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1、机器人运动学机器人运动学20052005年年3 3月月2424日日运动学正问题运动学正问题杆件参数的意义杆件参数的意义坐标系的建立原则坐标系的建立原则杆件坐标系间的变换过程杆件坐标系间的变换过程-相邻关节坐标相邻关节坐标系的齐次变换系的齐次变换机器人的运动学方程机器人的运动学方程 杆件参数的意义杆件参数的意义-和和 li 关节关节Ai轴和轴和Ai+1轴轴线公法线的长度线公法线的长度 关节关节i轴线与轴线与i+1轴线在垂直于轴线在垂直于li平面平面内的夹角内的夹角 串串联联关关节节，每每个个杆杆件件最最多多与与2个个杆杆件件相相连连，如如Ai与与Ai-1和和 Ai+1相相连连。由由运运动动学学的
2、的观观点点来来看看，杆杆件件的的作作用用仅仅在在于于它它能能保保持持其其两两端端关关节节间间的的形形态态不不变变。这这种种形形态态由由两两个个参参数数决决定定，一一是杆件的长度是杆件的长度 li（），一个是杆件的扭转角一个是杆件的扭转角 AiAi+1 杆件参数的意义杆件参数的意义-和和 是是从第从第i-1坐标系坐标系的原点到的原点到Zi轴和轴和i轴的交点沿轴的交点沿i-1轴测量的距离轴测量的距离 绕绕 Zi-1轴由轴由i-1 轴转向轴转向i轴的关节轴的关节角角 确确定定杆杆件件相相对对位位置置关关系系，由由另另外外2个个参参数数决决定定，一一个个是是杆杆件的距离：件的距离：，一个是杆件的回转角
3、：，一个是杆件的回转角：AiAi+1Ai-1 坐标系的建立原则坐标系的建立原则AiAi+1Ai-1为右手坐标系为右手坐标系原点原点Oi：设在设在Li与与Ai+1轴线的交点上轴线的交点上 Zi轴：与轴：与Ai+1关节轴关节轴重合，指向任意重合，指向任意 Xi轴：与公法线轴：与公法线Li重合，指向沿重合，指向沿Li由由Ai轴线指向轴线指向Ai+1轴线轴线 Yi轴：按右手定则轴：按右手定则 Li 沿沿 xi 轴，轴，zi-1 轴与轴与 xi 轴交点到轴交点到 0i 的距离的距离i 绕绕 xi 轴，由轴，由 zi-1 转向转向zidi 沿沿 zi-1 轴，轴，zi-1 轴和轴和 xi 交点至交点至0i
4、 1 坐标系原点的距离坐标系原点的距离i 绕绕 zi-1 轴，由轴，由 xi-1转向转向 xi 杆件坐标系间的变换过程杆件坐标系间的变换过程 -相邻关节坐标系的齐次变换相邻关节坐标系的齐次变换将将xi-1轴绕轴绕zi-1轴转轴转 i 角度，将其与角度，将其与xi轴平行；轴平行；沿沿zi-1轴平移距离轴平移距离di，使使zi-1轴与轴与zi轴重合；轴重合；沿沿xi轴平移距离轴平移距离Li，使两坐标系原点及使两坐标系原点及x轴重轴重合；合；绕绕xi 轴转轴转 i角度，两坐标系完全重合角度，两坐标系完全重合 机器人的运动学方程机器人的运动学方程 D-H变换矩阵变换矩阵运动学逆问题运动学逆问题多解性，
5、剔除多余解原则多解性，剔除多余解原则v根据关节运动空间合适的解根据关节运动空间合适的解v选择一个与前一采样时间最接近的解选择一个与前一采样时间最接近的解v根据避障要求得选择合适的解根据避障要求得选择合适的解v逐级剔除多余解逐级剔除多余解可解性可解性v所有具有转动和移动关节的系统，在一个单一串联中所有具有转动和移动关节的系统，在一个单一串联中总共有总共有6 6个（或小于个（或小于6 6个）自由度时，是可解的，一般个）自由度时，是可解的，一般是数值解，它不是解析表达式，而是利用数值迭代原是数值解，它不是解析表达式，而是利用数值迭代原理求解，它的计算量要比解析解大理求解，它的计算量要比解析解大v如若
6、干个关节轴线相交和或多个关节轴线等于如若干个关节轴线相交和或多个关节轴线等于0 0或或9090的情况下，具有的情况下，具有6 6个自由度的机器人可得到解析解个自由度的机器人可得到解析解例题：例题：试求立方体中心在机座坐标系试求立方体中心在机座坐标系00中的位置中的位置该手爪从上方把物体抓起，同时手爪的开合方向与物体的该手爪从上方把物体抓起，同时手爪的开合方向与物体的Y Y轴同向，轴同向，那么，求手爪相对于那么，求手爪相对于00的姿态是什么？的姿态是什么？在机器人工作台上加装一电视摄像机，摄像机可见到固联在机器人工作台上加装一电视摄像机，摄像机可见到固联着着6DOF关节机器人的机座坐标系原点，它
7、也可以见到被操作关节机器人的机座坐标系原点，它也可以见到被操作物体（立方体物体（立方体）的中心，如果在物体中心建一局部坐标系，则的中心，如果在物体中心建一局部坐标系，则摄像机所见到的这个物体可由齐次变换矩阵摄像机所见到的这个物体可由齐次变换矩阵T1来表示，如果摄来表示，如果摄像机所见到的机座坐标系为矩阵像机所见到的机座坐标系为矩阵T2表示。表示。xyz解解1 1：因此物体位于机座坐标系的（因此物体位于机座坐标系的（11，10，1）T处，它的处，它的X，Y，Z轴分别与机座坐标系的轴分别与机座坐标系的-Y，X，Z轴平行。轴平行。解解2 2：特殊情况坐标系的建立原则特殊情况坐标系的建立原则 Oi A
8、i与与Ai+1关节轴线的交点关节轴线的交点 Zi Ai+1轴线轴线 Xi Zi和和Zi-1构成的面的法线构成的面的法线 Yi 右手定则右手定则 xiyi两个关节轴相交两个关节轴相交两个关节轴线平行两个关节轴线平行 先建立先建立 00i-1i-1然后建立然后建立00i+1i+1最后建立最后建立 00i i 举例：举例：StanfordStanford机器人机器人A1A2A3A4A5A6d1z1x1y1O1d2z2x2y2O2z3y3x3O3y4z4x4O4z5y5x5O5d3z6x6y6O6d6z0y0 x0O0为右手坐标系为右手坐标系原点原点Oi：Ai与与Ai+1关节轴线的交点关节轴线的交点Z
9、i轴：与轴：与Ai+1关节轴关节轴重合，指向任意重合，指向任意 Xi轴：轴：Zi和和Zi-1构构成的面的法线成的面的法线Yi轴：按右手定则轴：按右手定则 Li 沿沿 xi 轴，轴，zi-1 轴与轴与 xi 轴交点到轴交点到 0i 的距离的距离i 绕绕 xi 轴，由轴，由 zi-1 转向转向zidi 沿沿 zi-1 轴，轴，zi-1 轴和轴和 xi 交点至交点至0i 1 坐标系原坐标系原 点的距离点的距离i 绕绕 zi-1 轴，由轴，由 xi-1转向转向 xi解：解：用未知的逆变换逐次左乘，由乘得的矩阵用未知的逆变换逐次左乘，由乘得的矩阵方程的元素决定未知数，即用逆变换把一方程的元素决定未知数，
10、即用逆变换把一个未知数由矩阵方程的右边移到左边个未知数由矩阵方程的右边移到左边 求解这个未知数求解这个未知数 把下一个未知数移到左边把下一个未知数移到左边重复上述过程，直到解出所有解重复上述过程，直到解出所有解 运动学逆问题解法运动学逆问题解法Paul 等人提出的方法等人提出的方法:Paul 等人提出的方法等人提出的方法机器人末端操作器位姿的其它描述方法机器人末端操作器位姿的其它描述方法用矩阵表示刚性体的转动简化了许多运算，用矩阵表示刚性体的转动简化了许多运算，但它需要但它需要9 9个元素来完全描述旋转刚体的姿个元素来完全描述旋转刚体的姿态，因此矩阵并不直接得出一组完备的广义态，因此矩阵并不直
11、接得出一组完备的广义坐标。坐标。一组广义坐标应能描述转动刚体相对于参考一组广义坐标应能描述转动刚体相对于参考坐标的方向，被称为欧拉角的三个角度，坐标的方向，被称为欧拉角的三个角度，、就是这种广义坐标。就是这种广义坐标。有几种不同的欧拉角表示方法，它们均可描有几种不同的欧拉角表示方法，它们均可描述刚体相对于固定参考系的姿态。三种最常述刚体相对于固定参考系的姿态。三种最常见的欧拉角类型列在表中见的欧拉角类型列在表中 3 3种种最常见的欧拉角类型最常见的欧拉角类型步步1步步2步步3类类型型1绕绕OZ轴转轴转角角绕绕当前当前OU 轴转轴转角角绕绕当前当前OW轴转轴转角角类类型型2绕绕OZ轴转轴转角角绕
12、绕当前当前OV 轴转轴转角角绕绕当前当前OW轴转轴转角角类类型型3绕绕OX轴转轴转角角绕绕OY轴转轴转角角绕绕OZ轴转轴转角角uvwx(u)y(v)z(w)ouvwuvW类型类型1：表示法通常用于陀螺运动：表示法通常用于陀螺运动 类型类型2：所得的转动矩阵为右乘所得的转动矩阵为右乘 类型类型3：一般称此转动的欧拉角一般称此转动的欧拉角为横滚、俯仰和偏航角，这种形为横滚、俯仰和偏航角，这种形 式主要用于航空工程中分析飞行式主要用于航空工程中分析飞行器的运动，其旋转矩阵为（这种器的运动，其旋转矩阵为（这种方法也叫做横滚、俯仰和偏航角方法也叫做横滚、俯仰和偏航角表示方法）表示方法）斯坦福机器人运动学
13、逆问题解斯坦福机器人运动学逆问题解式中：式中：由两端矩阵对应元素相等可得：由两端矩阵对应元素相等可得：作三角变换：作三角变换：式中：式中：得到：得到：即有：即有：（）由由1,4和和2,4元素对应相等，得：元素对应相等，得：式中第四列：式中第四列：式中第三列式中第三列：微动矩阵和微动齐次变换微动矩阵和微动齐次变换对象对象:微动矩阵主要是描述机器人在微动微动矩阵主要是描述机器人在微动范围内各关节的位移运动关系范围内各关节的位移运动关系定义定义:各关节当角度移小于各关节当角度移小于5时，平移在时，平移在0.1mm左右时，微动矩阵大致可用左右时，微动矩阵大致可用 设：设：有一机器人如图，末端执行器在机
14、座坐标系中的有一机器人如图，末端执行器在机座坐标系中的齐次变换为齐次变换为oTN，做做微动，微动，绕任意轴绕任意轴w轴转轴转 ；绕绕各坐标轴平移各坐标轴平移dxdx,dydy,dzdz求：求：在在 中的位置和姿态中的位置和姿态.定义定义 为微动齐次变换矩阵为微动齐次变换矩阵 在在忽略高次项忽略高次项的情况下：微的情况下：微动齐次变换与动齐次变换与次序无关次序无关 微动平移和微动旋转的齐次变换：微动平移和微动旋转的齐次变换：平移：平移：旋转旋转R R ，绕任意轴绕任意轴 旋转旋转 角角:在在微微动动范范围围内内绕绕经经意意轴轴转转动动 角角,可可以以看看作作绕绕x,y,zx,y,z轴轴的的微微转
15、转动的合成。因此：动的合成。因此：因此：因此：因此微动率因此微动率=微动的齐次变换：微动的齐次变换：dT=T 己知变换矩阵己知变换矩阵 转动：转动：平移平移：求求d T 解：解：反过来：如果我们要求反过来：如果我们要求 在在 中的齐次交换矩阵为中的齐次交换矩阵为 实际测得的为实际测得的为 那么末端执行器坐标系要如何运动才能到达期望值？那么末端执行器坐标系要如何运动才能到达期望值？转动：转动：平移平移：等效微动位移的求解等效微动位移的求解前面研究的是动坐标系前面研究的是动坐标系On在在Oo中的中的b变换为变换为T，相对于基准坐标系作微平移和相对于基准坐标系作微平移和微转动，来求微动齐次交换。微转
16、动，来求微动齐次交换。现在我们研究动坐标系现在我们研究动坐标系 On相对于自身相对于自身坐标系做了微位移或微转动，达到绕基坐标系做了微位移或微转动，达到绕基准坐标同样的效果则如何求解。准坐标同样的效果则如何求解。dT=T （绕基准坐标系）绕基准坐标系）=TT（绕动坐标系）绕动坐标系）左乘左乘,绕基准绕基准右乘右乘,绕动坐标轴绕动坐标轴强调等效强调等效设：设：有：有：绕自身轴的微动率绕自身轴的微动率和绕固定坐标系坐标轴的微动和绕固定坐标系坐标轴的微动率率之间的什么关系之间的什么关系，举例说明：举例说明：例：一动坐标系相对于固定坐标系的齐例：一动坐标系相对于固定坐标系的齐 次交换为次交换为 nsa
17、p己知相对固定坐标系的微己知相对固定坐标系的微动平移和转动动平移和转动 求：求：与与 求求dT 求与之等效的绕动坐标系的微平移和微转动求与之等效的绕动坐标系的微平移和微转动 解：解：=解解：解解：绕自身平移和转动绕自身平移和转动其结果等于绕固定坐标系转其结果等于绕固定坐标系转动和旋转动和旋转 等效等效说说明明：如如果果我我们们发发现现末末端端操操作作器器相相对对于于基基准准坐坐标标系系有有了了微微位位移移（平平移移或或转转动动）,我我们们可可以以认认为为末末端端操操作作器器相相对对于于自自己己的的坐坐标标系系发发生生了了微微位位移移。只只是是微微动动率率和和不不同而己。其结果是等效的。同而己。
18、其结果是等效的。这些在进行误差补偿和微动时有用这些在进行误差补偿和微动时有用,如产生误差如产生误差 如何补偿？可以反向运动末端关节来补偿如何补偿？可以反向运动末端关节来补偿微动齐次变换的意义微动齐次变换的意义误差及误差补偿误差及误差补偿制造和检测误差制造和检测误差运算过程中圆整、插补、拟合造成的误差运算过程中圆整、插补、拟合造成的误差原理性误差原理性误差构件承受的负载、加速度、重力的变形误差构件承受的负载、加速度、重力的变形误差传动误差传动误差环境影响误差环境影响误差误差来源：误差来源：单关节补偿单关节补偿多关节补偿多关节补偿误差补偿：误差补偿：单关节补偿：单关节补偿：忽略高次项：忽略高次项：绕自身绕自身绕绕 i-1 多关节补偿：多关节补偿：并联机器人运动学并联机器人运动学燕山大学燕山大学 黄真黄真 并联机器人机构学理论及其控制并联机器人机构学理论及其控制