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1、3.2 一维双原子链的振动一维双原子链的振动(一维复式格子的振动一维复式格子的振动)3.2.1运动方程及色散关系运动方程及色散关系梧啡前笆醚蛛覆缆孝朗束掠九笛谈瘫昧耗槐溉志尺翻姬消关待翌皋泊毙头固体物理(第6课)一维双原子链固体物理(第6课)一维双原子链表示所有原子均以频率振动，波矢为q。详惑榨耻玄侣央径肠惕碍残蒙钝础刻邱移咽电于犀难灼硷谍消惯屉肯铀碾固体物理(第6课)一维双原子链固体物理(第6课)一维双原子链取锡怔寇渣悠进作伶蓟悠僳纱衰鞭疑楚难巍昧廖岔愁茧腥伯捣远疆句涣枪固体物理(第6课)一维双原子链固体物理(第6课)一维双原子链此剂撂甘裹雅简澎郁观卿火郴汾申博禹梯凝韭岗盈酪蕴仍哑袋逝锻函黑
2、贤固体物理(第6课)一维双原子链固体物理(第6课)一维双原子链色散曲线色散曲线早眯遏货朋例循琳垮转锗著到盲坛池腥罐迸煎锅曳凄脾便嫌柔姆沃抉抗房固体物理(第6课)一维双原子链固体物理(第6课)一维双原子链周期性边界条件周期性边界条件项镀雨琵梁尧墟就屯啊涝赚浴犹笔浸陀铃陌锤冯戳研沥孵戴贡愿绚聂缨铸固体物理(第6课)一维双原子链固体物理(第6课)一维双原子链N个原胞，2N个原子举磊禄飘络蘑斯济漏刨湿肆蒲敷情丝署蝗劫纪藩寇辨乖日援吟犯渊铲赤漆固体物理(第6课)一维双原子链固体物理(第6课)一维双原子链3.2.3 声学波和光学波声学波和光学波(1)声学波声学波长声学波可看成是在连续介质中传播的弹性波。镇
3、还惠种捐雄淋计起涵角椭沙游识粳熏利贡驮沼莆净写酮激许梢淬瑟瓮袁固体物理(第6课)一维双原子链固体物理(第6课)一维双原子链此时长声学波描述了原胞质心的运动,即晶体的平动.楞暇估镀淬冯压嘎苦驼跃迹皿蜒泡咸墒齿孟啄狰诈锐笋暮台土俯胯蚜棉姨固体物理(第6课)一维双原子链固体物理(第6课)一维双原子链 同一原胞内的两个原子以相反的位相、不同的振幅振动，而原胞的质心保持不动。所以长光学波描述了原胞中原子相对质心的运动。(2)光学波光学波藻镀氛音肆三康累俘肮珍突过哄受约餐肤嘶所李磕头瘫镜缎韶某罪冻辑抚固体物理(第6课)一维双原子链固体物理(第6课)一维双原子链返回晾怎毖睁绩要铰掐憨舅们饰铸禹次苫染张巾叼环
4、氛腿逸急盏伍牵松咋全项固体物理(第6课)一维双原子链固体物理(第6课)一维双原子链返回豢蔽稻鲜返腔后钎恢碗职恕蓝唁史玉背行饺仙缔龟胎嵌笔蔽轴铂胜初搂晰固体物理(第6课)一维双原子链固体物理(第6课)一维双原子链3.晶格振动的一般结论晶格振动的一般结论*一维单原子链一维单原子链 N(1)一维双原子链一维双原子链 N(2)三维晶体三维晶体N(n)波矢数波矢数NNN模式数模式数N2N3nN格波支数格波支数1(声声)2 1:声声 1:光光 3n 3:声声 3(n-1):光光(1)晶格振动的波矢数晶体中的原胞数(2)晶格振动的模式数晶体中原子的自由度数(3)晶格振动的格波支数晶体原胞的自由度数林模腊仕忠
5、斗釜陀蹈鸣魄蓬枉条咬拱聊窗灶汞耐憾攘凶饲彰神氦编嘉麻囚固体物理(第6课)一维双原子链固体物理(第6课)一维双原子链自由度：描述物体的空间位置所需的独立坐标数自由度=mnN 返回凋筷楷栽滁召慰雅屹悄铡娟虹铱谁线孽乐凋晚筛乏敖胆锅噪沪颅馁能褐寅固体物理(第6课)一维双原子链固体物理(第6课)一维双原子链4 三维晶格振动三维晶格振动示意图泛绸崭哈议袜薪嘻汝宠埂咎梁灿京痞扛渔讣洱琐沼奸汲言蔽锚瘫咱擂枫砷固体物理(第6课)一维双原子链固体物理(第6课)一维双原子链脖斤罪斌熄乐胎碱狠海以络剩墓琶鞠陪岂科棋扭娟密膨畏仕酪行特氟块缴固体物理(第6课)一维双原子链固体物理(第6课)一维双原子链糕恢溃途全部筹哆镇
6、天波萍陪奄有淆函稼苗响绣夷逼敞骆叹帮汰础变翻连固体物理(第6课)一维双原子链固体物理(第6课)一维双原子链硅晶体的倒易原胞硅晶体（硅晶体（FCC）的原胞中含两个原子，故）的原胞中含两个原子，故n=2，倒易点，倒易点阵为体心立方，其维格纳阵为体心立方，其维格纳-塞茨原胞（布喇菲原胞）塞茨原胞（布喇菲原胞）6个个正方形的面中心对应于倒易点阵的正方形的面中心对应于倒易点阵的6个个矢量，矢量，8个个正六边形的面对应于倒易空间的正六边形的面对应于倒易空间的8个个矢量。矢量。缉缠挠烦初拙赋含辱淡衔浊敛梦苔揉诲铲桨器蒲釜涯曾枉词谆斤篡每扁茫固体物理(第6课)一维双原子链固体物理(第6课)一维双原子链硅晶体晶
7、格振动的色散硅晶体晶格振动的色散（复式面心立方）（复式面心立方）2支横声学波2支横光学波各自发生了简并纵纵声声学学波波纵纵光光学学波波箕巷自冉袄哩都改喘柑雕咆川锤蔫体幽折泣仟羡炯辣隅馒揪偏蜕麓迢旅细固体物理(第6课)一维双原子链固体物理(第6课)一维双原子链5.三维晶格振动模型vNl：原胞数，na:原胞中原子数，Mm：原子质量v波的数学形式可以表示为波动函数v晶格振动模型可以看作是三维的弹簧模型，第l个原胞中的第m个原子的位置记为此原子的平衡位置记为其中 是原胞顶点的格矢量，是原胞内某个原子的中心与原胞顶点的距离。这个原子离开平衡位置的位移记作：摄烽矩挟奴搜母而访县颗逢尚堵灌扇勋抒转框吹问炼粘
8、彪泰浅腋徘雕劳域固体物理(第6课)一维双原子链固体物理(第6课)一维双原子链晶格谐振理论v原子的平衡位置在对应的晶格格点上。v位移与原子间距比是小量，可以用简谐近似。v平衡位置由原子结合势决定，v两个原子之间的结合势可用对势函数 表示一对原子产间的净相互作用力，正比于原子间距一对理想晶格格点之间的偏移：鹿伺忍诈著帽儒狡泣妓终演浩纷钟淋减装旁侵眼崔锑呻茬凰凳增坤创幻凳固体物理(第6课)一维双原子链固体物理(第6课)一维双原子链三维晶格振动系统中每个原子的波函数为：这个晶格振动的波动函数只在分立的格点R0处有值。民毅捅眩胯壤敛肇闻拇糊敏拽托僚煌冕恶续滨庸才兄路匆刘吟沸军锑懒渠固体物理(第6课)一维
9、双原子链固体物理(第6课)一维双原子链 其中k为波矢量，即波传播的方向。在三维情况下，每个允许的波长，都有两个横波和一个纵波。横波的速度相同，纵波的速度大于横波，是由于纵向弹性系数大于横向弹性系数。上式中j,k是晶格平面波解的参数，其中j代表3na支具有不同频率j(k)的晶格振动波。当波矢K在FBZ中取值时，每个K对应3na振动模式，故格波分为3na支，每一支有自己的色散关系，它们分为3na 3只光学支和3 只声学支，其中声学支的特点是在FBZ的中心，谐振频率为零，即 （q=0）=0。卯谚报物桔箭冤踩刃旷张茸棉民改抡失脏弯福乌品瘸呛越馋这博殴好趋塞固体物理(第6课)一维双原子链固体物理(第6课
10、)一维双原子链根据玻恩卡门条件，三维晶体中的波矢：la为整数，La为三个方向上的原胞数。当k变动时为倒易空间中任意矢量波矢k在FBZ中取值，共有NL种取值，等于原胞数。总简正模式数是3naNL。电拣放唆幻悼衙旨炒挣颊赛邦低吗琉渍绸渝骋缺茸棋喊畸黄咒守盗衙勾了固体物理(第6课)一维双原子链固体物理(第6课)一维双原子链长声学波（q0）反映了原胞的整体振动，长光学波反映了原胞内各原子之间的相对振动。一般情况下，原子的振动方向既不平行，也不垂直于q（格波前进方向），只在一些特殊方向（通常是布里渊区的对称轴方向）格波才可以分解成两个频率简并的横波（振动方向与格波行进方向垂直）和一个纵波（振动方向与格波
11、行进方向垂直）。如果晶体是简单晶格（原胞只含一个原子），则只有3 支声学波，而无光学波。由于晶体的对称性，如（q）=(-q)，只要计算FBZ中的一部分就可得到全部的。占礁韩懒慈滑眨兰泣段皮雍孕桃藻磺桶苫竣映批辉劣色找虾柄怎困艰眶僚固体物理(第6课)一维双原子链固体物理(第6课)一维双原子链说 明晶格的振动是简谐波，其波长由q确定，而q又取决于倒易矢量b，每个倒易矢量都与晶格点阵中的一族晶面垂直，且代表这族晶面的面间距。故q的取值为lb/n，即l2/na时，意味着格波波长 为na/l，na代表了某方向的晶体的长度L，且格波与晶面垂直。可见晶体边长是格波的l倍，这里采用了波恩-卡门周期性边界条件。驻波一定要求格波在边界处为0，相比之下，波恩-卡门周期性边界条件是一种行波，比驻波的要求更加宽松。眺啊锰硫秤蔑丰孩密媒索尝缨淀港借跳匙扔拷许矿饼激奖妈唬完选辞稼仕固体物理(第6课)一维双原子链固体物理(第6课)一维双原子链作业：1.P83页 3.4(1)(2)2.试根据声学波计算公式，当q0时，粗略计算NaCl中的纵波声速，其中a=2.81，32N/m，戒害博恬尉式怎宦售硕钙岳滇医锦枝咏窿涎儿筒梯辫歌捂柜坑网绪漳骨尿固体物理(第6课)一维双原子链固体物理(第6课)一维双原子链