《固体物理--能带 7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《固体物理--能带 7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子.ppt（22页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、7.4 克勒尼希克勒尼希-彭尼模型与近自由电子彭尼模型与近自由电子第第 7 章章 能带能带固体固体物理物理导论导论1克勒尼希克勒尼希-彭尼模型彭尼模型 一维方形势井阵列周期势一维方形势井阵列周期势1.0 xa，U=0平面波平面波平面波平面波2.-bx0，U=U0 势垒势垒布洛赫函数布洛赫函数7.4 克勒尼希克勒尼希-彭尼模型与近自由电子彭尼模型与近自由电子第第 7 章章 能带能带固体固体物理物理导论导论2 A、B、C、D 的齐次方程有非零解的条件是其系数的齐次方程有非零解的条件是其系数行列式为行列式为0，即，即(计算过程较复杂计算过程较复杂)由由 和和 在在 x=0 和和 x=a 处连续的条件
2、，得处连续的条件，得7.4 克勒尼希克勒尼希-彭尼模型与近自由电子彭尼模型与近自由电子第第 7 章章 能带能带固体固体物理物理导论导论3 取极限取极限 b=0，U0=，使，使 Q2ab/2=P 保持有限，保持有限，从而得到用从而得到用 d 函数表示的周期性势场函数表示的周期性势场7.4 克勒尼希克勒尼希-彭尼模型与近自由电子彭尼模型与近自由电子第第 7 章章 能带能带固体固体物理物理导论导论4中心方程中心方程 仍然考察电子在一维周期势中的运动仍然考察电子在一维周期势中的运动a：晶格常量，：晶格常量，l：任意整数：任意整数将周期势在倒空间中展开成傅里叶级数将周期势在倒空间中展开成傅里叶级数随随|
3、G|的增大，的增大，UG 迅速减小迅速减小7.4 克勒尼希克勒尼希-彭尼模型与近自由电子彭尼模型与近自由电子第第 7 章章 能带能带固体固体物理物理导论导论5 电子波函数也可以表示成一个傅里叶级数电子波函数也可以表示成一个傅里叶级数求和遍及边界条件能够允许的所有波矢值，对满求和遍及边界条件能够允许的所有波矢值，对满足周期性边界条件的长度为足周期性边界条件的长度为 L 的一维晶体的一维晶体 集合集合 2np/L 中的波矢并非全部都出现在任何中的波矢并非全部都出现在任何特定的布特定的布洛赫函数洛赫函数的傅里叶展开式中。如果某一波矢的傅里叶展开式中。如果某一波矢 k 出现在出现在 f 中，则中，则
4、f 的展开式出现的其余波矢都将具有的展开式出现的其余波矢都将具有 k+G 的形式的形式7.4 克勒尼希克勒尼希-彭尼模型与近自由电子彭尼模型与近自由电子第第 7 章章 能带能带固体固体物理物理导论导论6 可以把包含傅里叶分量可以把包含傅里叶分量 k 的波函数记为的波函数记为 fk，则同样也可记为则同样也可记为 fk+G，因为如果，因为如果 k 出现在傅里叶出现在傅里叶级数中，则级数中，则 k+G 也会出现也会出现 遍及遍及 G 的那些波矢的那些波矢 k+G 是波矢集合是波矢集合 2np/L 中的一个限制型子集中的一个限制型子集7.4 克勒尼希克勒尼希-彭尼模型与近自由电子彭尼模型与近自由电子第
5、第 7 章章 能带能带固体固体物理物理导论导论7从上式可以得到所谓的从上式可以得到所谓的中心方程中心方程因此用一组因此用一组代数方程代数方程取代了原来的取代了原来的微分方程微分方程。该。该方程组的方程数目巨大，看起来难以求解，但实方程组的方程数目巨大，看起来难以求解，但实际上常常只要解少数几个就足够了际上常常只要解少数几个就足够了 将波函数的傅里叶展开式代入波动方程，得将波函数的傅里叶展开式代入波动方程，得7.4 克勒尼希克勒尼希-彭尼模型与近自由电子彭尼模型与近自由电子第第 7 章章 能带能带固体固体物理物理导论导论8 一旦解出了一旦解出了 C(k)，则电子波函数就可以写为，则电子波函数就可
6、以写为7.4.1 关于布洛赫定理的另一种表述形式关于布洛赫定理的另一种表述形式T 任意格矢任意格矢等于等于1满足布洛赫定理满足布洛赫定理7.4 克勒尼希克勒尼希-彭尼模型与近自由电子彭尼模型与近自由电子第第 7 章章 能带能带固体固体物理物理导论导论97.4.2 电子的晶体动量电子的晶体动量略略7.4 克勒尼希克勒尼希-彭尼模型与近自由电子彭尼模型与近自由电子第第 7 章章 能带能带固体固体物理物理导论导论10我们讨论一个具体的问题：令我们讨论一个具体的问题：令 g 表示最短的倒格表示最短的倒格矢，并假定势能仅含有一个傅里叶分量矢，并假定势能仅含有一个傅里叶分量 Ug=U-g，记为记为 U，于
7、是上述方程组的一部分方程，于是上述方程组的一部分方程7.4.3 关于中心方程的解关于中心方程的解7.4 克勒尼希克勒尼希-彭尼模型与近自由电子彭尼模型与近自由电子第第 7 章章 能带能带固体固体物理物理导论导论11 系数行列式的一部分系数行列式的一部分行列式的维度是无限的，但令这部分为行列式的维度是无限的，但令这部分为 0 就足够就足够 除了重根外，对于一个给定的除了重根外，对于一个给定的 k，每个根都处在不，每个根都处在不同的能带上同的能带上7.4 克勒尼希克勒尼希-彭尼模型与近自由电子彭尼模型与近自由电子第第 7 章章 能带能带固体固体物理物理导论导论12 周期性周期性 d 函数势场中的克
8、勒尼希函数势场中的克勒尼希-彭尼模型彭尼模型7.4.4 倒易空间中的克勒尼希倒易空间中的克勒尼希-彭尼模型彭尼模型其中其中 G 为倒格矢为倒格矢7.4 克勒尼希克勒尼希-彭尼模型与近自由电子彭尼模型与近自由电子第第 7 章章 能带能带固体固体物理物理导论导论13 中心方程变为中心方程变为定义定义于是于是因此因此7.4 克勒尼希克勒尼希-彭尼模型与近自由电子彭尼模型与近自由电子第第 7 章章 能带能带固体固体物理物理导论导论14利用利用因此因此以及三角函数公式，上式求和部分变为以及三角函数公式，上式求和部分变为此即克勒尼希此即克勒尼希-彭尼的结果彭尼的结果7.4 克勒尼希克勒尼希-彭尼模型与近自
9、由电子彭尼模型与近自由电子第第 7 章章 能带能带固体固体物理物理导论导论15 自由电子的能量自由电子的能量7.4.5 空格点近似空格点近似位于第一布里渊区位于第一布里渊区各合适的倒格矢各合适的倒格矢7.4 克勒尼希克勒尼希-彭尼模型与近自由电子彭尼模型与近自由电子第第 7 章章 能带能带固体固体物理物理导论导论16例：简单立方晶格的低能态自由电子能带例：简单立方晶格的低能态自由电子能带已令已令7.4 克勒尼希克勒尼希-彭尼模型与近自由电子彭尼模型与近自由电子第第 7 章章 能带能带固体固体物理物理导论导论17 假定势能的傅里叶分量假定势能的傅里叶分量 UG 与布里渊区边界与布里渊区边界上的自
10、由电子的动能相比是小的。首先考虑一波上的自由电子的动能相比是小的。首先考虑一波矢更好在布里渊区边界矢更好在布里渊区边界 G/2 处处7.4.6 在布里渊区边界附近的近似解在布里渊区边界附近的近似解因此布里渊区边界上的两个组分波因此布里渊区边界上的两个组分波 的动的动能相等能相等7.4 克勒尼希克勒尼希-彭尼模型与近自由电子彭尼模型与近自由电子第第 7 章章 能带能带固体固体物理物理导论导论18 若若 C(G/2)是波函数是波函数在布里渊区边界上的一重要系数，则在布里渊区边界上的一重要系数，则 C(-G/2)也是，也是，仅保留中心方程中包含这两系数的两方程仅保留中心方程中包含这两系数的两方程非零
11、解条件非零解条件7.4 克勒尼希克勒尼希-彭尼模型与近自由电子彭尼模型与近自由电子第第 7 章章 能带能带固体固体物理物理导论导论19在布里渊区边界处导致宽度为在布里渊区边界处导致宽度为 2U 的能隙的能隙 两系数之比两系数之比因此因此 f(x)在布里渊区边界有两个解在布里渊区边界有两个解这两个解分别对应能隙底部和顶部的波函数，具这两个解分别对应能隙底部和顶部的波函数，具体哪个具有较低的能量取决于体哪个具有较低的能量取决于 U 的符号的符号7.4 克勒尼希克勒尼希-彭尼模型与近自由电子彭尼模型与近自由电子第第 7 章章 能带能带固体固体物理物理导论导论20 布里渊区边界附近的轨道，同样二分量近似布里渊区边界附近的轨道，同样二分量近似据中心方程列出下面一对方程据中心方程列出下面一对方程非零解条件非零解条件7.4 克勒尼希克勒尼希-彭尼模型与近自由电子彭尼模型与近自由电子第第 7 章章 能带能带固体固体物理物理导论导论21令令 ，该量在布里渊区边界处为小量，该量在布里渊区边界处为小量两个能量孰高孰低两个能量孰高孰低取决于取决于 U 的符号的符号7.4 克勒尼希克勒尼希-彭尼模型与近自由电子彭尼模型与近自由电子第第 7 章章 能带能带固体固体物理物理导论导论22能带能带系数比系数比