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1、数字逻辑基础数字逻辑基础中国水利水电出版社管庶安第1章 逻辑代数基础1.1 概述概述1.2 逻辑代数的基本概念逻辑代数的基本概念1.3 逻辑函数逻辑函数1.4 逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式1.5 逻辑代数的重要定理逻辑代数的重要定理1.6 逻辑函数化简逻辑函数化简1.1 概述1.1.1数字系统的基本概念数字系统：对数字信号进行加工、传输、和存储的实体。数字信号：一系列离散的数据。举例：用计算机播放电影计算机就是一个典型的数字系统。数字量的表示形式：用“0”和“1”两个基本逻辑量组成。例：十进制数 9 用 10011001 表示；字符 A 用10000011000001表示。逻辑运算：对
2、两种基本逻辑量进行的逻辑意义上的运算。逻辑运算是对数字量进行处理的最基本运算，任何 运算归根到底是由大量的逻辑运算综合形成的。逻辑电路：实现逻辑运算的电子电路。在逻辑电路中，一般用高电平表示逻辑“1 1”，用低电平 表示逻辑“0 0”。逻辑电路的特点：抗干扰能力强、运算精确、速度高、集成度高。1.1.2 数字逻辑技术的主要内容逻辑代数 对逻辑量进行运算的规律、法则和方法。逻辑电路分析 逻辑电路设计就是根据给定的功能要求，设计出逻辑 电路。逻辑电路设计 对于一个给定的逻辑电路，分析其工作原理，获得该 电路所具有的逻辑功能。1.2 逻辑代数的基本概念1.2.1 逻辑变量及基本运算 逻辑常量 仅有两
3、个：“1”和“0”，代表某命题为“真”或为“假”。逻辑变量 值可以变化的逻辑量，取值只能是 0 或 1。逻辑变量用英文字母表示，如A、B、C、F 等。基本逻辑运算 与运算，用符号“”表示，例如 AB 或运算，用符号“+”表示，例如 A+B 非运算，用符号“”表示。例如 三种基本逻辑运算的法则运算名称法 则含 义与与参加运算的量，只有两个同时参加运算的量，只有两个同时为为“1”时，则运算结果为时，则运算结果为“1”。否则运算结果为。否则运算结果为“0”或或参加运算的量，只有两个同时参加运算的量，只有两个同时为为“0”时，运算结果才为时，运算结果才为“0”。否则运算结果为。否则运算结果为“1”非非
4、运算结果取相反的量。运算结果取相反的量。1.2.2 逻辑表达式 由逻辑变量、常量及基本逻辑运算符所构成的式子。例：“与”运算符号“”可以省略：逻辑运算的优先顺序：括号可以改变优先顺序。例：1.2.3 逻辑代数的公理 逻辑代数的公理：从逻辑代数的基本运算法则出发，经 推导得出的、具有普遍使用意义的逻辑运算规律。公理名称基本式对偶式10-1律2重叠律3互补律 4交换律5结合律对偶：将基本式中的“”换成“”，“”换成“”，0换成1，1换成0，便得到对偶式。先列出前5条公理：15的证明：用枚举法。例：证明重叠律。已知变量A 的取值仅有1或0两种。将A=0代入A+A=A 有：0+0=0，等式成立；将A=
5、1代入A+A=A 有：1+1=1，等式成立；即无论A为0还是A为1等式均成立，重叠律得证。公理名称基本式对偶式6分配律 7对合律 8吸收律 用推理法可证明67式。例：证明吸收律。吸收律得证。公理（续）公理名称基本式对偶式9消去律 10并项律 11包含律 用推理法可证明911式。例：证明消去律。消去律得证。公理（续）1.3 逻辑函数1.3.1 逻辑函数的定义 若逻辑变量F 的值由逻辑变量A1、A2、An的值所决定，则称F 为A1、A2、An的函数，记为 F 值也只能为0或1。用逻辑电路实现逻辑函数 输入 输出 1.3.2 逻辑函数的表示法 用逻辑表达式逻辑表达式表达此逻辑命题：逻辑命题：A、B
6、两人对某问题发表的意见，否定记为0，肯定记为1；F 为结果，意见不同时F 的值为0，相同时F的值为1。用真值表真值表表达此逻辑命题：ABF001010100111特点：简洁、便于运用公理计算。但不够直观。特点：直观。但当变量多时规模大。用卡诺图表达此逻辑命题：F注意：卡诺图在分析和设计逻辑电路中具有重要地位。注意：卡诺图在分析和设计逻辑电路中具有重要地位。例如：A=0的行和B=0的列相交的小方格的值为1，表示：当A=0、B=0时F的值为11.3.3 复合逻辑 用三种基本逻辑运算组成的特殊逻辑运算 与非逻辑例：ABF001011101110与非逻辑可以表达任何复杂的逻辑。或非逻辑例：ABF001
7、010100110或非逻辑可以表达任何复杂的逻辑。异或逻辑例：ABF001010100111简记为 同或逻辑例：ABF001010100111简记为注意1.4 逻辑函数的标准形式1.4.1 最小项 什么是最小项？n 个逻辑变量组成的“与”项中，所有变量以原变量或 反变量的形式出现一次。例：对于2个逻辑变量，共可写出4个最小项：用mi 最小项例：用二进制数0表示反变量,1表示原变量;改用十进制数表示;此十进制数就是mi 的下标.最小项的性质 性质1 任取一组值,仅有一个最小项的值为1。性质2 任意两个最小项相与,结果为0。性质3 全部最小项相或,结果为1。即：用最小项表达逻辑函数 互补律分配律重
8、叠律例：1.4.2 最大项 什么是最大项？n 个逻辑变量组成的“或”项中，所有变量以原变量或 反变量的形式出现一次。例：对于2个逻辑变量，共可写出4个最大项：用 Mi 最大项例：用二进制数1表示反变量,0表示原变量;改用十进制数表示;此十进制数就是Mi 的下标.最大项的性质 性质1 任取一组值,仅有一个最大项的值为0。性质2 任意两个最小项相或,结果1。性质3 全部最大项相与,结果为0。即：用最大项表达逻辑函数 例：互补律，0-1律分配律重叠律1.4.3 逻辑函数表达式的转换例：A B C F00010011010101111000101011001111F=1时的最小项F=0时的最大项注意：
9、最小项与最大项的下标相互错开1.真值表法2.卡诺图法 卡诺图的结构（以2变量卡诺图为例）排列原则：任何两个上下或左右相邻的小方格对应的两个 最小项中，有且仅有一个变量发生变化。3变量卡诺图的结构：注意：（1）应遵守排列原则；（2）四个角上的小方格也相邻，也应遵守排列原则；（3）为了满足（2），BC的取值顺序并非由小到大，见图中的红色数字。4变量卡诺图的结构：注意：（1）应遵守排列原则；（2）上下两行上的小方格对应相邻，如m1和m9相邻；（3）左右两列上的小方格对应相邻，如m4和m6相邻；（4）为了满足（2）和（3），AB、CD的取值顺序并非由小到大。5变量及以上的卡诺图为多层立体结构，较复杂，
10、操作不便。用卡诺图表达逻辑函数例：用卡诺图表达（1）计算出与F 对应的各最小项的值：m0=0、m1=0、m2=0、m3=1、m4=0、m5=1、m6=1、m7=1（2）将各最小项的值填入3变量卡诺图中：3变量卡诺图（3）由卡诺图得到F的最小项表达式：1.4.4逻辑函数的相等如果两个逻辑函数F、G具有相同的逻辑变量，且对任何一组变量取值，F和G的值都相等，则F=G。例：下面的两个函数相等：A B C FG00011001000100001100100001010011000111001.5逻辑代数的重要定理 摩根定理例：运用摩根定理可得 香农定理 如果将一个函数表达式中的原变量换成反变量，反变量
11、换成原变量；将“”运算换成“”运算，“”运算换成“”运算；将常量“1”换成“0”，“0”换成“1”，则得到的新函数是原来函数的反函数。例：运用香农定理，有：对偶定理 如果将一个函数f 中的“”运算换成“”运算，“”运算换成“”运算；将常量“1”换成“0”，“0”换成“1”，但变量保持不变，则得到的新函数称为原来函数的对偶函数，记为f。例：对偶函数为：推论：1.2.若，则。若有 ，则 f 称为自对偶函数。例：是自对偶函数1.6逻辑函数化简若“与-或”表达式满足：（1）表达式中的“与”项个数最少；（2）每个乘积项中变量个数最少。则称为最简“与-或”式。1.6.1代数化简法例：分配律，结合律分配律，
12、结合律01律，消去律律，消去律例：包含律包含律 吸收律吸收律 包含律包含律。例：1.6.2卡诺图化简法1基本原理 上下或左右相邻的两个“1”小方格可以合并为一个与项，并且消去一个变量。例：化简 F 的卡诺图中，为1的小方格上下相邻。上面的小方格代表的最小项中A以反变量出现；下面的小方格代表的最小项中A以原变量出现。因此，两个最小项相“或”可消去A。操作：将相邻小方格圈在一起。此圈称为卡诺圈。一个卡诺圈对应一个与项，此卡诺圈为。因只有1个卡诺圈，故化简结果为：例：化简函数注意：红色小方格也是相邻格注意：红色小方格也是相邻格结果：例：化简函数注意：绿色小方格与其他小方注意：绿色小方格与其他小方格均
13、不相邻格均不相邻结果：若四个相邻最小项排成一个矩形，则可合并为一个与项，若四个相邻最小项排成一个矩形，则可合并为一个与项，并消去并消去2个变量。合并后的结果中只包含最小项的公共因子。个变量。合并后的结果中只包含最小项的公共因子。例：化简函数左下角的四个小方格相邻，在垂直方向上变量B发生了变化，A保持为1；在水平方向上变量D发生了变化，C保持为0。因此，化简结果中消去了变量B、D，保留了公共因式。操作：1.将四个相邻小方格圈在一起，得与项。2.将二个相邻小方格圈在一起，得与项ABD。注：这里重复利用了一个小方格。结果：例：化简函数注意：红色小方格也是相邻格注意：红色小方格也是相邻格结果：注意：应
14、尽可能圈出最大的圈，否则结果将不是最简的。注意：应尽可能圈出最大的圈，否则结果将不是最简的。例：上例若按下面的圈法：结果虽然正确，但未达到最简。结果：若八个相邻最小项排成一个矩形，则可合并为一个与项，若八个相邻最小项排成一个矩形，则可合并为一个与项，并消去并消去3个变量。合并后的结果中只包含最小项的公共因子。个变量。合并后的结果中只包含最小项的公共因子。例：化简函数结果：卡诺图化简逻辑函数的一般步骤：1画卡诺圈。构成卡诺圈的小方格必须满足：对应的函数值全部为1。总数为2n个。拼成尽可能大的矩形。22按2的要求圈出全部可能的卡诺圈，即：直到为1的所有小方格圈完为止。小方格可以重复利用，但每一卡诺圈中至少应含有一个未被其它卡诺圈使用的小方格。33一一写出每个卡诺圈表示的“与”项。该“与”项由这样的变量乘积组成：沿垂直方向保持不变的斜线下方的变量。沿水平方向保持不变的斜线上方的变量。保持为0的采用反变量形式，保持为1的采用原变量形式。44将各卡诺圈表示的“与”项累加起来，得到化简结果。