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1、 主讲主讲宗序平宗序平概概率率论论与与数数理理统统计计第十二章第十二章 随机过程初步随机过程初步12.1随机过程的概念一、随机过程的定义随机过程被认为是概率论的“动力学”（J.Neyman,1960).意思是说它的研究对象是随时间演变的随机现象.随机过程就是研究随机现象变化过程及其规律性的一门新兴学科.首先看几个实例。例例121 考虑抛硬币的试验，用X(n)表示第n次(n1)抛硬币出现的结果里随机过程或贝努里随机序列里随机过程或贝努里随机序列.为相互独立的随机变量，因而可能的结果，取值为0或1，且X(1),X(2),X(n)为随机过程，且称具有这样特性的随机过程为贝努贝努对于n=1，2，X(n
2、)均为随机变量，且X(n)有两种例例122 电话问题电话问题 用用N(t)表示时刻t以前即时间间隔O，t)内电话总台接到的电话呼唤次数，对于固定的t,显然N(t)是一个随机变量，但t是一个变化连续的参数，因此N(t),t0为一随机过程.定定义义12.1.1设是样本空间，T是一个实数集，X(,t)，tT，是对应于t和的实数，即为定义在T和上的二元函数，则称X(,t)，tT，随机过程。或X(t).简记为称T为参数集合,参数tT可以视为时间，X(t)的每一个可能的取值所构成的集合，称为状态空间，用S表示.由上述实例归纳出如下定义：(1)对于给定的,X(,t)是一个关于t的函数,称为样本函数,它可以理
3、解为随机过程的一个实现.(2)当t=t0时,X(t0)是一个随机变量,称它为X(t)在t0时刻的状态。两个特点：式中a和b是常数,是在(0,2)上具有均匀分布的随机变量,称为随机相位正弦波.求(1)分别取0,/2,时的三个样本函数；(2)t分别为1,2时的两个状态.例例12.1.3设例例12.1.5设设有有一一服服务务台台，0,t)内到达服务台的顾客数N(t)为随机变量，因而N(t),t0,为一随机过程.当服务台空闲时到达的顾客立刻接受服务，如果顾客到达时发现服务员正在为另一位顾客服务，则他需要排队等候，用X(t)表示t时刻系统内的顾客人数，则X(t),t0,为一随机过程，该随机过程的状态空间
4、S=0，1，2，.例例12.1.4 某大型超市统计在t时刻的库存量X(t)，它大库存量;参数集T=0,.是随时间变化而变化的随机变量,因此X(t),t0,为随机过程，状态空间为S=0，R,其中R表示为最例例12.1.6 随机过程X(t)=X0+Vt，atb,其中X0与V为相互独立的服从标准正态分布的随机变量，则X(t)，ta,b为一随机过程，显然对于固定的t，X(t)N(0,t2).参数集离散非离散连续连续参数链(例12.2,12.4,12.6)随机过程(例12.3,12.5)离散离散参数链或离散参 数 随 机 序 列(例12.1,)随机序列S二、随机过程的统计描述定义122给定随机过程X(t
5、),对任意正整数n及T中任意n个元素，t1,t2,tn，(X(t1),X(tn)的联合分布函数记为称它为随机过程X(t)的n维分布函数维分布函数.1、随机过程的数字特征、随机过程的数字特征(1)均值函数与方差函数给定随机过程X(t),tT,固定t T,X(t)为一随机变量,它的均值、方差一般与t有关，记为均值函数均值函数方差函数方差函数均方差函数均方差函数或标准差函数标准差函数.（2）自相关函数对任意的t1,t2T,X(t1),X(t2)为两个随机变量,令自相关函数自相关函数C(t1,t2)自协方差函数自协方差函数均方值函数均方值函数显然C(t1,t1)=DX(t1).（3）互相关函数同时考虑
6、两个随机过程X(t)与Y(t)时,对任意的t1,t2T,若X(t1)与Y(t2)的二阶混合矩存在，互相关函数互相关函数互协方差函数互协方差函数则称过程X(t)与Y(t)的互不相关互不相关.若2、二阶矩过程、二阶矩过程定义定义123 如果随机过程X(t),t T对每个t T,X(t)的均值和方差均存在，则称 X(t),t T为二阶矩过程二阶矩过程.特别地，如果X(t),t T的有限维分布为正态分布，则称之为正态过程正态过程.正态过程是二阶矩过程的特例.例例127X(t)=X0+Vt,t a,b,其中X0，V是相互独立的服从N(0，1)分布的随机变量，求X(t),t a,b随机过程的均值函数与协方
7、差函数.解：例例128X(t)=Acost+Bsint,0t1,其中A、B为相互独立的服从N(0,2)的随机变量，2为实常数，求该随机过程的均值函数和协方差函数.解解由例128可以看出，其协方差函数C(t1,t2)仅与t1-t2有关，而与t1、t2无关，称此类过程为宽平稳过程，它是二阶矩过程中研究得最多的一种随机过程，下面我们给出一般的定义.定义定义124若 X(t),t T为二阶矩过程，如果它的均值函数为常数，协方差函数C(t1,t2)仅与t1-t2有关，即C(t1，t2)=B(t1-t2)，称X(t),t T为宽平宽平稳过程或广义平稳过程稳过程或广义平稳过程.与宽平稳过程相对应的是严平稳过
8、程，对于随机过程 X(t),t T，对于任意的t1,t2,tn T,当t1+,，t2+,tn+T时，有容易看出，平稳过程的统计特性是不随时间推移而变化的.一般的严平稳过程未必有二阶矩，因而严平稳过程不一定是宽平稳过程；若严平稳具有二阶矩，则它必是宽平稳过程;反之，宽平稳过程也未必是严平稳过程，但对正态过程而言，宽平稳与严平稳是一致的.称X(t),tT为严平稳过程严平稳过程.除了平稳过程外，随机过程理论中还有一种比较重要的二阶矩过程：正交增量过程，对于二阶矩过程X(t),t T，对任意的t1t2t3t4,有则称X(t),t T为正交增量过程正交增量过程.另一方面，对于二阶矩过程X(t),t T，
9、对任意则称X(t),t T为独立增量过程独立增量过程.的t1t2t3t4,有独立，与如果随机过程X(t)为独立增量过程，的分布仅与时间间隔有关，与t1无关则称这类随机过程为齐次的独立增量过程齐次的独立增量过程.如果随机过程X(t),t0为齐次的独立增量过程,对任意的t1t2,有则称二阶矩过程X(t)为维纳过程维纳过程.X(0)=03、马尔可夫过程、马尔可夫过程(Markov)设有一随机过程X(t),t T，对任意正整数n(n3)及任意的t1t2tntn+1T,有则称X(t),t T具有马尔可夫性，并称此过程为马尔可夫过程简称为马氏过程.总结二、随机过程的统计描述一、随机过程的定义均值函数与方差函数1、随、随机过程机过程的数字的数字特征特征自相关函数互相关函数2、二阶矩过程、二阶矩过程宽平稳过程宽平稳过程严平稳过程严平稳过程正交增量过程正交增量过程独立增量过程独立增量过程齐次的独立齐次的独立增量过程增量过程维纳过程维纳过程3、马尔、马尔可夫过程可夫过程(Markov)