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1、例例1某某涵涵洞洞是是抛抛物物线线形形，它它的的截截面面如如图图所所示示，现现测测得得水水面面宽宽16m，涵涵洞洞顶顶点点O到到水水面面的的距距离离为为24m，在在图图中中直直角角坐坐标标系系内内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？分析：分析：如图，以如图，以AB的垂直平分线为的垂直平分线为y轴，以过点轴，以过点O的的y轴的垂线为轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系这轴，建立了直角坐标系这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是是 此时只需抛
2、物线上的一个点就此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式能求出抛物线的函数关系式AB解解：如如图图，以以AB的的垂垂直直平平分分线线为为y轴轴，以以过过点点O的的y轴的垂线为轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系。轴，建立了直角坐标系。由题意，得点由题意，得点B的坐标为（的坐标为（0.8，-2.4），），又因为点又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入在抛物线上，将它的坐标代入 ,得得所以所以因此，函数关系式是因此，函数关系式是BA问题问题2一一个个涵涵洞洞成成抛抛物物线线形形，它它的的截截面面如如图图,现现测测得得，当当水水面面宽宽AB1.6 m时时，涵涵洞洞顶顶点点与与水水面面的的距距离离
3、为为2.4 m这这时时，离离开开水水面面1.5 m处处，涵涵洞宽洞宽ED是多少？是否会超过是多少？是否会超过1 m？解一解一解二解二解三解三探究探究3 3 图中是抛物线形拱桥，当水面在图中是抛物线形拱桥，当水面在 L L 时，拱时，拱顶离水面顶离水面2m2m，水面宽，水面宽4m4m，水面下降，水面下降1m1m时，水面宽度时，水面宽度增加了多少？增加了多少？继续继续解一解一如图所示，如图所示，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 轴，轴，建立平面直角坐标系。建立平面直角坐标系。可设这条抛物线所表示可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为的二次函数的解析
4、式为:当拱桥离水面当拱桥离水面2m时时,水面宽水面宽4m即抛物线过点即抛物线过点(2,-2)这条抛物线所表示的二这条抛物线所表示的二次函数为次函数为:当水面下降当水面下降1m时时,水面的水面的纵坐标为纵坐标为y=-3,这时有这时有:当水面下降当水面下降1m时时,水面宽水面宽度增加了度增加了返回返回解二解二如图所示如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线轴，以抛物线的对称轴为的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系轴，建立平面直角坐标系.当拱桥离水面当拱桥离水面2m时时,水面宽水面宽4m即即:抛物线过点抛物线过点(2,0)这条抛物线所表示的二这条抛物线所
5、表示的二次函数为次函数为:当水面下降当水面下降1m时时,水面的水面的纵坐标为纵坐标为y=-1,这时有这时有:当水面下降当水面下降1m时时,水面宽水面宽度增加了度增加了可设这条抛物线所表示可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为的二次函数的解析式为:此时此时,抛物线的顶点为抛物线的顶点为(0,2)返回返回解三解三 如图所示如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中轴，以其中的一个交点的一个交点(如左边的点如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系为原点，建立平面直角坐标系.可设这条抛物线所表示可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为的二次函数的解析式为:抛
6、物线过点抛物线过点(0,0)这条抛物线所表示的二这条抛物线所表示的二次函数为次函数为:当水面下降当水面下降1m时时,水面的水面的纵坐标为纵坐标为y=-1,这时有这时有:当水面下降当水面下降1m时时,水面宽水面宽度增加了度增加了此时此时,抛物线的顶点为抛物线的顶点为(2,2)这时水面的宽度为这时水面的宽度为:返回返回x x x0 00y y y h h h A BA BA B练习练习如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是是8m8m，宽是，宽是2m2m，抛物线可以用，抛物线可以用 表示表示.（1 1）一辆货运卡车高）一辆货运卡车高4m4m
7、，宽，宽2m2m，它能通过该隧道，它能通过该隧道吗？（吗？（2 2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？是否可以通过？（1）卡车可以通过）卡车可以通过.提示：当提示：当x=1时，时，y=3.75,3.7524.（2）卡车可以通过）卡车可以通过.提示：当提示：当x=2时，时，y=3,324.13131313O 例例:某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部宽大门底部宽AB=4m,顶部顶部C离地面的高度为离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽车欲通过大门现有载满货物的汽车欲通过大门,货物顶货物顶部距地面
8、部距地面2.7m,装货宽度为装货宽度为2.4m.这辆汽车能否这辆汽车能否顺利通过大门顺利通过大门?若能若能,请你通过计算加以说明请你通过计算加以说明;若若不能不能,请简要说明理由请简要说明理由.我们知道，二次函数我们知道，二次函数的图像是抛物线，建的图像是抛物线，建立适当的坐标系，就立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线可以求出这条抛物线表示的二次函数。为表示的二次函数。为解题简便，解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为线的对称轴为y轴，如图建立平面直轴，如图建立平面直角坐标系角坐标系可设这一条抛物线表示的二次函数为可设这一条抛物线表示的二次函数为y=ax
9、.有抛物有抛物线经过点（点（2，-2），），可得：可得：-2=a2 2,这条抛物条抛物线表示的二次函数表示的二次函数为当水面下降当水面下降1 1米米时,水面的水面的纵坐坐标为y=-3.y=-3.请你根据上面的函数表达式求出你根据上面的函数表达式求出这时的的水面水面宽度。度。水面下降水面下降1米米,水面宽度增加水面宽度增加_米米.XY0BCA探究四探究四:公园要建造圆形的喷水池，在水池中公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子央垂直于水面处安装一个柱子OA，O点恰在水点恰在水面中心，面中心，OA=1.25米，由柱子顶端米，由柱子顶端A处的喷头处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形
10、状相同的抛物向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下。为使水流较为漂亮，要求设计成线路线落下。为使水流较为漂亮，要求设计成水流在离水流在离OA距离为距离为1米处达到距水面最大高度米处达到距水面最大高度2.25米。如果不计其他因素，那么水池的半径米。如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流落不到池外至少要多少米，才能使喷出的水流落不到池外？本题是涉及公园美化的本题是涉及公园美化的应用性问题。应用性问题。XY0BCA解：如图建立坐标系，设解：如图建立坐标系，设抛物线顶点为抛物线顶点为B，水流，水流 落落水与水与x轴交于轴交于C点。由题意点。由题意可知可知A（，（，1
11、.25）、）、B（1，.25）、）、C（x，0）关键点：关键点：1）根据题目条件该如何建立直）根据题目条件该如何建立直角坐标系角坐标系 XY0BCA 如图建立坐标系，设如图建立坐标系，设抛物线顶点为抛物线顶点为A.由题由题意可知意可知 O（，（，-1.25）、）、B（1，1）、）、C（x，-1.25）XY0BCA 如图建立坐标系，如图建立坐标系，设抛物线顶点为设抛物线顶点为B.由题由题意可知意可知A(-1,-1),O（-1，-1.25）、）、B（O，0）、）、C（x，-1.25）XY0BCA解：如图建立坐解：如图建立坐标系，设抛物线标系，设抛物线顶点为顶点为B，水流落，水流落水与水与x轴交于轴
12、交于C点。点。由题意可知由题意可知A（，（，1.25）、）、B（1，.25）、）、C（x，0）0BCA解：如图建立坐标系，设抛物线顶点解：如图建立坐标系，设抛物线顶点 为为B，水流落水与，水流落水与x轴交于轴交于C点。点。由题意可知由题意可知A（，（，1.25）、）、B（1，.25）、）、C（x，0）XY设抛物线为设抛物线为y=a(x1)2+2.25(a0),点点A坐标代入，得坐标代入，得a=1当当y=0，即，即(x 1)2+2.25=0时，时，x=0.5（舍去），（舍去），x=2.5水池的半径至少要水池的半径至少要2.5米。米。x=0.5（舍去）（舍去）水流沿抛物线落下，容易联想到水流沿抛物
13、线落下，容易联想到二次函数的图像，但是转化为数学问二次函数的图像，但是转化为数学问题的关键是坐标系的建立。题的关键是坐标系的建立。选择了恰当的位置建立坐标系，就选择了恰当的位置建立坐标系，就会给运算带来方便。会给运算带来方便。以以OA所在直线为所在直线为y轴，过轴，过O点垂点垂直于直于OA的直线为的直线为x轴，点轴，点O为原点可为原点可作为最好选择。作为最好选择。XY0BCA思考：公园要建造圆形的喷水池，在水池中央思考：公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子垂直于水面处安装一个柱子OA，O点恰在水面点恰在水面中心，中心，OA=1.25米，由柱子顶端米，由柱子顶端A处的喷头向
14、处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下。为使水流较为漂亮，要求设计成水路线落下。为使水流较为漂亮，要求设计成水流在离流在离OA距离为距离为1米处达到距水面最大高度米处达到距水面最大高度2.25米。如果不计其他因素，那么水池的半径米。如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流落不到池外至少要多少米，才能使喷出的水流落不到池外？课后思考：若水流喷出的抛物课后思考：若水流喷出的抛物线形状与（线形状与（1）相同，水池的）相同，水池的半径为半径为3.5米，要使水流刚好米，要使水流刚好不落到池外，这时水流的最大不落到池外，这时
15、水流的最大高度是多少米？高度是多少米？练习练习某某工工厂厂大大门门是是一一抛抛物物线线型型水水泥泥建建筑筑物物，如如图图所所示示，大大门门地地面面宽宽AB=4m，顶顶部部C离离地地面面高高度度为为4.4m。现现有有一一辆辆满满载载货货物物的的汽汽车车欲欲通通过过大大门门，货货物物顶顶部部距距地地面面2.8m，装装货货宽宽度度为为2.4m。请请判判断这辆汽车能否顺利通过大门断这辆汽车能否顺利通过大门 1.1.有一辆载有长方体体状集装箱的货车有一辆载有长方体体状集装箱的货车要想通过洞拱横截面为抛物线的隧道，如图要想通过洞拱横截面为抛物线的隧道，如图1 1，已知沿底部宽，已知沿底部宽ABAB为为4m
16、4m，高，高OCOC为为3.2m3.2m；集装；集装箱的宽与车的宽相同都是箱的宽与车的宽相同都是2.4m2.4m；集装箱顶部；集装箱顶部离地面离地面2.1m2.1m。该车能通过隧道吗？请说明理。该车能通过隧道吗？请说明理由由.练习练习 活动活动4 练习练习:有一抛物线拱桥，已知水位在有一抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面的宽度是位置时，水面的宽度是 m，水位上升，水位上升4 m就达到警戒线就达到警戒线CD，这时水面宽是，这时水面宽是 米若米若洪水到来时，水位以每小时洪水到来时，水位以每小时0.5 m速度上升，速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶端求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶端M处处xy如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCDABCD，其中其中ABAB和和ADAD分别在两直角边上（分别在两直角边上（1 1）设矩形的一边）设矩形的一边ABABx x m m那么那么ADAD边的程度如何表示？（边的程度如何表示？（2 2）设矩形的）设矩形的面积为面积为y y m m2 2，当，当x x取何值时，取何值时，y y的值最大？最大值是的值最大？最大值是多少？多少？当当x x=20=20时，时，y y最大最大30030040m30mABCD