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1、第三章第三章 插值方法插值方法3.1 代数插值问题代数插值问题3.2 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式3.3 分段线性插值分段线性插值3.4 三次样条插值三次样条插值约瑟夫约瑟夫路易斯路易斯拉格朗日，拉格朗日，(Joseph-Louis Lagrange，1736年年1月月25日日1813年年4月月10日日)，是是法国法国籍籍意大利意大利裔裔数学家数学家和和天文学家天文学家。拉格朗日一生才华横溢，在拉格朗日一生才华横溢，在数学数学、物理物理和和天文天文等领域做出了很多重大的等领域做出了很多重大的贡献。他的成就包括著名的贡献。他的成就包括著名的拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理，创立了创立了拉
2、格朗日力学拉格朗日力学等等。等等。现实中，往往需要从有限的数据出发，寻求一函数现实中，往往需要从有限的数据出发，寻求一函数近似表达式，借以反映这些数据的客观规律，从而近似表达式，借以反映这些数据的客观规律，从而推测出所需要的数据。这种情况在科学计算和图像推测出所需要的数据。这种情况在科学计算和图像处理中普遍存在，往往需要用到插值的处理中普遍存在，往往需要用到插值的方法予以解决。方法予以解决。如计算机处理粗糙图形或分辨率低的图像如计算机处理粗糙图形或分辨率低的图像插值法插值法-图形精美或分辨率提高图形精美或分辨率提高。xyxixi+1xmyi=f(xi)p(x)f(x)yi+1yiy=p(x)y
3、=f(x)3.1 代数插值问题 3.1 代数插值问题 yj=f(xj)P(x)已知某个函数关系已知某个函数关系y=f(x)在某些离散点上的函数值：在某些离散点上的函数值：yj=P(xj),j=0,1,n 插值函数插值函数插值条件插值条件常用的方法：常用的方法：P(x)为多项式为多项式Pn(x)Pn(x)n次代数插值多项式次代数插值多项式（1）n=1:P1(x)=a0+a1x（2）n=2:P2(x)=a0+a1x+a2x2 线性插值线性插值抛物插值抛物插值3.1 代数插值问题 定理3.1(插值多项式存在的唯一性)插值节点x0,x1,x2,xn是n+1个互异的点，满足条件Pn(xj)=yj(j=0
4、,1n)的n次多项式是存在而且唯一的。3.1 代数插值问题 插值条件插值条件3.1 代数插值问题 Pn(x)由由a0,a1,an 唯一确唯一确定定 3.1 代数插值问题 方程组有唯一解得充要条件是系数矩阵的行列式值不为方程组有唯一解得充要条件是系数矩阵的行列式值不为0 0 系数矩阵的行列式正是系数矩阵的行列式正是n+1n+1个互异插值节点个互异插值节点构成的范德蒙构成的范德蒙德行列式德行列式线性插值线性插值(x0,y0)(x1,y1)xx00 xx11y=f(x)L1(x)=a0 +a1x L1(x)a0 +a1x0=y0 a0 +a1x1=y1 线性插值线性插值 基本插值多项式基本插值多项式
5、L1(x)L1(x)变换成两个函数值y0和y1的线性组合，组合系数是两个线性函数-拉格朗日线性插值基函数：例：求例：求例：求例：求（10.723805）线性插值线性插值 x100121y1011L1(115)xx00 xx22xx11y=f(x)L2(x)抛物插值抛物插值(二次插值二次插值)L2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2插值条件L2(x0)=y0,L2(x1)=y1,L2(x2)=y2f(x)=yi,i=0,1,2构造3个类似l0(x)=c(x-x1)(x-x2)二阶多项式求l0(x),l1(x),l2(x)抛物插值抛物插值 L2(x)=l0(x)y0+l1(x)y
6、1+l2(x)y2例：求例：求例：求例：求（x*=10.723805）x100121144y101112抛物插值抛物插值 L2(115)n次拉格朗日插值多项式 f(x)Ln(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+ln(x)ynLn(xi)=yi (I=0,1,2,n)推广二次拉格朗日插值表达式n次拉格朗日插值多项式 xyxixi+1yi=f(xi)f(x)p(x)yi+1yiy=p(x)y=f(x)插值余项 定理定理3.2设设f(n)(x)在区间在区间a,b上连续，上连续，f(n+1)(x)在在a,b上存在，上存在，x0,x1,xn是是a,b上互异的数，上互异的数，Ln(x)是满足插值条是满足
7、插值条件件Ln(xj)=yj(j=0,1,n)的的n次插值多项式，则对任意次插值多项式，则对任意x a,b，插值余项，插值余项插值余项 插值余项 插值余项 再看P34页例3.33.3 分段线性插值 龙格龙格(Runge)函数函数 将区间将区间-5,5分成分成n等分，构造等分，构造n次插值多项式：次插值多项式：Pn(x)n=2:P2(x)n=3:P3(x)n=10:P10(x)P2(x)P3(x)P10(x)3.3 分段线性插值 Runge 现象现象(或或Runge反例反例)随着插值节点数增加，插值多项式的次数也相应增加，随着插值节点数增加，插值多项式的次数也相应增加，而对于高次插值容易带来剧烈
8、振荡，带来数值不稳定；而对于高次插值容易带来剧烈振荡，带来数值不稳定；越靠近端点逼近的效果越差。即越靠近端点逼近的效果越差。即n 无穷大，无穷大，Pn(x)不不一定能收敛到一定能收敛到f(x).分段低次多项式插值分段低次多项式插值分段插值分段插值分段线性插值分段线性插值分段二次插值分段二次插值3.3 分段线性插值(xi,yi)(xi+1,yi+1)xixi+1L1,i(x)3.3 分段线性插值 3.3 分段线性插值 yxoy=f(x)y=p(x)x0 x1x2x3x4x53.3 分段线性插值 分段二次插值xixi+2xi+1L2,i(x)3.3 分段线性插值 用拉格朗日二次插值求解作业1.已知 习题习题 三三（P46）3.23.7