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1、教师：薛齐文教师：薛齐文 土木与安全工程学院力学教研室土木与安全工程学院力学教研室1引引 言言 前面研究了动点对于一个参考坐标系的运动，而在不同的参考坐标系中对同一个点的运动的描述得到的结果是不一样的。本章重点是点的合成运动研究，探讨一个点相对于两个完一个点相对于两个完全不同的坐标系的运动及其之间的关系，包含速度和加速度之全不同的坐标系的运动及其之间的关系，包含速度和加速度之间的关系。间的关系。2 91 点的合成运动的概念点的合成运动的概念 92 三种运动的速度和加速度三种运动的速度和加速度 93 点的速度合成定理点的速度合成定理 94 牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加
2、速度合成定理 95 牵连运动为转动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理 第九章第九章 点的合成运动点的合成运动3一一 实例实例 桥式吊车桥式吊车：卷扬小车：卷扬小车A边垂直起吊边垂直起吊重物重物边行走。边行走。动点动点：重物：重物 两参考系两参考系：地面：小车：地面：小车三种运动三种运动：A:地面观察者地面观察者 地面为参考地面为参考卷扬小车由左向右的行走卷扬小车由左向右的行走简单直线运动简单直线运动牵连运动牵连运动B:随小车一起运动的观察者随小车一起运动的观察者小车为参考小车为参考重物在在垂直方向作直线运动重物在在垂直方向作直线运动简单直线运动简单直线运动相对运动相对运动C
3、:地面观察者地面观察者 地面为参考地面为参考重物作曲线运动重物作曲线运动复杂曲线运动复杂曲线运动绝对运动绝对运动9-12点的合成运动的概念点的合成运动的概念4汽车沿直线行驶时，汽车沿直线行驶时，车轮上点的运动车轮上点的运动。动点：动点：车轮上的点车轮上的点两参考系：两参考系：地面：车：地面：车三种运动三种运动：A:地面观察者地面观察者 地面为参考。地面为参考。小车由左向右的行走小车由左向右的行走简单直线运动简单直线运动牵连运动牵连运动B:随小车一起运动的观察者随小车一起运动的观察者 小车为参考。小车为参考。车轮上的点在竖制平面内作圆周运动车轮上的点在竖制平面内作圆周运动简单曲线运动简单曲线运动
4、相对运动相对运动C:地面观察者地面观察者 地面为参考。地面为参考。车轮上的点作曲线运动车轮上的点作曲线运动复杂曲线运动（旋轮线）复杂曲线运动（旋轮线）绝对运动绝对运动5 2 两个坐标系两个坐标系 1）静系）静系：固连于不动地面上的坐标系固连于不动地面上的坐标系 2）动系：固连于相对于地面运动的物体上的坐标系）动系：固连于相对于地面运动的物体上的坐标系3 三种运动三种运动1）绝对运动）绝对运动：动点对静系的运动动点对静系的运动2）相对运动：动点对动系的运动）相对运动：动点对动系的运动3）牵连牵连运动：动系对静系的运动运动：动系对静系的运动1 一个动点：一个动点：研究的点（运动的点）研究的点（运动
5、的点）二二 基本概念基本概念点的运动点的运动刚体的运动刚体的运动直线直线曲线曲线转动转动平动平动61 绝对速度绝对速度：绝对运动中动点的速度绝对运动中动点的速度2 相对速度：相对运动中动点的速度相对速度：相对运动中动点的速度3 牵连牵连速度：牵连运动中速度：牵连运动中牵连点牵连点的速度的速度1）牵连点）牵连点：任意瞬时，动系上与动点重合的那个点任意瞬时，动系上与动点重合的那个点 瞬时点瞬时点4 三种速度三种速度 2）动系平动：）动系平动：任意点任意点都可作为牵连点都可作为牵连点 动系转动：动系转动：必须指必须指明牵连点明牵连点动点运动时在动系上留下的动点运动时在动系上留下的脚印脚印7牵连运动中
6、,牵连点牵连点的加速度称为牵连加速度牵连加速度相对运动中,动点的加速称为 相对加速度相对加速度绝对运动中,动点的加速度称为绝对加速度绝对加速度5 三种加速度三种加速度 8r1Mvever2牵连点：牵连点：某一瞬时动系上和动某一瞬时动系上和动点相重合的那一点；点相重合的那一点；某一瞬时牵连点的速度和加速度某一瞬时牵连点的速度和加速度就称为牵连速度和牵连加速度。就称为牵连速度和牵连加速度。用用 v e和和 a e来表示；来表示；aeae图示：不同时刻，牵连速度不同图示：不同时刻，牵连速度不同91)动点：滑块动点：滑块A2)动系：固连于杆动系：固连于杆O1B 3)三三种种运动：运动：绝对运动绝对运动
7、 圆周圆周（O）相对运动相对运动 直线直线 牵连运动牵连运动 转动转动（O1）2 研究滑块研究滑块A 曲柄摇杆滑块机构曲柄摇杆滑块机构 1)动点：杆端动点：杆端A 2)动系：固连于凸轮动系：固连于凸轮 3)三种运动：三种运动：绝对运动绝对运动 直线直线 相对运动相对运动 圆周（圆周（O）牵连运动牵连运动 平动平动1 研究杆的研究杆的A端端 凸轮导杆机构凸轮导杆机构 三三 三种速度分析三种速度分析 10当当t t+t M MM M MMM 绝对位移绝对位移M1M 相对位移相对位移一一 证明证明牵连点的位移牵连点的位移993 3 点的速度合成定理点的速度合成定理11说明：va动点的绝对速度；vr动
8、点的相对速度；ve动点的牵连速度，是动系上一点(牵连点)的速度I)动系作平动时，动系上各点速度都相等。II)动系作转动时，ve必须是该瞬时动系上与 动点相重合点的速度。即：在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度即：在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的的矢量和矢量和，这就是点的，这就是点的速度合成定理速度合成定理。注意：注意：在此矢量式矢量式中有四个已知因素（包括速度的大小和方向)时，问题才可求解。121个矢量式，个矢量式，2个投影式，个投影式，6个因素个因素；需；需4个因素已知（速度的大小和个因素已知（速度的大小和方向方向)，问题才可求解。，问题才可求解。应用：应用：求
9、某一种速度求某一种速度1）方法）方法或或 法则法则准确判断速度的方向准确判断速度的方向投影法投影法2）步骤）步骤选择动点、动系选择动点、动系分析三种运动（三种速度）分析三种运动（三种速度）应用合成定理应用合成定理作作 图：图：求解求解是矢量和，在中间是矢量和，在中间13例例1如图半径为R的半圆形凸轮以匀速V0 在水平轨道运动，带动顶杆AB沿铅垂滑槽滑动，求在图示位置时，杆AB的速度。解解:(1)动点动点：杆端：杆端A;(2)动系动系：凸轮；：凸轮；(3)三种运动三种运动：绝对轨迹是直线，绝对轨迹是直线，相对轨迹是圆周，相对轨迹是圆周，动系牵连平动；动系牵连平动；速度合成定理：速度合成定理：大小
10、：大小：方向：方向：？注意：注意：一定要画速度矢量图一定要画速度矢量图作出速度平行四边形作出速度平行四边形 如图示。如图示。14解：解：(1)动点：动点：A点点(OA杆杆)；(2)动系：摆杆动系：摆杆O1B；(3)三三种种运动：绝对轨迹为圆周运动：绝对轨迹为圆周;相对轨迹是直线相对轨迹是直线；牵连运动为牵连运动为O1B的转动的转动;例例2 曲柄摆杆机构；已知：OA=r,OO1=l，图示瞬时OAOO1 求：摆杆O1B角速度1大小：大小：方向：方向：？速度合成定理：速度合成定理：作出速度平行四边形作出速度平行四边形 如图示。如图示。15由上述例题可看出，求解合成运动的速度问题的一般步骤一般步骤为：
11、选取动点，动系和静系。三种运动的分析。三种速度的分析。根据速度合成定理作出速度平行四边形。根据速度平行四边形，求出未知量。恰当地选择动点、动系和静系选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。16下面举例说明以上各概念：下面举例说明以上各概念：二动点的选择原则：二动点的选择原则：一般选择主动件与从动件的连接点，它是对两个坐标系都有运动的点。三动系的选择原则三动系的选择原则：动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的，或者能直接看出的。动点：动点：动系：动系：静系：静系：AB杆上A点固结于凸轮上固结在地面上17若动点若动点A在在AB杆上时杆上时 若动点若动点A在偏心轮上时在偏心轮上时动点：
12、A(在AB杆上)A（在偏心轮上）动系：偏心轮AB杆静系：地面地面绝对运动：直线圆周（红色虚线）相对运动：圆周（曲线）曲线（未知）牵连运动：定轴转动平动 注注 要指明动点应在哪个物体上，但不能选在动系上，要指明动点应在哪个物体上，但不能选在动系上，与动系有相对运动。与动系有相对运动。18四四 动点、动系选择的几种情况动点、动系选择的几种情况MOAC动点：动点：AB上的上的A动系：轮动系：轮O动点：动点：C上的上的A动系：摇杆动系：摇杆OA19练习题练习题1：分析下列图形的速度矢量图 A动点：两杆连接的动点：两杆连接的小环小环 动系：定轴转动的杆动系：定轴转动的杆动点：动点：滑块滑块A(固结杆上固
13、结杆上)动系：定轴转动的竖直杆动系：定轴转动的竖直杆20解解:(1)动点：动点：A点（杆上）点（杆上）(2)动系：圆盘，动系：圆盘，大小：大小：方向：方向：速度平行四边形速度平行四边形 如图示如图示？练习题练习题2 圆盘凸轮机构，已知：圆盘凸轮机构，已知：OCe,，图图示瞬时示瞬时,OC CA 且且 O,A,B三点共线，求：从动杆三点共线，求：从动杆AB的速度。的速度。(3)三种运动：绝对直线运动；三种运动：绝对直线运动；相对运动为圆周运动；相对运动为圆周运动；牵连转动；牵连转动；解析法：解析法：速度合成定理：速度合成定理：几何法：几何法：21？练习题练习题3 OA杆绕杆绕O转动，转动，=t/
14、6（rad），），小环小环M套在套在OA杆杆和半径为和半径为 r=6cm 的固定大圆环上，求当的固定大圆环上，求当t=2秒时，小环秒时，小环M 的的va、ve、vr。解解:(1)动点动点M，(2)动系动系OA，(3)三种运动：绝对运动为圆周，三种运动：绝对运动为圆周，相对运动为直线，相对运动为直线，牵连为转动，牵连为转动，vaveMOA由由图知：图知：vr大小：大小：方向：方向：22例例4曲柄导杆机构如图所示.已知OA=r,曲杆BCD的速度vD的大小为v.求该瞬时杆 OA转动的角速度.解解:(1)动点：动点：滑块A；OABCDvD xyva=ve+vr（2）动系）动系:BCD（3）三种运动：绝
15、对运动以O为园心r为半径的园运动.相对运动沿T形槽的直线运动.牵连运动沿y轴的直线平动.va=rve=vD=v解得:？大小：大小：方向：方向：vavevr23OCDABVrVeVa解：解：1）动点：）动点：AB杆上的杆上的A点；点；2）动系：圆盘，）动系：圆盘，4）速度合成）速度合成？大小大小方向方向 3）三）三种种运动：绝对运动为直线；运动：绝对运动为直线；相对运动为圆周相对运动为圆周 牵连运动为定轴转动牵连运动为定轴转动解析法：解析法：几何法：几何法：练习题练习题1：已知：已知w，OC=r，在图示位置，在图示位置AB垂直于垂直于CO，CD=OD，求当此时顶杆，求当此时顶杆AB的速度？的速度
16、？24 练习题练习题22图示平面机构中，曲柄OAr，以匀角速度o转动。套筒A可沿BC滑动BC BD，BC=DE,BD=CE=l。求：图示位置时，杆BD的角速度。25解：动点：套筒解：动点：套筒A 动系：杆动系：杆BC 三种运动：三种运动：绝对运动：圆周运动，绕绝对运动：圆周运动，绕o点转动。点转动。相对运动：直线运动，沿相对运动：直线运动，沿BC牵连运动：牵连运动：平动平动？大小大小方向方向杆BD的角速度：269-39-3牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理由于牵连运动为平动，故由速度合成定理对t求导：一一 证明证明 一动点M按一定规律沿着固连于动系Oxyz 的
17、曲线AB运动,而曲线AB同时 又随同动系Oxyz 相对静系Oxyz平动。27(其中为动系坐标的单位矢量，因为动系为平动，故它们的方向不变，是常矢量，所以）牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理即当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度即当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。与相对加速度的矢量和。一般式可写为：28 例例1:图示半径为r的半圆形凸轮在水平面上滑动，直杆OA绕轴O转动。OA=r，点O与O1 在同一铅直线上，凸轮的速度为v,加速度 a。求在=30时杆的VA和aA及杆的和。解：解：1)动点为杆端A，动系取在凸轮
18、2)三种运动：动点的绝对运动-圆周 相对运动-圆周,牵连平动，牵连点直线运动3)由速度合成定理？大小大小方向方向由解析法：向和轴上投影为294)由加速度合成定理由加速度合成定理？大小大小方向方向？向向 方向投影方向投影30例例2:已知O1A=O2B=R=18cm,=(t)/18,S=t,求:t=3s且=/2时M点的绝对速度和绝对加速度.ABO1O2yxSMR解解:1)动点为M点,动系为圆盘,牵连平动;2)三种运动：动点的绝对运动-曲线;动点的相对运动-圆周；牵连点的牵连运动-圆周；3)速度分析大小大小方向方向？列列投影方程得：投影方程得：VrVayVaxVeVe31ABO1O2yxSMR304
19、)加速度分析加速度分析大小大小方向方向？0其中：其中：列列投影方程得：投影方程得：32练习题练习题1 图示平面机构，已知：OA=r，a0,0，BC=DE，BD=CE=L，求：图示位置，杆BD的角速度和角加速度。解:1)动点：A点(OA杆)动系：BC杆大小：大小：方向：方向：？BACDEO300600 0vrva2)动点的绝对运动-圆周 动点的相对运动-直线 动系牵连平动;牵连点曲线运动3)由速度合成定理得由速度合成定理得veve33BACDEO300600 0aaar投影至投影至y轴：轴：4)根据牵连平动的加速度合成定理根据牵连平动的加速度合成定理做出速度矢量图如图示。做出速度矢量图如图示。大
20、小：大小：方向：方向：？y349-59-5牵连运动为转动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理 上一节我们证明了牵连运动为平动时的点的加速度合成定理，那么当牵连运动为转动时，上述的加速度合成定理是否还适用呢？下面我们来分析一特例。设一圆盘以匀角速度 绕定轴顺时针转动，盘上圆槽内有一点M以大小不变的速度 vr 沿槽作圆周运动，那么M点相对于静系的绝对加速度应是多少呢？1科式加速度产生的原因科式加速度产生的原因 35相对运动相对运动为匀速圆周运动，（方向如图）由速度合成定理可得出选点选点M为动点，动系固结与圆盘上为动点，动系固结与圆盘上，则M点的牵连运动牵连运动为匀速转动（方向如图
21、）即绝对运动绝对运动也为匀速圆周运动，所以方向指向圆心点36 分析上式：还多出一项2 vr。可见，当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度并不当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度并不等于牵连加速度和相对加速度的矢量和。等于牵连加速度和相对加速度的矢量和。除了前两项外，还有第三项，第三项命名为科氏加速度。除了前两项外，还有第三项，第三项命名为科氏加速度。37所以，当牵连运动为转动时，加速度合成定理为 当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于它的牵连加速当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于它的牵连加速度，相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。度，相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。一般式 一般情况下
22、一般情况下 科氏加速度科氏加速度 的计算可以用矢积表示的计算可以用矢积表示38解解:动点:顶杆上A点；动系:凸轮;静系:地面。绝对运动:直线;绝对速度:va=?待求,方向/AB;相对运动:曲线;相对速度:vr=?方向n;牵连运动:定轴转动;牵连速度:ve=r，方向OA，。方向：按右手法则确定。例例1 已知：凸轮机构以匀 绕O轴转动，图示瞬时OA=r，A点曲率半径,已知。求：该瞬时顶杆 AB的速度和加速度。ac39根据速度合成定理做出速度平行四边形（注意用右手螺旋定则来确定）（注意用右手螺旋定则来确定）ac40由牵连运动为转动时的加速度合成定理牵连运动为转动时的加速度合成定理作出加速度矢量图加速
23、度矢量图如图示向 n 轴投影：ac41 解解：点M1的科氏加速度 垂直板面向里。例例2 矩形板ABCD以匀角速度 绕固定轴 z 转动，点M1和点M2分别沿板的对角线BD和边线CD运动，在图示位置时相对于板的速度分别为 和 ，计算点M1、M2的科氏加速度大小,并图示方向。点M2 的科氏加速度DABCac42解：根据做出速度平行四边形方向方向：与 相同。例例3 曲柄摆杆机构已知已知：O1Ar,1;取O1A杆上A点为动点，动系固结O2B上，试计算动点A的科氏加速度科氏加速度。B43练习练习1 分析下面各速度和加速度矢图。分析下面各速度和加速度矢图。ABVeVaVr解：解：1）动点）动点AB上的上的A
24、点；点；动系动系摇杆；摇杆；2）点的绝对运动）点的绝对运动直线直线 点的相对运动点的相对运动直线直线 动系动系转动转动44VeVrVa练习练习2 分析下面各速度和加速度矢图。分析下面各速度和加速度矢图。解：解：1）动点）动点块上的块上的A点；点；动系动系摇杆；摇杆；2）点的绝对运动）点的绝对运动直线直线 点的相对运动点的相对运动直线直线 动系动系转动转动45A练习练习3 分析下面各速度和加速度矢图。分析下面各速度和加速度矢图。练习练习4 分析下面各速度和加速度矢图。分析下面各速度和加速度矢图。A46点的合成运动总结点的合成运动总结一概念及公式一概念及公式 1.一点、二系、三运动一点、二系、三运
25、动 点的绝对运动为点的相对运动与牵连 运动的合成 2.速度合成定理速度合成定理 (牵连点牵连点)3.加速度合成定理加速度合成定理 牵连运动为平动时 牵连运动为转动时47二解题步骤二解题步骤1.选择动点、动系、静系。2.分析三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。3.作速度分析,画出速度平行四边形,求出有关未知量(速度,角速度）。4.作加速度分析，画出加速度矢量图，求出有关的加速度、角加速度未知量。48 三解题技巧三解题技巧1.恰当地选择动点恰当地选择动点.动系和静系动系和静系,应满足选择原则应满足选择原则.，具体地有：两个不相关的动点，求二者的相对速度。根据题意,选择其中之一为动点,动系为固结
26、于另一点的平动 坐标系。运动刚体上有一动点，点作复杂运动。该点取为动点，动系固结于运动刚体上。机构传动,传动特点是在一个刚体上存在一个不变的接触点,相对于另一个刚体运动。导杆滑块机构：典型方法是动系固结于导杆，取滑块为动点。凸轮挺杆机构：典型方法是动系固结与凸轮，取挺杆上与凸轮 接触点为动点。49 特殊问题,特点是相接触两个物体的接触点位置都随时间而 变化.此时,这两个物体的接触点都不宜选为动点，应选择满 足前述的选择原则的非接触点为动点。2.速度问题速度问题,一般采用几何法求解简便,即作出速度平行四边形；加速度问题加速度问题,往往超过三个矢量,一般采用解析（投影）解析（投影）法求 解，投影轴
27、的选取依解题简便的要求而定。50 四注意问题四注意问题 1.牵连速度及加速度是牵连点的速度及加速度。2.牵连转动时作加速度分析不要丢掉，正确分析和计算。3.加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与静平衡方程 的投影式不同。4.圆周运动时，非圆周运动时，(为曲率半径)51例例1 摇杆滑道机构摇杆滑道机构绝对运动：直线运动，绝对运动：直线运动，相对运动：直线运动，相对运动：直线运动，沿OA 线牵连运动：定轴转动，牵连运动：定轴转动，（）已知已知 求求:OA杆的 ,。根据速度合成定理速度合成定理做出速度平行四边形做出速度平行四边形,如图示。解解：动点动点:销子销子D(BC上上);动系动系:固结于固结
28、于OA；静系静系:固结于机架。固结于机架。52投至 轴：（）根据牵连转动的加速度合成定理牵连转动的加速度合成定理ac53已知已知:OAl,=45o 时，,;求求：小车的速度与加速度解解：动点：动点：OA杆上杆上 A点点;动系：固结在滑杆上动系：固结在滑杆上;静系：固结在机架上。静系：固结在机架上。绝对运动：圆周运动，绝对运动：圆周运动，相对运动：直线运动，相对运动：直线运动，牵连运动：平动；牵连运动：平动；例例2 曲柄滑杆机构曲柄滑杆机构54小车的速度小车的速度：根据速度合成定理根据速度合成定理 做出速度平行四边形做出速度平行四边形,如图示如图示投至x轴：，方向如图示小车的加速度小车的加速度：
29、根据牵连平动的加速度合成定理根据牵连平动的加速度合成定理做出速度矢量图如图示做出速度矢量图如图示。55其中）(解：解：动点：轮动点：轮O上上A点点;动系：动系：O1D,静系：机架静系：机架根据做出速度平行四边形做出速度平行四边形。例例3 刨床机构刨床机构已知已知:主动轮O转速n=30 r/min,OA=150mm,图示瞬时,OAOO1,求求:O1D 杆的 1、1和滑块B的 。56根据根据做出加速度矢量图做出加速度矢量图投至方向投至方向：）(再选动点再选动点:滑块滑块B;动系动系:O1D;静系静系:机架。机架。ac57根据根据做出速度矢量图做出速度矢量图。投至 x 轴：根据根据做出加速度矢量图做
30、出加速度矢量图其中：acB58绝对运动：圆周运动绝对运动：圆周运动;相对运动：直线运动相对运动：直线运动;牵连运动：平动牵连运动：平动;，水平方向例例4 曲柄滑块机构曲柄滑块机构已知：已知：h;图示瞬时 ;求求:该瞬时 杆的2。解解：动点：动点：O1A上上A点点;动系：固结于动系：固结于BCD上上,静系：固结于机架上。静系：固结于机架上。根据根据 做出速度平行四边形做出速度平行四边形59再选动点：再选动点：BCD上上F点点 动系：固结于动系：固结于O2E上，上，静系：固结于机架上静系：固结于机架上绝对运动：直线运动，绝对运动：直线运动，相对运动：直线运动，相对运动：直线运动，牵连运动：定轴转动牵连运动：定轴转动，根据根据做出速度平行四边形做出速度平行四边形）（60例例5 套筒滑道机构套筒滑道机构图示瞬时,h已知,求:套筒O的，。解：方法方法1：A点作直线运动代入图示瞬时的已知量，得（）（）61对比两种方法（）投至投至 方向：方向：（）方法方法2：动点动点:CD上上A点，点，动系动系:套筒套筒O，静系静系:机架机架其中ac62本章作业题本章作业题第一次：第一次：9-3，9-5，9-6，9-8第二次：第二次：9-4，9-7，9-9第三次：第三次：9-10，9-11，9-13，9-146364