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1、第四章第四章 Mallat算法算法 及二维小波及二维小波小波变换应用于信号处理的一般过程 4.1 基于正交小波的分解算法 n由已知序列 分别求出 级的近似序列 和 级细节序列 n分解目标：n如何分解？n结论：序列 和 可分别由序列 通过数字滤波器 和 ，并对输出作偶数点抽样得到。n推导:近似序列细节序列n多级分解无需尺度函数和小波函数的具体表达式离散小波变换的数据量不变性质n从j=0开始经J级分解后最后得到 j=0j=-1近似序列近似序列细节序列细节序列塔式数据塔式算法初始化问题n ,=？n按照定义实际上，原始数据就是j0的近似序列DWT的相图DWT分解树8点的DWT相图4.2重构算法n由已知
2、近似序列 和细节序列 求出 序列 考虑到 以及同级尺度函数的平移正交性，有令则则原数据每两个之间补0所得2l+s=k,=1重构算法多级重构算法4.3边界处理n以下两式的前提式信号为双向无限长序列 ，n实际信号是有限长序列，矛盾n解决方法：将信号以某种方式延拓为双向无限长序列 边界处理问题n一般的，数据 的下标范围是0N，滤波器记为 ，其长度 ，那么分解过程就是 四种延拓方法n补零延拓n简单周期延拓n以边界点为对称中心的对称延拓n边界值重复的对称周期延拓补零延拓n简单n保留多于N/2的信息才能重构长度为N的序列n如果信号的边界点的值与0差别很大，则会在边界处产生阶跃变化简单周期延拓n数据总量保持
3、不变n当信号序列的两端边界值相差很大时，延拓后的信号将存在周期性的剧烈突变 以边界点为对称中心的对称周期延拓 step1 从 到 ，N2N2step2 作N周期延拓n主周期内以n=0和n=N-1为对称中心n延拓后的信号不存在周期性的剧烈突变不重复S(0),S(N-1)n当 不对称时，数据总量几乎增大一倍n当 对称时，数据总量保持不变 (1)L=2K+1,c(n)=c(-n)输出序列是2N-2的周期序列，且在一个周期内有两个对称中心，只需保留0,N-1的数据，然后进行下采样得到N/2点的序列 和并采用同样的延拓方式实现重构。(滤波器的对称中心为0)(2)L=2K+2,c(n)=c(-1-n)输出
4、序列是2N-2的周期序列，且在一个周期内有两个对称中心，只需保留0,N-1的数据，然后进行下采样得到N/2点的序列 和并采用同样的延拓方式实现重构。(滤波器的对称中心为-0.5)边界值重复的对称周期延拓 n作对称延拓时重复原信号的边界值n主周期内以n=-0.5和n=N-0.5为对称中心n延拓后的信号不存在周期性的剧烈突变重复S(0),S(N-1)(1)L=2K-1,c(n)=c(-n)(2)L=2K,c(n)=c(1-n)输出序列是 2N 的周期序列，且在一个周期内有两个对称中心，只需保留0,N-1的数据，然后进行下采样得到N/2点的序列 和并采用同样的延拓方式实现重构。(采用偶数长的对称（反
5、对称）滤波器的对称中心为0.5,奇数长的对称滤波器的对称中心为0)一维小波分解重构实例nclc;clear;n%1.正弦波定义nf1=50;%频率1nf2=100;%频率2nfs=2*(f1+f2);%采样频率nTs=1/fs;%采样间隔nN=120;%采样点数nn=1:N;ny=sin(2*pi*f1*n*Ts)+sin(2*pi*f2*n*Ts);%正弦波混合nfigure(1)nsubplot(2,1,1)nplot(y);ntitle(Signal)nsubplot(2,1,2)nstem(abs(fft(y);ntitle(Amplitude Spectrum)figure1n%2.
6、小波滤波器谱分析nh=wfilters(db30,l);%低通ng=wfilters(db30,h);%高通nh=h,zeros(1,N-length(h);%补零（圆周卷积，且增大分辨率变于观察）ng=g,zeros(1,N-length(g);%补零（圆周卷积，且增大分辨率变于观察）nfigure(2);nsubplot(2,1,1)nstem(abs(fft(h);%stem函数用于绘制火柴梗图 ntitle(Low-pass Filter(V_0)nsubplot(2,1,2)nstem(abs(fft(g);ntitle(High-pass Filter(W_0)figure2n%3
7、.MALLAT分解算法(圆周卷积的快速傅里叶变换实现)nsig1=ifft(fft(y).*fft(h);%低通(低频分量)nsig2=ifft(fft(y).*fft(g);%高通(高频分量)nfigure(3);%信号图nsubplot(2,1,1)nplot(real(sig1);ntitle(Low-frequency Component)nsubplot(2,1,2)nplot(real(sig2);ntitle(High-frequency Component)figure3nfigure(4);%频谱图nsubplot(2,1,1)nstem(abs(fft(sig1);ntit
8、le(Amplitude Spectrum of Low-frequency Component)nsubplot(2,1,2)nstem(abs(fft(sig2);ntitle(Amplitude Spectrum of High-frequency Component)figure4n%4.MALLAT重构算法nsig1=dyaddown(sig1);%2抽取nsig2=dyaddown(sig2);%2抽取nsig1=dyadup(sig1);%2插值，补零nsig2=dyadup(sig2);%2插值nsig1=sig1(1,1:N);%去掉最后一个零nsig2=sig2(1,1:N
9、);%去掉最后一个零nhr=h(end:-1:1);%重构低通ngr=g(end:-1:1);%重构高通nhr=circshift(hr,1);%位置调整圆周右移一位ngr=circshift(gr,1);%位置调整圆周右移一位nsig1=ifft(fft(hr).*fft(sig1);%低频，卷积定理nsig2=ifft(fft(gr).*fft(sig2);%高频nsig=sig1+sig2;%源信号n%5.比较nfigure(5);nsubplot(2,1,1)nplot(real(sig1);ntitle(Reconstructed Low-frequency Signal);nsub
10、plot(2,1,2)nplot(real(sig2);ntitle(Reconstructed High-frequency Signal);nfigure(6);nsubplot(2,1,1)nstem(abs(fft(sig1);ntitle(Spectra of the Reconstructed Low-frequency Signal);nsubplot(2,1,2)nstem(abs(fft(sig2);ntitle(Spectra of the Reconstructed High-frequency Signal);nfigure(7)nplot(real(sig),r,li
11、newidth,2);nhold on;nplot(y);nlegend(Reconstructed Signal,Original Signal)ntitle(Comparisons between Original Signal and Reconstructed Signal)figure5figure6figure7Haar小波变换完成一维信号的分解和重构滤波器组系数：n分解低通：n分解高通：n重构低通：n重构高通：n一维原始信号：分解过程 卷积 二抽取n（低通）:n（高通）:重构过程 二插值 卷积 求和：4.4 二维正交小波n由一维小波到高维小波，空间由 到n小波变换应用于图像处理，
12、需要有二维小波函数和二维尺度函数 n构造二维小波的MRA方法：的多分辨率分析是 的子空间序列存在唯一的尺度函数 ，其伸缩和平移构成每个 的正交基。特殊情况下，。如果 是 的MRA，则 是 的MRA分离变量方法 二维小波分解算法n行处理：将 的每一行（n 取定值）看成是一个一维信号，分别通过低通滤波器 和高通滤波器 n列处理：将上述结果的每一列当成一维信号，再次通过低通滤波器 和高通滤波器 二维小波分解数据总量保持不变是 、均为低频的信号分量是 为低频、为高频的信号分量是 、均为高频的信号分量是 为高频、为低频的信号分量2DDWT二维小波重构算法n在可分离变量的情况下，二维重构算法也可通过行处理
13、和列处理的两个步骤进行 4.5 小波变换在图像去噪中的应用 n数据在采集传输的过程中可能受到噪声污染n噪声可用平稳Gaussian随机过程 来描述n当噪声功率谱为常数时，称为Gaussian白噪声。n噪声的数学模型：加性噪声和乘性噪声图像去噪问题的特殊性 n最佳线性滤波理论是在平稳随机过程的前提下推导的，而实际的自然图像往往偏离这一假设甚远 nWiener滤波器的最优化准则是MSE，而人类视觉系统(Humman Visual System,HVS)对图像质量的评价并不与MSE准则相一致，特别是对于图像边缘的保真度非常敏感。图像去噪的关键问题是既要去除（或减弱）噪声所对应的高频成分，又要保留（或
14、增强）边缘所对应的高频成分 小波变换应用于图像去噪Step1 对含噪信号进行小波分解，获取近似序列细节序列Step2 对细节系数进行处理Step3 利用step1中获取的近似序列step2中获取的处理后的细节序列进行重构，获取去噪后的有用信号nclcnclear allnX,map=imread(Lena.BMP);nX0=imnoise(X,gaussian,0,0.05);nc,s=wavedec2(X,2,db1);%二维小波分解na1=wrcoef2(a,c,s,db1,1);%利用小波分解中的第一层低频系数进行重构，即实现低通滤波消噪na2=wrcoef2(a,c,s,db1,2);
15、%这相当于把第一层的低频图像再一次经过低通滤波处理nsubplot(2,2,1);image(X);colormap(map);title(原始图象,fontsize,12);axis square;nsubplot(2,2,2);imshow(X0);title(加高斯噪声后的图像,fontsize,12);axis square;nsubplot(2,2,3);image(a1);colormap(map);title(第一次消噪图像,fontsize,12);axis square;nsubplot(2,2,4);image(a2);colormap(map);title(第二次消噪图像,fontsize,12);axis square;