数学分析试题与答案015933.pdf

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1、欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!-来源网络,仅供个人学习参考 2014-2015 学年度第二学期 数学分析 2A 试卷 学院班级学号(后两位)姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 核分人 得分 一.判断题(每小题 3 分,共 21 分)(正确者后面括号内打对勾,否则打叉)1.若 xf在ba,连续,则 xf在ba,上的不定积分 dxxf可表为Cdttfxa().2.若 xgxf,为连续函数,则 dxxgdxxfdxxgxf().3.若 adxxf绝对收敛,adxxg条件收敛,则 adxxgxf必然条件收敛().4.若

2、1dxxf收敛,则必有级数 1nnf收敛()5.若 nf与 ng均在区间 I 上内闭一致收敛,则nngf 也在区间 I 上内闭一致收敛().6.若数项级数1nna条件收敛,则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大().7.任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数,并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同().二.单项选择题(每小题 3 分,共 15 分)1.若 xf在ba,上可积,则下限函数 axdxxf在ba,上()A.不连续 B.连续 C.可微 D.不能确定 2.若 xg在ba,上可积,而 xf在ba,上仅有有限个点处与 xg不相等,则()A.xf在ba,上一定不可积;B

3、.xf在ba,上一定可积,但是 babadxxgdxxf;C.xf在ba,上一定可积,并且 babadxxgdxxf;D.xf在ba,上的可积性不能确定.欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!-来源网络,仅供个人学习参考 3.级数 12111nnnn A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D.不确定 4.设nu为任一项级数,则下列说法正确的是()A.若0limnnu,则级数nu一定收敛;B.若1lim1nnnuu,则级数nu一定收敛;C.若1,1nnuuNnN,时有当,则级数nu一定收敛;D.若1,1nnuuNnN,时有当,则级数nu

4、一定发散;5.关于幂级数nnxa的说法正确的是()A.nnxa在收敛区间上各点是绝对收敛的;B.nnxa在收敛域上各点是绝对收敛的;C.nnxa的和函数在收敛域上各点存在各阶导数;D.nnxa在收敛域上是绝对并且一致收敛的;三.计算与求值(每小题 5 分,共 10 分)1.nnnnnnn211lim 2.dxxx2cossinln 四.判断敛散性(每小题 5 分,共 15 分)1.dxxxx02113 2.1!nnnn 3.nnnnn21211 五.判别在数集 D 上的一致收敛性(每小题 5 分,共 10 分)1.,2,1,sinDnnnxxfn 欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理

5、,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!-来源网络,仅供个人学习参考 2.,22,2Dxnn 六已知一圆柱体的的半径为 R,经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面030角向斜上方切割,求从圆柱体上切下的这块立体的体积。(本题满 10 分)七.将一等腰三角形铁板倒立竖直置于水中(即底边在上),且上底边距水表面距离为 10 米,已知三角形底边长为 20 米,高为 10 米,求该三角形铁板所受的静压力。(本题满分 10 分)八.证明:函数 3cosnnxxf在,上连续,且有连续的导函数.(本题满分 9 分)欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供

6、优质的文档!-来源网络,仅供个人学习参考 2014-2015 学年度第二学期 数学分析 2B 卷答案 学院班级学号(后两位)姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 核分人 得分 一、判断题(每小题 3 分,共 21 分,正确者括号内打对勾,否则打叉)1.?2.?3.?4.?5.?6.?7.?二.单项选择题(每小题 3 分,共 15 分)1.B;2.C;3.A;4.D;5.B 三.求值与计算题(每小题 5 分,共 10 分)1.dxexxxxnn310223sinlim 解:由于310310223sin0dxxdxexxxnxn-3 分 而03111limlim1310nnnnndxx

7、-4分 故由数列极限的迫敛性得:0sinlim310223dxexxxxnn-5分 2.设xxxfsinsin2,求 dxxfxx1 解:令tx2sin得 dxxfxx1=tdtftt2222sinsinsin1sin-2 分=tdttttttcossin2sincossin=tdttsin2-4 分=2 cos2sintttC=2 1arcsin2xxxC-5 分 四.判别敛散性(每小题 5 分,共 10 分)欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!-来源网络,仅供个人学习参考 1.dxxx1021arctan 解:241arctan

8、lim1arctan1lim0122101xxxxxxx-3 分 且121p,由柯西判别法知,瑕积分dxxx1021arctan收敛-5分 2.2lnln1nnn 解:时当00,lnlimnnNnnn 有2lnen-2分 从而当0nn 2ln1ln1nnn-4分 由比较判别法2lnln1nnn收敛-5分 五.判别在所示区间上的一致收敛性(每小题 5 分,共 15 分)1.,0,2,1,12Dnnxxfn 解:极限函数为 Dxxxfxfnnlim-2 分 又 nxnxnxnxxfxfn11/11222-3 分 从而0suplimffnn 故知该函数列在 D 上一致收敛.-5 分 2.1,1,3s

9、in2Dxnn 解:因当Dx时,nnnnxxu323sin2-2 分 而正项级数n32收敛,-4分 欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!-来源网络,仅供个人学习参考 由优级数判别法知,该函数列在 D 上一致收敛.-5 分 3.,12Dnxn 解:易知,级数 n1的部分和序列 nS一致有界,-2 分 而对 nxxVDxn21,是单调的,又由于 nnnxxVDxn011,2,-4分 所以 nxxvn21在 D 上一致收敛于 0,从而由狄利克雷判别法可知,该级数在 D 上一致收敛。-5 分 六.设平面区域 D 是由圆222 yx,抛物线2

10、xy 及 x 轴所围第一象限部分,求由 D 绕 y 轴旋转一周而形成的旋转体的体积(本题满分 10 分)解:解方程组2222xyyx得圆222 yx与抛物线2xy 在第一象限 的交点坐标为:1,1,-3分 则所求旋转体得体积为:101022ydydyyV-7分=-=76-10 分 七.现有一直径与高均为 10 米的圆柱形铁桶(厚度忽略不计),内中盛满水,求从中将水抽出需要做多少功?(本题满分 10 分)解:以圆柱上顶面圆圆心为原点,竖直向下方向为 x 轴正向建立直角坐标系 则分析可知做功微元为:dxxxdxdW2552-5分 故所求为:100215dxxW-8 分=1250=12250(千焦)

11、-10分 八设 2,1nxun是,ba上的单调函数,证明:若 aun与 bun都绝对收敛,则 xun在,ba上绝对且一致收敛.(本题满分 9 分)证明:2,1nxun是,ba上的单调函数,所以有 欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!-来源网络,仅供个人学习参考 buauxunnn-4分 又由 aun与 bun都绝对收敛,所以 buaunn收敛,-7分 由优级数判别法知:xun在,ba上绝对且一致收敛.-欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!-来源网络,仅供个人学习参考 20

12、13-2014 学年度第二学期 数学分析 2A 试卷 学院班级学号(后两位)姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 核分人 得分 一.判断题(每小题 2 分,共 16 分)(正确者后面括号内打对勾,否则打叉)1.若)(xf在a,b上可导,则)(xf在a,b上可积.()2.若函数)(xf在a,b上有无穷多个间断点,则)(xf在a,b上必不可积。()3.若aadxxgdxxf)()(与均收敛,则adxxgxf)()(一定条件收敛。()4.若 xfn在区间 I 上内闭一致收敛,则 xfn在区间 I 处处收敛()5.若1nna为正项级数(0na),且当0nn 时有:11nnaa,则级数1nna必

13、发散。()6.若 xf以2为周期,且在,上可积,则的傅里叶系数为:nxdxxfancos120()7.若sann1,则1112asaannn()8.幂级数在其收敛区间上一定内闭一致收敛。()二.单项选择题(每小题 3 分,共 18 分)1.下列广义积分中,收敛的积分是()A101dxxB11dxxC0sin xdxD1131dxx 2.级数1nna收敛是1nna部分和有界的()A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 3.正项级数nu收敛的充要条件是()欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!-来源网络,仅供个人学习参

14、考 A.0limnnuB.数列 nu单调有界 C.部分和数列 ns有上界 D.1lim1nnnun 4.设aaannn1lim则幂级数1bxabnn的收敛半径 R=()A.aB.ba1C.a1D.ba11 5.下列命题正确的是()A)(1xann在,ba绝对收敛必一致收敛 B)(1xann在,ba一致收敛必绝对收敛 C 若0|)(|limxann,则)(1xann在,ba必绝对收敛 D)(1xann在,ba条件收敛必收敛 6.若幂级数nnxa的收敛域为1,1,则幂级数nnxa在1,1上 A.一致收敛 B.绝对收敛 C.连续 D.可导 三.求值或计算(每题 4 分,共 16 分)1.dxxxxl

15、n1;2.dxxxcossin1 3dxexxx11.4.设 xf在0,1上连续,求 dxxfnn10lim 四.(16 分)判别下列反常积分和级数的敛散性.1.1324332xxdx;2.dxxx10)1ln(11 欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!-来源网络,仅供个人学习参考 3.21lnnnnn;4.1!nnnnne 五、判别函数序列或函数项级数在所给范围上的一致收敛性(每题 5 分,共 10 分)1.),(;,2,1,)(42xnnxxfn 2.nnnnx13)1(21;,5.05.0,Dx 六.应用题型(14 分)1.一

16、容器的内表面为由2xy 绕 y 轴旋转而形成的旋转抛物面,其内现有水(3m),若再加水7(3m),问水位升高了多少米?2.把由xey,x 轴,y 轴和直线x0所围平面图形绕 x 轴旋转得一旋转体,求此旋转体的体积 V,并求满足条件 VaVlim21的a.七证明题型(10 分)已知 xf与 xg均在a,b上连续,且在a,b上恒有 xgxf,但 xf不恒等于 xg,证明:欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!-来源网络,仅供个人学习参考 2013-2014 学年度第二学期 数学分析 2B 试卷 学院班级学号(后两位)姓名 题号 一 二 三

17、 四 五 六 七 总分 核分人 得分 一、判断题(每小题 2 分,共 18 分,正确者括号内打对勾,否则打叉)1.对任何可导函数 xf而言,Cxfdxxf成立。()2.若函数 xf在ba,上连续,则 dttfxFbx必为 xf在ba,上的原函数。()3.若级数1nna收敛,必有0limnxna。()4.若1limnnna,则级数1nna发散.5.若幂级数1nnnxa在2x处收敛,则其在-2,2上一致收敛.()6.如果 xf在以 a,b 为端点的闭区间上可积,则必有 dxxfdxxfbaba.()7.设 xf在,1上有定义,则 dxxf1与级数 1nnf同敛散.()8.设 xf在ba,任子区间可

18、积,b 为 xf的暇点,则 badxxf与 dtttbfab2111同敛散.()9.设 xfn在 bxxaD,00上 一 致 收 敛,且 nnxxaxf0limNn存 在,则 xfxfnnxxnxxnlimlimlimlim00.二.单项选择题(每小题 3 分,共 15 分)1.函数)(xf在,ba上可积的必要条件是()A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数 2.下列说法正确的是()欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!-来源网络,仅供个人学习参考 A.1nna和1nnb收敛,1nnnba也收敛 B.1nna和1nnb发散,1

19、)(nnnba发散 C.1nna收敛和1nnb发散,1)(nnnba发散 D.1nna收敛和1nnb发散,1nnnba发散 3.)(1xann在,ba收敛于)(xa,且)(xan可导,则()A.xaxann)(1B.)(xa可导 C.banbandxxadxxa)()(1D.1)(nnxa一致收敛,则)(xa必连续 4.级数 12111nnnn A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D.不确定 5.幂级数0212nnnxn的收敛域为:A.(-0.5,0.5)B.-0.5,0.5C.5.0,5.0D.5.0,5.0 三.求值与计算题(每小题 4 分,共 16 分)1.dxxxx2sin2coss

20、in 2.dxxxx12 3.nnnnnnn111lim 4.dxbaxba2 四.判别敛散性(每小题 4 分,共 16 分)1.dxxxx131arctan;2.dxxx101 欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!-来源网络,仅供个人学习参考 3.1111nnnnn.4.11cos1nnn 五.判别在所示区间上的一致收敛性(每小题 5 分,共 10 分)1.1)1/(1,0)1/(10,)1(1xnnxxnxfn1,0.,2,1xn 2.121)(1nnnnx),(x 六.应用题型(16 分)1.试求由曲线2xy 及曲线22xy所

21、平面图形的面积.2.将102cos1dxxx表达为级数形式,并确定前多少项的和作为其近似,可使之误差不超过十万分之一.七.(9 分)证明:若函数项级数 xun满足:()2,1)(,naxuDxnn;()na收敛.则函数项级数 xun在 D 上一致收敛.欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!-来源网络,仅供个人学习参考 014-2015 学年度第二学期 数学分析 2A 卷答案 三.判断题(每小题 3 分,共 21 分)1.?2.?3.?4.?5.?6.?7.?二.单项选择题(每小题 3 分,共 15 分)B,C,C,D,A 三.计算与求

22、值(每小题 5 分,共 10 分)1.解:原式=nnnnnn12111lim=nknnnk111lnexplim-2分=nknnnk111lnlimexp-3 分=21lnexpxdx=14e-5分 2.原式=xdxtansinln-2分=xdxxxxcottantansinln-4分=Cxxxtansinln-5分 四.判断敛散性(每小题 5 分,共 15 分)1.3113lim223xxxxx-2分 且123p-3分 由柯西判别法知,dxxxx02113收敛。-5 分 2.由比式判别法 nnnaa1limnnnnnnn!1!1lim11/111lim1enn-4 分 故该级数收敛.-5 分

23、 3.解:由莱布尼兹判别法知,交错级数 11nnn收敛-2分 欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!-来源网络,仅供个人学习参考 又121112120nnn知其单调且有界,-4 分 故由阿贝尔判别法知,级数收敛.-5 分 五.1.解:极限函数为 Dxxfxfnn0lim-2 分 又 nnnxxfxfn1sin-4 分 0suplimffnn故知该函数列在 D 上一致收敛.-5 分 2.解:因当Dx时,nnnnnxnxnxu2222-3分 而正项级数nn22收敛,-4分 由优级数判别法知,该函数列在 D 上一致收敛.-5 分 六已知一圆

24、柱体的的半径为 R,由圆柱下底圆直径线并保持与底圆面030角向斜上方切割,求所切下这块立体的体积。(本题满分 10 分)解:在底圆面上以所截直径线为 x 轴,底圆的圆心为原点示坐标系,过 x 处用垂直 x 轴的平面取截该立体,所得直角三角形的面积为:2202230tan21xRxRxS-5 分 故所求立体的体积为:RRdxxRV2263-7 分=3932R-10 分 七.解:建立图示坐标系(竖直方向为 x 轴)则第一象限等腰边的方程为10 yx-3 分 压力微元为:dxxdxxxdF2100210102 故所求为 dxxF10021002-7分 吨33.1333千牛67.13066-10 分

25、八.证明:2,1cos3nnnxxun每一项在,上连续,又 331cosnnnxxun而31n收敛 欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!-来源网络,仅供个人学习参考 所以3cosnnx在,上一致收敛,-3分 故由定理结论知 3cosnnxxf在,上连续,-5分 再者 221sinnnnxxun而21n收敛 所以 xun在,上一致收敛,结合 xun在,上的连续性 可知 3cosnnxxf在,上有连续的导函数.-9 分 欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!-来源网络,仅供个人

26、学习参考 2014-2015 学年度第二学期 数学分析 2B 试卷 学院班级学号(后两位)姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 核分人 得分 二、判断题(每小题 3 分,共 21 分,正确者括号内打对勾,否则打叉)1.若 xf为偶函数,则 dxxf必为奇函数().2.xysgn为符号函数,则上限函数 y=xadttsgn在,上连续().3.若 dxxfa收敛,必有 0limxfx().4.若 nf在区间 I 上内闭一致收敛,则 nf在区间 I 上处处收敛().5.若1)(nnxu在ba,上内闭一致收敛,则1)(nnxu在ba,上一致收敛().6.若数项级数1nna绝对收敛,则经过任

27、意重拍后得到的新级数仍然绝对收敛,并且其和不变().7.若函数项级数)(xun在ba,上的某点收敛,且)(xun在ba,上一致收敛,则)(xun也在ba,上一致收敛().二.单项选择题(每小题 3 分,共 15 分)1.函数)(xf是奇函数,且在,aa上可积,则()Aaaadxxfdxxf0)(2)(B0)(aadxxf Caaadxxfdxxf0)(2)(D)(2)(afdxxfaa 2.关于积分dxxxx1021sin,正确的说法是()A.此为普通积分 B.此为瑕积分且瑕点为 0 C.此为瑕积分且瑕点为 1D.此为瑕积分且瑕点为 0,1 3.就级数nnpln12(0p)的敛散性而言,它是(

28、)A.收敛的 B.发散的 C.仅1p时收 D.仅1p时收敛 欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!-来源网络,仅供个人学习参考 4.函数列 nf在区间I上一致收敛于 0 的充要条件是()A.0lim,xfIxnnB.0lim,nnnxfIx C.0limxfNnnxD.0suplimxfnIxn 5.幂级数0212nnnxn的收敛域为:A.(-0.5,0.5)B.-0.5,0.5C.5.0,5.0D.5.0,5.0 三.求值与计算题(每小题 5 分,共 10 分)1.dxexxxxnn310223sinlim 2.设xxxfsinsi

29、n2,求 dxxfxx1 四.判别敛散性(每小题 5 分,共 10 分)1.dxxx1021arctan 2.2lnln1nnn 五.判别在所示区间上的一致收敛性(每小题 5 分,共 15 分)1.,0,2,1,12Dnnxxfn 2.1,1,3sin2Dxnn 3.,12Dnxn 六.设平面区域 D 是由圆222 yx,抛物线2xy 及 x 轴所围第一象限部分,求由 D 绕 y 轴旋转一周而形成的旋转体的体积(本题满分 10 分)七.现有一直径与高均为 10 米的圆柱形铁桶(厚度忽略不计),内中盛满水,求从中将水抽出需要做多少功?(本题满分 10 分)八 设 2,1nxun是,ba上的单调函数,证明:若 aun与 bun都绝对收敛,则 xun在,ba上绝对且一致收敛.(本题满分 9 分)

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