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1、歐亞書局2.2 方程式的圖形方程式的圖形歐亞書局2.2 方程式的圖形方程式的圖形學習目標手繪方程式的圖形。求方程式圖形的 x 截距和 y 截距。寫出圓方程式的標準式。求兩個圖形的交點。用數學模型做為實際生活問題的模型並解之。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-10歐亞書局方程式的圖形方程式的圖形在 2.1 節用座標系統圖形顯示兩個數量的關係，這些圖形為座標平面上點的集合(參考 2.1 節範例 2)。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-10歐亞書局方程式的圖形方程式的圖形兩個數量的關係常以方程式來表示。例如，華氏與攝氏溫度的關係可表示成方程式 。在這一節，可學到描
2、繪此類方程式圖形的步驟。方程式的圖形圖形(graph)就是這個方程式所有解的點集合。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-10歐亞書局範例 1描繪方程式的圖形描繪 y 7 3x 的圖形。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-10歐亞書局範例 1描繪方程式的圖形（解）描繪方程式圖形的最簡單方法就是繪點法，也就是找出方程式幾個解點，連同其值製成一個表格，如下所示。例如，當 x 0 時y 7 3(0)7所以(0,7)為圖形上的一個解點。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-10歐亞書局範例 1描繪方程式的圖形（解）從表可知，(0,7)、(1,4)、(2,1)
3、、(3,2)和(4,5)是方程式的解點，將這些點描繪出之後，可看出它們是在一條直線上，如圖 2.13所示。所以方程式的圖形就是通過這五個點的直線。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-10歐亞書局學習提示學習提示雖然將圖 2.13 的圖形視為 y 7 3x 的圖形，實際上這只是圖形的一部分。完整的圖形應該是延伸到這一頁外面的直線。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-10歐亞書局檢查站檢查站 1 1描繪 y 2x 1 的圖形。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-10歐亞書局範例 2描繪方程式的圖形描繪 y x2 2 的圖形。第二章函數、圖形與極限第二
4、章函數、圖形與極限P.2-11歐亞書局範例 2描繪方程式的圖形（解）首先製作表格，如下所示。接著，畫出表中的點，如圖 2.14(a)所示。最後，以平滑曲線將各點連接起來，如圖 2.14(b)所示。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-11歐亞書局範例 2描繪方程式的圖形（解）第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-11 圖圖2.14歐亞書局學習提示學習提示範例 2 所示的圖形為拋物線拋物線(parabola)。任何一個二次方程式如y=ax2+bx+c,a 0其圖形有相似的形狀。如果a 0，則拋物線開口向上，如圖 2.14(b)，如果 a 0，則拋物線的開口向下。第二章
5、函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-11歐亞書局檢查站檢查站 2 2描繪 y x2 4 的圖形。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-11歐亞書局方程式的圖形方程式的圖形範例 1 和範例 2 所示的繪點技巧雖然是很容易使用的，但是有一些缺點：如果解點太少，可能會使方程式的圖形不是正確的圖形。例如，該如何連接在圖 2.15 中的四個點？在沒有更多資訊之下，圖 2.16 中的三個圖形都是合理的。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-11歐亞書局方程式的圖形方程式的圖形第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-11 圖圖2.15歐亞書局方程式的圖形方程
6、式的圖形第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-11 圖圖2.16歐亞書局圖形的截距圖形的截距含有零的解點，不管是 x 座標或 y 座標，都很容易求得。因為這些點是圖形與 x 軸或 y 軸的交點，所以稱為截距截距(intercepts)。有些書是用點(a,0)的 x 座標來表示 x 截距而不是點本身。除非有區分的必要，否則將用截距這個名稱來表示點或座標。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-112-12歐亞書局圖形的截距圖形的截距一個圖形可能沒有截距或有數個截距，如圖 2.17 所示。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-12 圖圖2.17歐亞書局代數技
7、巧代數技巧求截距時就是要求解方程式。有關求解方程式之技巧的複習，可參考本章的代數複習。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-11歐亞書局範例 3求 x 和 y 截距求下列方程式圖形的 x 和 y 截距。a.y x3 4xb.x y2 3第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-12歐亞書局範例 3求 x 和 y 截距（解）a.令 y 0，則 0 x(x2 4)x(x 2)(x 2)。所以 x 0 或x 2。令 x 0，則 y (0)34(0)0。x 截距：(0,0),(2,0),(2,0)y 截距：(0,0)參考圖參考圖 2.18b.令 y 0，則 x (0)23 3。
8、令 x 0，則 y2 3 0 的解y 。x 截距：(3,0)y 截距：(0,),(0,)參考圖參考圖 2.19第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-12歐亞書局範例 3求 x 和 y 截距（解）第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-12 圖圖2.18歐亞書局範例 3求 x 和 y 截距（解）第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-12 圖圖2.19歐亞書局檢查站檢查站 3 3求下列方程式圖形的 x 和 y 截距。a.y x2 2x 3b.y2 4 x第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-12歐亞書局圓圓讀者將由本書學會從方程式辨識幾種類型的
9、圖形。例如，y ax2 bx c，a 0 的二次方程式之圖形是拋物線(參考範例2)，另一容易辨識的是圓圓(circle)的方程式。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-12歐亞書局圓圓考慮如圖 2.20 的圓。一點(x,y)在圓上的條件為若且唯若它與圓心(h,k)的距離是 r。由距離公式可得，將方程式的兩邊平方，即可得到圓方程式的標圓方程式的標準式準式(standard form of the equation of a circle)。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-13歐亞書局圓圓第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-13 圖圖2.20歐亞書
10、局圓圓由此，可看出以原點(h,k)(0,0)為圓心的圓方程式的標準式可化簡為 x2+y2=r2 以原點為圓心的圓以原點為圓心的圓第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-13歐亞書局範例 4求圓的方程式第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-13 圖圖2.21已知點(3,4)在圓心為(1,2)的圓上，如圖 2.21 所示。求此圓方程式的標準式。歐亞書局範例 4求圓的方程式（解）圓的半徑等於(1,2)和(3,4)之間的距離。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-13歐亞書局範例 4求圓的方程式（解）用(h,k)=(1,2)，則圓方程式的標準式為第二章函數、圖形
11、與極限第二章函數、圖形與極限P.2-13歐亞書局檢查站檢查站 4 4已知點(1,5)在圓心為(2,1)的圓上，求此圓方程式的標準式。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-13歐亞書局圓圓若要把一般式改為標準式，可用完全配方完全配方(completing the square)來處理，如範例 5 所示。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-13歐亞書局範例 5完全配方第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-14描繪一般式為方程式 4x2 4y2 20 x 16y 37 0 的圓。歐亞書局範例 5完全配方（解）首先將方程式除以 4，使得 x2 和 y2 的係
12、數皆為 1。從這個標準式可看出圓心為(,2)以及半徑為 1，如圖 2.22 所示。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-14歐亞書局範例 5完全配方（解）第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-14 圖圖2.22歐亞書局檢查站檢查站 5 5寫出圓x2 y2 4x 2y 1 0之方程式的標準式，並繪出其圖形。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-14歐亞書局圓圓一般式的方程式 Ax2 Ay2 Dx Ey F 0 並非都是圓。事實上，如果完全配方後得到不可能的結果，這個方程式就沒有任何的解點。例如 (x h)2 (y k)2 負數無解無解第二章函數、圖形與極
13、限第二章函數、圖形與極限P.2-14歐亞書局交點交點兩個圖形的交點交點(point of intersection)就是這兩個圖形共同的解點。例如，圖 2.23 所示，方程式 y x2 3 和 y x 1 的圖形有兩個交點：(2,1)和(1,2)。求交點時，先令兩方程式的 y 值相等，然後解方程式 x2 3 x 1 以求 x 值。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-14 圖圖2.23歐亞書局交點交點交點常見的商業應用就是收支平衡分析收支平衡分析(break-even analysis)。一種新產品的行銷一般都需要一筆期初投資。當售出的量足夠使總收入抵銷總成本時，產品的銷售就達到
14、收支平衡點收支平衡點(break-even point)。以 C 來表示生產 x 單位產品的總成總成本本(total cost)，以 R 表示銷售 x 單位產品的總收總收入入(total revenue)。令 C 等於 R 再求解 x 值就可得收支平衡點。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-14歐亞書局範例 6求收支平衡點某家公司生產一種產品的單位成本為$0.65，而單位售價為$1.20，生產此產品的期初投資為$10,000。如果賣出 18,000 單位的產品，這家公司會收支平衡嗎？要售出多少單位才能收支平衡？第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-14歐亞書局範例
15、 6求收支平衡點（解）生產 x 單位產品的總成本為 C 0.65x 10,000成本方程式成本方程式售出 x 單位的總收入為 R 1.2x收入方程式收入方程式令成本等於收入，解出 x 值以求得收支平衡點。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-15歐亞書局範例 6求收支平衡點（解）所以如果只售出 18,000 單位，這家公司不會收支平衡，須售出18,182 單位才可收支平衡，由圖 2.24 可看出結果。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-15歐亞書局範例 6求收支平衡點（解）第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-15 圖圖2.24歐亞書局檢查站檢查站
16、6 6第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-15在範例 6 中，如果產品的單位售價是$1.45，則公司須售出多少單位才能收支平衡？歐亞書局交點交點經濟學家用來分析市場的兩種應用是供給與需求方程式。供給方程式供給方程式(supply equation)表示一種產品的價格 p 和它的供給量 x 之間的關係，供給方程式的圖形稱為供給曲線供給曲線(supply curve)(參考圖2.25)。典型的供給曲線是上升的，因為生產者會想在單價較高的時候賣出較多的產品。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-15歐亞書局交點交點第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-15
17、 圖圖2.25歐亞書局交點交點需求方程式需求方程式(demand equation)表示一種產品的單價 p 和它的需求量 x 之間的關係，需求方程式的圖形稱為需求曲線需求曲線(demand curve)(參考圖 2.26)。典型的需求曲線傾向於單價增加時需求量就減少。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-15歐亞書局交點交點第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-15 圖圖2.26歐亞書局交點交點在理想的情況下，如果沒有其他因素影響市場的話，產量應該會固定在供給曲線和需求曲線的交點，這個點稱為平衡點平衡點(equilibrium point)，平衡點的 x 座標稱為平
18、衡數量平衡數量(equilibrium quantity)，而 p 座標稱為平衡價格平衡價格(equilibrium price)(參考圖 2.27)。只要令需求方程式等於供給方程式再求解 x，即可得平衡點。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-15歐亞書局交點交點第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-15 圖圖2.27歐亞書局範例 7求平衡點DVD 播放機的需求和供給方程式分別為 p=195 5.8x 需求方程式需求方程式 p=150+3.2x 供給方程式供給方程式其中 p 表示單價(美元)，而 x 表示數量(百萬)，求市場的平衡點。第二章函數、圖形與極限第二章函
19、數、圖形與極限P.2-16歐亞書局範例 7求平衡點（解）令需求方程式等於供給方程式。195 5.8x=150+3.2x 令方程式相等令方程式相等 45 5.8x=3.2x 等號兩邊各減等號兩邊各減 150 45=9x 等號兩邊各加等號兩邊各加 5.8x 5=x 等號兩邊各除以等號兩邊各除以 9所以平衡點發生在需求與供給皆為 5 百萬單位時(參考圖 2.28)。此時的價格可由代入 x 5 到任一方程式而求得。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-16歐亞書局範例 7求平衡點（解）例如，代入需求方程式可得p 195 5.8(5)195 29$166代入 x5 到供給方程式也會得到同樣
20、的價格。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-16歐亞書局檢查站檢查站 7 7計算機的需求與供給方程式分別為 p 136 3.5x 和 p 112 2.5x，其中 p 表示單價(美元)，而 x 表示數量(百萬)，求市場的平衡點。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-16歐亞書局數學模型數學模型本書將可看到很多使用方程式做為實際生活問題的數學模型數學模型(mathematical models)的例子。在發展用來表示實際資料的數學模型時，應該朝向兩個(通常是互相牴觸的)目標準確和簡易。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-16歐亞書局範例 8數學模型的使
21、用下表顯示從 2001 到 2005 年 Dillards 和 Kohls 公司的年營業額(百萬美元)。在 2006 年夏天，Value Line 預測 2006 年兩家公司年營業額分別為 7625 和 15,400(百萬美元)。這些預測是如何得到的？(資料來源：資料來源：Dillards 和和 Kohls 公司公司)第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-16歐亞書局範例 8數學模型的使用（解）第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-17這些預測是用過去的營收來推測未來的營業額所得到的。過去的營收用一個方程式來做模型，而這個方程式是由一種統計學的最小平方迴歸分析方法所
22、得到的。S=56.57t2 496.6t+8618,1 t 5 Dillards S=28.36t2 1270.6t 6275,1 t 5 Kohls 歐亞書局範例 8數學模型的使用（解）用 t 6 表示 2006 年，則可推測 2006 年營收為 S=56.57(6)2 496.6(6)+8618 7675 Dillards S=28.36(6)2 1270.6(6)+6275 14,920 Kohls 這兩個預測值非常接近 Value Line 的預測，兩個模型的圖形顯示在圖 2.29。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-17歐亞書局範例 8數學模型的使用（解）第二章函數、
23、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-17 圖圖2.29歐亞書局代數技巧對範例 8 中式子的求值，如有需要可參考本章代數複習的運算順序。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-16歐亞書局檢查站檢查站 8 8下表顯示從 1999 到 2005 年 Dollar General 公司的年營業額，在 2005年夏天，Value Line 預測 2006 年 Dollar General 年營業額為 9300(百萬美元)，此預測與下列模型的預測如何比較？(資料來資料來源：源：Dollar General公司公司)S 16.246t2 390.53t 951.2,9 t 15第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-17歐亞書局學習提示學習提示第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-17若要評估模型的準確度，可將實際值與模型的預測值做比較。例如，下表比較 Kohls 的實際營業額與範例 8 之模型所求得的值。歐亞書局數學模型數學模型第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-17微積分的內容大都以數學模型之圖形的變化為中心，圖 2.30 顯示六個基本代數方程式的圖形，熟悉這些圖形將有助於建立數學模型從而加以應用。歐亞書局數學模型數學模型第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-18 圖圖2.30