由于研究的对象是理想流体，流体微团所受的表面力只有正压力而无内摩擦力（切应力），外力的表现形式与平有正压力而无内摩擦力（切应力），外力的表现形式与平衡流体具有同样形式。衡流体具有同样形式。4-3 理想流体的运动微分方程在一般情况下，作用在流体上的质量力在一般情况下，作用在流体上的质量力f
15、x、fy 和和 fz 是已知是已知的，对理想不可压缩流体其密度的，对理想不可压缩流体其密度为一为一常数常数在在这种情况下，方程组中有四个未知数这种情况下，方程组中有四个未知数u、v、w和和p，而方，而方程仅有三程仅有三个个为此为此需加上不可压缩流体的连续性方程，这样方程组封闭，需加上不可压缩流体的连续性方程，这样方程组封闭，从理论上提供了求解的可能性。从理论上提供了求解的可能性。方程组的封闭性问题4-4 理想流体的伯努利方程一、理想流体沿流线的伯努利方程 单位质量的流体单位质量的流体质点经质点经 dt 时间沿流线时间沿流线产生微小位移产生微小位移 。dx=vxdtdy=vydtdz=vzdt
16、在三个坐标方向上的分量。在三个坐标方向上的分量。将上述三式分别与欧拉运动微分方程三个表达式将上述三式分别与欧拉运动微分方程三个表达式的两边相乘，然后分别相加可得：的两边相乘，然后分别相加可得：一、理想流体沿流线的伯努利方程4-4 理想流体的伯努利方程引入以下条件，对上式中的三类项分别进行化简。引入以下条件，对上式中的三类项分别进行化简。流体为不可压缩的；流体为不可压缩的；流体作定常流动；流体作定常流动；流体所受的质量力仅为重力。流体所受的质量力仅为重力。1、质量力（由条件、质量力（由条件3）：）：fxdx+fydy+fzdz=gdz2、表面力（由条件、表面力（由条件2）4-4 理想流体的伯努利
17、方程一、理想流体沿流线的伯努利方程3、惯性力、惯性力于是化简后可得：于是化简后可得：积分上式，并考虑条件积分上式，并考虑条件 1，=常数常数，得：得：4-4 理想流体的伯努利方程一、理想流体沿流线的伯努利方程对于同一流线上的任意两点对于同一流线上的任意两点 1、2，上式可写成：，上式可写成：在重力作用下，理想不可压缩流体作定常流动在重力作用下，理想不可压缩流体作定常流动时，沿流线的伯努利方程。时，沿流线的伯努利方程。单位重力流体的动能单位重力流体的动能（速度水头）（速度水头）除以除以 g,则：则：4-4 理想流体的伯努利方程一、理想流体沿流线的伯努利方程1、几何意义、几何意义 z，p/g，V2
18、/2g量纲都是长度，表示一定的高量纲都是长度，表示一定的高 度度。z：表示表示流体质点相对基准面的几何高度，流体质点相对基准面的几何高度，称为称为位置水头位置水头。p/g：表示表示质点压力大小的液柱高度，质点压力大小的液柱高度，称为称为压力水头压力水头。V2/2g：表示表示质点速度大小的高度，质点速度大小的高度，称为称为速度水头速度水头。4-4 理想流体的伯努利方程一、理想流体沿流线的伯努利方程伯努利方程式伯努利方程式表明：表明：在在重力作用下不可压缩的理想重力作用下不可压缩的理想流体作定常流动，任一质点的位置水头，压力水头，速流体作定常流动，任一质点的位置水头，压力水头，速度水头之和即总水头
19、为一常数度水头之和即总水头为一常数。4-4 理想流体的伯努利方程一、理想流体沿流线的伯努利方程伯努利方程式表示：单位单位重力流体所具有的位能、压力重力流体所具有的位能、压力能动能之和即总机械能为一常数能动能之和即总机械能为一常数。同一条流线上各点的单位重力流体的总机械能相同，因此伯努利方程式是伯努利方程式是能量守衡定律能量守衡定律在流体动力学中的应用在流体动力学中的应用，又称为能量方程又称为能量方程。2、物理、物理意义意义z：表示单位重力流体的位能。p/g：表示单位重力流体的压力能。V2/2g：表示单位重力流体的动能。4-4 理想流体的伯努利方程一、理想流体沿流线的伯努利方程二、总流的伯努利方
20、程式4-4 理想流体的伯努利方程总流总流 流体通过有限过流断面的流动。流体通过有限过流断面的流动。式中：式中：动能修正系数。动能修正系数。1、动能项、动能项 以断面平均流速将动能表示为：以断面平均流速将动能表示为：过流断面上速度分布越均匀，过流断面上速度分布越均匀，1。二、总流的伯努利方程式4-4 理想流体的伯努利方程2、势能项、势能项若将若将 yoz 坐标平面取在缓变过流断面上，坐标平面取在缓变过流断面上，则有：则有：vx=v ，vy=vz=0于是欧拉运动微分方程可写成：于是欧拉运动微分方程可写成：与平衡微分方程相同与平衡微分方程相同二、总流的伯努利方程式4-4 理想流体的伯努利方程2、势能
21、项、势能项因此对于同一过流断面上有：因此对于同一过流断面上有：则：对于沿总流的任意两个过流断面上的单位重力流则：对于沿总流的任意两个过流断面上的单位重力流体有：体有：沿总流的伯努利方程沿总流的伯努利方程(重力、理想、不可压、定常重力、理想、不可压、定常)总流伯努利方程式的应用条件总流伯努利方程式的应用条件n不可压缩流体的定常流动；不可压缩流体的定常流动；n质量力只有重力；质量力只有重力；n所取断面应是缓变流断面，但在其间可不必要求；所取断面应是缓变流断面，但在其间可不必要求；n没有其它形式的能量的输入输出；没有其它形式的能量的输入输出；上、下游两过水断面属于同一个总流，无总流的分上、下游两过水
22、断面属于同一个总流，无总流的分出、汇入。出、汇入。4-4 理想流体的伯努利方程二、总流的伯努利方程式1 1、皮托管、皮托管、皮托管、皮托管 应用伯努利方程式，利用皮托管可以测定运动流体的速度。应用伯努利方程式，利用皮托管可以测定运动流体的速度。1 2vhH如图所示：如图所示：1点的压力为点的压力为2点的压力为点的压力为在在1，2两点之间列伯努利方程式两点之间列伯努利方程式所以所以实际测量时实际测量时Cv 称为流速系数，称为流速系数，一般一般 Cv=0.97-0.99。四、伯努利方程式的应用4-4 理想流体的伯努利方程如图所示，对如图所示，对1-1，2-2断面列伯努利方程式：断面列伯努利方程式：
23、由连续方程：由连续方程：2 2、文丘里流量计文丘里流量计文丘里流量计文丘里流量计应用伯努利方程式，采用文丘里管可以测量流体的流量应用伯努利方程式，采用文丘里管可以测量流体的流量四、伯努利方程式的应用4-4 理想流体的伯努利方程代入得所以实际流量为Cq；流量系数2 2、文丘里流量计文丘里流量计文丘里流量计文丘里流量计四、伯努利方程式的应用4-4 理想流体的伯努利方程4-4 理想流体的伯努利方程 【例例3-3】有一贮水装置如图所示，贮水池足够大，当有一贮水装置如图所示，贮水池足够大，当阀门关闭时，压强计读数为阀门关闭时，压强计读数为2.8个大气压强。而当将阀门全开，个大气压强。而当将阀门全开，水从管中流出时，压强计读数是水从管中流出时，压强计读数是0.6个大气压强，试求当水管直个大气压强，试求当水管直径径d=12cm时，通过出口的体积流量时，通过出口的体积流量(不计流动损失不计流动损失)。4-4 理想流体的伯努利方程【解解】当阀门全开时列1-l、2-2截面的伯努利方程 当阀门关闭时，根据压强计的读数，应用流体静力学基本方程求出值所以管内流量4-4 理想流体的伯努利方程思考题两艘平行行驶的船只不能靠得太近，否则会相互吸引发生碰撞。这是为什么？