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1、一般线性电路的动态分析一般线性电路的动态分析-拉氏变换法拉氏变换法 9.1 9.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换一、应用拉普拉斯变换的理论背景一、应用拉普拉斯变换的理论背景 对具有对具有多个储能元件多个储能元件的复杂电路的复杂电路动态分析动态分析，以，以前只能用求解微分方程的方法，十分困难。前只能用求解微分方程的方法，十分困难。拉普拉斯变换和傅里叶变换都是一种积分变换。拉普拉斯变换和傅里叶变换都是一种积分变换。利用该变换，可以将电路的微分方程求解变成代数利用该变换，可以将电路的微分方程求解变成代数方程求解；可以将过渡过程的动态分析，变成纯电方程求解；可以将过渡过程的动态分析，变成纯电阻电路的静态分
2、析，使分析过程大大简化。阻电路的静态分析，使分析过程大大简化。所以拉普拉斯变换法是求解所以拉普拉斯变换法是求解高阶高阶复杂动态电路复杂动态电路的有效而重要的方法。的有效而重要的方法。二、拉普拉斯变换的定义二、拉普拉斯变换的定义1、拉普拉斯变换、拉普拉斯变换一个定义在一个定义在0，)区间的函数区间的函数f(t)，它的拉普，它的拉普拉斯变换式拉斯变换式F(s)定义为定义为式中式中 s=+j为复数，为复数，F(s)称为称为f(t)的的象函数象函数，f(t)称为称为F(s)的的原函数原函数。注意：注意：积分的下限积分的下限 0-定义中拉氏变换的积分从定义中拉氏变换的积分从t=0-开始，可以计及开始，可
3、以计及t=0-0+时时f(t)包含的冲激，从而给计算存在包含的冲激，从而给计算存在冲激函数冲激函数电压和电流的电电压和电流的电路带来方便。路带来方便。2、拉普拉斯反变换、拉普拉斯反变换通常可以通常可以L L 符号表示对方括号里的时域函符号表示对方括号里的时域函数作拉氏变换；数作拉氏变换；用符号用符号L L-1-1 表示对方括号里的复变函数作表示对方括号里的复变函数作拉氏拉氏反变换反变换。注意：注意：拉普拉斯正变换、反变换必须一一对应！拉普拉斯正变换、反变换必须一一对应！例：求以下函数的象函数：例：求以下函数的象函数：（1）单位阶跃函数；（复习相关知识）单位阶跃函数；（复习相关知识）（2）单位冲
4、激函数；）单位冲激函数；（复习相关知识）（复习相关知识）（3）指数函数。）指数函数。解解：（：（1）单位阶跃函数单位阶跃函数 f(t)=(t)（2）单位冲激函数；）单位冲激函数；f(t)=(t)=e-s(0)=1（3）指数函数；）指数函数；f(t)=eata为实数为实数例：例：RLC串联电路，串联电路，求电流求电流i(t)=?+_u(t)i(t)S_uc(t)RL设电源电压为设电源电压为u(t)，电感中初始电流为，电感中初始电流为i(0-)，电容，电容中初始电压为中初始电压为uc(0-)。SR+_+_u(t)i(t)S_ uc(t)RLU(s)+_uc(0-)/s1/sCsL+_Li(0-)运
5、算电路图运算电路图I(s)SR+_U(s)+_uc(0-)/s1/sCsL+_Li(0-)整理后有整理后有I(s)求出求出I(s)，再求其拉普拉斯反变换，再求其拉普拉斯反变换，得到得到i(t)9.2 拉普拉斯变换的基本性质一、线性性质设设f1(t)和和f2(t)是两个任意的时间函数，它们的是两个任意的时间函数，它们的象函数分别为象函数分别为F1(s)和和F2(s)，A1和和A2是两个任意实常是两个任意实常数，数，LA1f1(t)+A2f2(t)=A1 F1(s)+A 2F2(s)=A1L f1(t)+A2Lf2(t)例：求以下函数的象函数：例：求以下函数的象函数：（1）f(t)=sin(t)（
6、2）f(t)=K(1-e-at)解解：（：（1）（2）f(t)=K(1-e-at)LK(1-e-at)=LK-Le-at二、微分性质二、微分性质函数函数f(t)的象函数与其导数的象函数与其导数f(t)=df(t)/dt的象函的象函数之间有如下关系数之间有如下关系若若Lf(t)=F(s)则则Lf(t)=sF(s)-f(0-)例：利用导数性质求以下函数的象函数：例：利用导数性质求以下函数的象函数：（1）f(t)=cos(t)（2）f(t)=(t)解解：（：（1）s-0（2）由于由于(t)=d(t)/dt=1f(t)=(t)=s-0在RLC例子中应用！三、积分性质三、积分性质函数函数f(t)的象函数
7、与其积分的象函数与其积分若若Lf(t)=F(s)则则的象函数之间有如下关系的象函数之间有如下关系例：利用积分性质求函数例：利用积分性质求函数f(t)=t的象函数的象函数解解：f(t)=tLf(t)=在RLC例子中应用！四、延迟性质四、延迟性质函数函数f(t)的象函数与其延迟函数的象函数与其延迟函数f(t-t0)的象函数的象函数之间有如下关系之间有如下关系若若Lf(t)=F(s)则则Lf(t-t0)=Otf(t)T例：求例：求f(t)的象函数的象函数解：解：f(t)=A(t)A-A(t-T)Lf(t)=A/s-A/s e-sTOtf(t)Otf(t)f(t)+f(t)五、位移性质五、位移性质函数
8、函数f(t)与与eat乘积的象函数乘积的象函数若若Lf(t)=F(s)则则Lf(t)eat=F(s-a)结论：结论：由此可见，根据拉氏变换的性质，可以简化由此可见，根据拉氏变换的性质，可以简化常用函数的拉普拉斯变换。常用函数的拉普拉斯变换。常用函数的拉氏变换及反变换对应表常用函数的拉氏变换及反变换对应表原函数原函数f(t)象函数象函数F(s)A(t)A(t)Ae-at1-e-atsin(t)AA/se-atsin(t)常用函数的拉氏变换及反变换对应表常用函数的拉氏变换及反变换对应表原函数原函数f(t)象函数象函数F(s)e-atcos(t)t e-attcos(t)常用函数的拉氏变换表见教材。
9、常用函数的拉氏变换表见教材。9.3 拉普拉斯反变换一、部分分式展开法电路响应的象函数通常可表示为两个实系数电路响应的象函数通常可表示为两个实系数的的s的多项式之比，即的多项式之比，即s的一个有理分式的一个有理分式式中式中m和和n为正整数，且为正整数，且nm。分解定理：分解定理：把把F(s)分解成若干简单项之和，而这些简单分解成若干简单项之和，而这些简单项可以在拉氏变换表中找到再相加，这种方法称为项可以在拉氏变换表中找到再相加，这种方法称为部分分式展开法，或称为部分分式展开法，或称为分解定理分解定理。具体步骤：具体步骤：1）用部分分式展开有理分式）用部分分式展开有理分式F(s)时，需要把有理分时
10、，需要把有理分式化为真分式。式化为真分式。(一般一般nm，已为真分式，这步不，已为真分式，这步不必。必。)若若n=m，则，则2)用部分分式展开真分式时，需要对分母多项用部分分式展开真分式时，需要对分母多项式作因式分解，先求出式作因式分解，先求出D(s)=0的根，的根，D(s)=0的的根可以是三种情况：根可以是三种情况：单根单根共轭复根共轭复根重根重根二、二、D(s)=0具有单根的情况具有单根的情况如果如果D(s)=0有有n个单根，设个单根，设n个单根分别是个单根分别是p1、p2、pn。于是于是F(s)可以展开为可以展开为Ki=(s-pi)F(s)s=pi待定系数的另一个公式为待定系数的另一个公
11、式为确定了待定系数后，相应的原函数为确定了待定系数后，相应的原函数为其中待定系数其中待定系数K2、K3、Kn的计算公式为：的计算公式为：例：求例：求F(s)的原函数的原函数解：解：D(s)=0的根为的根为p1=0p2=-2p3=-5D(s)=3s2+14s+10=0.1同理求得：同理求得：K2=0.5-0.6e-5tf(t)=0.1+0.5e-2tK3=-0.6三、三、D(s)=0的具有共轭复根的情况的具有共轭复根的情况p1=a+jp2=a-jK1=(s-a-j)F(s)s=a+jK2=(s-a+j)F(s)s=a-j设设K1=|K1|e j1，则，则K2=|K1|e-j1注意：只求复数注意：
12、只求复数K1即可即可例：求例：求F(s)的原函数的原函数解：解：D(s)=0的根为的根为p1=-1+j2p2=-1-j2=0.5-j0.5s2+2s+5=0s2+2s+1+4=0(s+1)2+4=0式中式中K11=(s-p1)qF(s)|s=p1四、四、D(s)=0具有重根的情况具有重根的情况例：求例：求F(s)的原函数的原函数解：解：D(s)=0的根为的根为p1=-1为三重根为三重根p2=0为二重根为二重根首先以首先以(s+1)3乘以乘以F(s)得得K11=(s-p1)3F(s)|s=p1=1=3=2同理可求得同理可求得K21=1K22=-3所以所以相应的原函数为相应的原函数为f(t)=3e
13、-t+2te-t+0.5t2e-t-3+t9.4 拉普拉斯变换电路图一、电路定律的运算形式根据拉氏变换的线性性质得出基尔霍夫定律根据拉氏变换的线性性质得出基尔霍夫定律的运算形式如下：的运算形式如下：对于任一结点对于任一结点I(s)=0对于任一回路对于任一回路U(s)=0本节的意义：本节的意义：在电路图上电路图上完成拉普拉斯变换，从而将电路复杂的过渡过程动态分析，变成纯电阻电路纯电阻电路的简单静态分析，使分析过程大大简化。二、各元件电压电流关系的运算形式二、各元件电压电流关系的运算形式1、电阻元件、电阻元件瞬时值之间的关系瞬时值之间的关系i(t)R+u(t)-u(t)=Ri(t)运算形式运算形式
14、I(s)R+U(s)-U(s)=RI(s)2、电感元件、电感元件瞬时值之间的关系瞬时值之间的关系i(t)L+u(t)-u(t)=Ldi(t)/dt运算形式运算形式U(s)=sLI(s)-Li(0-)I(s)+U(s)-sL变换之后的电路图：变换之后的电路图：Li(0-)_+sL为电感的运算阻抗为电感的运算阻抗,i(0-)表示电感中的初始电流表示电感中的初始电流,Li(0-)表示表示附加电压源附加电压源的电压，它反映了电感的电压，它反映了电感中初始电流的作用。中初始电流的作用。注意：注意：1、附加电压源的方向、附加电压源的方向 2、电感两端电压的实际位置、电感两端电压的实际位置3、电容元件、电容
15、元件瞬时值之间的关系瞬时值之间的关系i(t)=Cdu(t)/dt运算形式运算形式I(s)=i(t)C+u(t)-sCU(s)-Cu(0-)I(s)+U(s)-1/sCu(0-)/s_+1/sC为电容的运算阻抗为电容的运算阻抗,u(0-)表示电容两端的初始电压表示电容两端的初始电压,u(0-)/s表示表示附加电压源附加电压源的电压，它反映了电容的电压，它反映了电容两端初始电压的作用。两端初始电压的作用。注意：注意：1、附加电压源的方向、附加电压源的方向 2、电感两端电压的实际位置、电感两端电压的实际位置例：例：RLC串联电路，串联电路，求电流求电流i(t)=?+_u(t)i(t)S_uc(t)R
16、L设电源电压为设电源电压为u(t)，电感中初始电流为，电感中初始电流为i(0-)，电容，电容中初始电压为中初始电压为uc(0-)。SR+_+_u(t)i(t)S_ uc(t)RLU(s)+_uc(0-)/s1/sCsL+_Li(0-)运算电路图运算电路图I(s)SR+_U(s)+_uc(0-)/s1/sCsL+_Li(0-)整理后有整理后有I(s)求出求出I(s)，再求其拉普拉斯反变换，再求其拉普拉斯反变换，得到得到i(t)例例1：电路原处于稳态。电路原处于稳态。t=0时开关时开关S闭合，试用运算闭合，试用运算法求解电流法求解电流i1(t)。11H+1V-1FS(t=0)1i1S(t=0)解：
17、电路的运算电路为解：电路的运算电路为1s+1/s-1/s1I1(s)11H+1V-1FS(t=0)1i1+1/s-S(t=0)1s+1/s-1/s1I1(s)+1/s-Ia(s)Ib(s)应用网孔法应用网孔法Ia(s)Ib(s)=Ia(s)Ib(s)=(1+s+1/s)1/s-1/s1/s-1/s-+(1+1/s)1/sS(t=0)1s+1/s-1/s1I1(s)+1/s-Ia(s)Ib(s)解得解得I1(s)=Ia(s)i1(t)=0.5(1-e-tcost-e-tsint)A注：返回P41例例2：电路原处于稳态，电路原处于稳态，t=0时将开关时将开关S闭合，求闭合，求t0时时的的uL(t)
18、，已知，已知uS1为指数电压，为指数电压，uS1=2e-2t V，uS2为直为直流电压，流电压，uS2=5V。+uS1-+uS2-551H+uL-uS1=2e-2t VuS2=5V+uS1-+uS2-551H+uL-55+-+-+s+UL(s)Li(0-)+-解：运算电路图解：运算电路图55+-+-+sLi(0-)+UL(s)-应用结点电压法应用结点电压法UL(s)=1/5+1/5+1/s+-+其中：其中：i(0-)=1A注：数据及时带入！UL(s)=uL(t)=(-4e-2t+5e-2.5t)V例例3：开关开关S原来闭合，求打开原来闭合，求打开S后电路中的电流及电后电路中的电流及电感元件上的
19、电压。感元件上的电压。+10V-230.3H0.1HS+10V-230.3H0.1HS23+10/s-0.3s0.1s1.5-+解：解：K打开后的运算电路图打开后的运算电路图（本题难点在电感电流的换路跃变）（本题难点在电感电流的换路跃变）23+10/s-0.3s0.1s1.5-+I(s)i(t)=(2Ot(s)i(A)253.75+1.75e-12.5t)A+10V-230.3H0.1HS但开关打开后，但开关打开后，L1和和L2的电流在的电流在t=0+时都被时都被强制为同一电流，强制为同一电流，5A电感电感L1中原有电路为中原有电路为电感电感L2中原有电流为中原有电流为0Ai(0+)=3.75
20、A23+10/s-0.3s0.1s1.5-+I(s)UL1(s)=0.3sI(s)-1.5uL1(t)=-6.56e-12.5t-0.375(t)VUL2(s)=0.1sI(s)uL2(t)=-2.19e-12.5t+0.375(t)V注意：原因在于，注意：原因在于，2个电压表达式中都出现个电压表达式中都出现冲击函数，说明发生跃变现象！冲击函数，说明发生跃变现象！+10V-230.3H0.1HS可见两个电感的可见两个电感的电流电流都发生了都发生了跃变跃变。由于电流的跃变，电感由于电流的跃变，电感L1和和L2的电压中有冲激的电压中有冲激函数出现。函数出现。但两者大小相同而方向相反，故在整个回路，
21、但两者大小相同而方向相反，故在整个回路，不会出现冲激电压，保证满足不会出现冲激电压，保证满足KVL。跃变对整个求解过程没带来任何困难，显示拉跃变对整个求解过程没带来任何困难，显示拉式变换比较经典法的优势！式变换比较经典法的优势！注：用上学期将的三要素法作一次；配合磁链守恒注：用上学期将的三要素法作一次；配合磁链守恒9.5 9.5 应用拉氏变换进行线性电路暂态分析应用拉氏变换进行线性电路暂态分析一、运算法和相量法的比较一、运算法和相量法的比较1、相量法、相量法相量法把相量法把正弦量正弦量变换为相量（复数），从而变换为相量（复数），从而把求解线性电路的正弦稳态问题归结为以相量为把求解线性电路的正弦
22、稳态问题归结为以相量为变量的线性代数方程，正弦稳态电路归结成为变量的线性代数方程，正弦稳态电路归结成为纯纯电阻电阻电路分析。电路分析。2、运算法、运算法运算法把运算法把时间函数时间函数变换为对应的象函数，从变换为对应的象函数，从而把求解微分方程归结为求解线性代数方程问题，而把求解微分方程归结为求解线性代数方程问题，动态电路的过渡过程归结为动态电路的过渡过程归结为纯电阻纯电阻电路分析。电路分析。运算法的解题步骤运算法的解题步骤1、计算计算uC(0-)和和iL(0-)2、画出运算电路图画出运算电路图注意注意:a.电感和电容的附加电压源电感和电容的附加电压源b.各元件的参数各元件的参数:电阻参数不变电阻参数不变电感参数为电感参数为sL电容参数为电容参数为1/sCc.原电路原电路中的电源进行拉氏变换中的电源进行拉氏变换3、列电阻性质的方程列电阻性质的方程4、求解响应的象函数求解响应的象函数5、拉氏反变换求得出所求响应的时域解。拉氏反变换求得出所求响应的时域解。