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1、第十二章第十二章 能量原理及其应用能量原理及其应用 在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能，简形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能，简称应变能。称应变能。物体在外力作用下发生变形，物体的应变能物体在外力作用下发生变形，物体的应变能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功，即所做的功，即(功能原理）功能原理）能量法：能量法：从功和能的角度出发，分析从功和能的角度出发，分析 杆件的内力、应力和位移。杆件的内力、应力和位移。12-1 12-1 杆件的应变能杆件的应变能一、杆件应变
2、能计算一、杆件应变能计算1 1、轴向拉伸和压缩、轴向拉伸和压缩U2 2、扭转、扭转当当MT=MT(x)或截面变化或截面变化A=A(x)时，可取微段：时，可取微段：MT3 3、弯曲、弯曲纯弯曲：纯弯曲：横力弯曲：横力弯曲：U结论结论：1 1、杆件应变能在数值上等于变形过程中外力所、杆件应变能在数值上等于变形过程中外力所做的功。做的功。2 2、线弹性范围内，若外力从、线弹性范围内，若外力从0 0缓慢的增加到最终缓慢的增加到最终值：值：其中其中：F-广义力广义力-广义位移广义位移拉、压：拉、压：扭转：扭转：弯曲：弯曲：二、应变能的普遍表达式二、应变能的普遍表达式 假设任一时刻各力的大小分别为假设任一
3、时刻各力的大小分别为 、l l从从0 0开始缓慢变到最终值开始缓慢变到最终值1 1 作用在物体上的外力为作用在物体上的外力为外力作用点沿外力方向的位移为外力作用点沿外力方向的位移为Fi、i分别称作广义力和与广义力相应的广义位移。分别称作广义力和与广义力相应的广义位移。其中其中1为为1点的挠度，点的挠度，2为为2点的转角，点的转角，3为分布载荷为分布载荷F3作用区段作用区段挠曲线覆盖的面积，挠曲线覆盖的面积，则任意时刻第则任意时刻第i个力作用位置沿个力作用位置沿 方向的位移为方向的位移为给l一个增量dl，外力做元功为可得根据功能原理，物体的应变能应为 上式表明上式表明线弹性体在小变形线弹性体在小
4、变形时的应变能等于各外力与其相应时的应变能等于各外力与其相应位移乘积的二分之一的总和。这一结论称为位移乘积的二分之一的总和。这一结论称为克拉贝依隆克拉贝依隆(ClapeyronClapeyron)原理。原理。对于多个载荷共同作用时，应变能的计算公式仍可用外力功表示，即 多个载荷共同作用时，结构的应变能等于各载荷在相多个载荷共同作用时，结构的应变能等于各载荷在相应位移（载荷作用点处沿载荷作用方向的位移）上所作功应位移（载荷作用点处沿载荷作用方向的位移）上所作功之和，称为之和，称为克拉贝隆定理克拉贝隆定理。对于由线弹性材料制成的线性结构，内力和位移只与对于由线弹性材料制成的线性结构，内力和位移只与
5、载荷最终值有关，与加载过程无关，因而对于非比例加载载荷最终值有关，与加载过程无关，因而对于非比例加载的一般情况，也是正确的。注意到导出式的过程并没有论的一般情况，也是正确的。注意到导出式的过程并没有论及结构特点，因而式是线性结构的普遍定理之一。及结构特点，因而式是线性结构的普遍定理之一。克拉贝隆定理的证明从略克拉贝隆定理的证明从略三、组合变形的应变能三、组合变形的应变能 截面上存在几种内力，截面上存在几种内力，各个内力及相应的各个位各个内力及相应的各个位移相互独立，力独立作用移相互独立，力独立作用原理成立，各个内力只对原理成立，各个内力只对其相应的位移做功其相应的位移做功。注意：注意：上式中各
6、项是对内力分量平方的积分，故恒上式中各项是对内力分量平方的积分，故恒为正值。且对产生同一种变形形式的荷载，不能采用为正值。且对产生同一种变形形式的荷载，不能采用叠加原理。叠加原理。弹性变形的最终状态仅与荷载的终值有关，因此，弹性变形的最终状态仅与荷载的终值有关，因此，弹性变形能的计算与加载次序无关。弹性变形能的计算与加载次序无关。例例12-112-1 如图示悬臂梁受到力如图示悬臂梁受到力F F作用，该作用，该梁长度为梁长度为l l，截面为圆形，直径为，截面为圆形，直径为d d，且，且l=5dl=5d。材料的弹性模量为。材料的弹性模量为E E，试求该梁的，试求该梁的应变能应变能U U。解：解：注
7、意到力F的方向与杆轴不重合，因而梁A受到拉伸与弯曲的组合作用，其中轴力FN=Fcos45，弯矩M=Fxcos45因为A=d2/4，I=d4/64，l=5d，则应变能应变能U为为例：例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用试求图示悬臂梁的应变能，并利用功能原理功能原理求自由求自由端端B的挠度的挠度。xA解：解：例：例：试求图示梁的应变能，并利用试求图示梁的应变能，并利用功能原理功能原理求求C截面的挠截面的挠度。度。解：解：例例3 3：轴线为半圆形的平面曲杆，作用于轴线为半圆形的平面曲杆，作用于A端的集中力端的集中力P垂垂直于轴线所在的平面。试求直于轴线所在的平面。试求A点的垂直位移。已知点的垂直位移。
8、已知GIp、EI为常量。为常量。A解：解：AU例例 抗弯刚度为抗弯刚度为EIEI的悬臂梁受三角形分布荷载的悬臂梁受三角形分布荷载作用，梁的材料是线弹性体，且不计剪应变对挠作用，梁的材料是线弹性体，且不计剪应变对挠度的影响。试计算悬臂梁自由端的挠度。度的影响。试计算悬臂梁自由端的挠度。BAL用功能原理有什么问题吗用功能原理有什么问题吗？二、功的互等定理二、功的互等定理 第一组力完成的功为 先作用第一组力F11、F12、F1n 引起各力作用位置沿力方向的位移分别为再作用第二组力F21、F22、F2n 引起第二组力各作用点沿力作用方向的位移分别 并引起第一组力各作用点沿力作用方向的位移分别为 12-
9、2 12-2 互等定理互等定理 对线弹性结构，应用应变能的概念，可以导出功的互等定理和位对线弹性结构，应用应变能的概念，可以导出功的互等定理和位移的互等定理，在结构分析中有重要的作用。移的互等定理，在结构分析中有重要的作用。1.1.先加第一组力后加第二组力，结构应变能为先加第一组力后加第二组力，结构应变能为 2.2.先加第二组力后加第一组力，结构应变能为先加第二组力后加第一组力，结构应变能为 为作用第一组力时，引起第二组力作用点沿力方向的位移 可得 由 功的互等定理功的互等定理：第一组力在第二组力引起的位移上所第一组力在第二组力引起的位移上所做的功，等于第二组力在第一组力引起的位移上所做的功做
10、的功，等于第二组力在第一组力引起的位移上所做的功。则 假如第一组力只有 ，第二组力只有 当得 如果如果F F1111=F F2222，则，则F F1111作用位置沿作用位置沿F F1111方向因作用方向因作用F F2222而引起的位而引起的位移，等于移，等于F F2222作用位置沿作用位置沿F F2222方向因作用方向因作用F F1111而引起的位移，这就是而引起的位移，这就是位移互等定理位移互等定理。例例 抗弯刚度为抗弯刚度为EI的简支梁承受均布载荷的简支梁承受均布载荷q，已知其跨中挠度，已知其跨中挠度 ，如图如图a所示。试用功的互等定理求该梁承受跨中载荷所示。试用功的互等定理求该梁承受跨中
11、载荷F时（图时（图b），梁挠曲线），梁挠曲线与原始轴线所围成的面积。与原始轴线所围成的面积。第一组力F作用时：梁上各点的挠度为 挠曲线与原始轴线围成的面积 第二组力q作用时，它在梁跨中引起的挠度为vc 因此 第一组力F 引起的位移第二组力q 引起的位移根据功的互等定理根据功的互等定理例例 装有尾顶针的车削工件可简化成超静定梁，装有尾顶针的车削工件可简化成超静定梁，如图所示，不计剪力的影响，试用功的互等如图所示，不计剪力的影响，试用功的互等定理求尾顶针的约束力。定理求尾顶针的约束力。EI为常数。为常数。解解：这是一个一次超静定结构，解除支座B的约束，把工件看成悬臂梁。将作用在工件上的切削力F和尾
12、顶针约束力 视为第一组力。然后，假想在这悬臂梁的B端作用 的单位力（图b），并将其视为第二组力。在第二组力作用下，用积分法可求得F及 作用点的位移分别为 这样，第一组力在第二组力引起的位移上所做的功为 由于B端实际上是铰支座，在第一组力作用下（图12-7a），它沿第二组力方向的位移只能是零，故第二组力在第一组力引起的位移上所做的功等于零。于是由功的互等定理，得 从而解得 例12-13 如图12-24a所示，单位厚度的任意形状弹性平板，面积为A。该平板由弹性模量E及泊松比的材料制成，受相距a的共线两载荷（F、F）作用，试求平板面积的改变量A。解：此题显然无法直接求解，互等定理求解。为此构造虚拟的
13、载荷系统如图12-24b所示的静水压力p；亦即反向共线力（F、F）为实载荷（第一载荷系统），静水压力p为虚载荷（第二载荷系统）。图12-14 图图a结构在多个载荷结构在多个载荷Fi（i1,2,n）作用下，发生相应的位移）作用下，发生相应的位移i(i1,2,n)。相应位移相应位移表示表示发生在第发生在第i个载荷作用点、沿载荷个载荷作用点、沿载荷Fi方向的位移。根据克拉贝依隆方向的位移。根据克拉贝依隆定理，结构的应变能定理，结构的应变能U为为a）（a）12-3 12-3 卡氏第二定理卡氏第二定理一、卡氏第二定理一、卡氏第二定理 注意到注意到i（i1,2,n）由全部由全部载荷共同产生，则载荷共同产生
14、，则 将式将式(b)代入式代入式(a)，会有，会有（a）于是可有 上式称为卡氏（第二）定理：线弹性结上式称为卡氏（第二）定理：线弹性结构的构的应变能应变能U对对第第i个载荷个载荷Fi的偏导数的偏导数等于等于第第i载荷的作用点处沿第载荷的作用点处沿第i载荷作用方向的位移载荷作用方向的位移 i(i1,2,n)。此处应用了位移互等定理二、卡氏第二定理的应用二、卡氏第二定理的应用 对于线弹性体，对于线弹性体，其应变能对某一荷其应变能对某一荷载载 的偏导数，等的偏导数，等于该荷载的相应位于该荷载的相应位移移 。用用卡氏卡氏定理求结构某处的位移时，该处定理求结构某处的位移时，该处需要有与所求位移相应的荷载
15、。需要有与所求位移相应的荷载。如需计算某处的位移，而该处并无与位如需计算某处的位移，而该处并无与位移对应的荷载，则可采取移对应的荷载，则可采取附加力法附加力法。改变求导和积分的顺序，可得到：改变求导和积分的顺序，可得到：上式为卡氏定理应用于组合变形的通式，解决具体问题上式为卡氏定理应用于组合变形的通式，解决具体问题时，有哪一项，就取哪一项。时，有哪一项，就取哪一项。对横力弯曲对横力弯曲对桁架结构，每根杆件的都是受拉或受压。应变能为对桁架结构，每根杆件的都是受拉或受压。应变能为解：解：求支座约束力求支座约束力 由静力平衡方程得：由静力平衡方程得：列梁各段的弯矩方程及其对载荷的偏导数列梁各段的弯矩
16、方程及其对载荷的偏导数 AC段：BC段：例例图所示简支梁的抗弯刚度图所示简支梁的抗弯刚度EI已知，试求已知，试求截面截面C的挠度的挠度vc。求载荷作用点处的位移求载荷作用点处的位移 C点沿点沿F方向的位移为方向的位移为 例：例：抗弯刚度为抗弯刚度为EIEI的悬臂梁受三角形分布荷载作用，梁的悬臂梁受三角形分布荷载作用，梁的材料是线弹性体，且不计剪应变对挠度的影响。试用的材料是线弹性体，且不计剪应变对挠度的影响。试用卡氏第二定理计算悬臂梁自由端的挠度。卡氏第二定理计算悬臂梁自由端的挠度。BALBAL解：解：A处没有与挠度对应的荷载，处没有与挠度对应的荷载，加一虚拟力加一虚拟力P（零载荷）（零载荷）
17、Pxq(x)P=0P=0()例：例：图示平面折杆图示平面折杆ABAB与与BCBC垂直，在自由端垂直，在自由端C C受集中力受集中力P P作作用。已知该杆各段的横截面面积均为用。已知该杆各段的横截面面积均为A A，抗弯刚度均为抗弯刚度均为EIEI。试用卡氏第二定理求截面试用卡氏第二定理求截面C C的水平位移和铅垂位移。的水平位移和铅垂位移。ACBPaaACBPaa解：解：1 1、求铅垂位移、求铅垂位移xBC段：段：AB段：段：x()ACBPaa2 2、求水平位移、求水平位移加一零载荷加一零载荷FFBC段：段：xAB段：段：x令：令：F=0得得()例例 试用卡氏第二定理求图试用卡氏第二定理求图a所
18、示刚架所示刚架A点的水平位移，点的水平位移，设各杆抗弯刚度均为设各杆抗弯刚度均为EI（计（计算中可略去轴力和剪力的影算中可略去轴力和剪力的影响）。响）。解：解：求支座约束力求支座约束力 由图由图a可可知，知，A、D点载荷同为点载荷同为F，为便，为便于区分起见，令于区分起见，令A点载荷为点载荷为F1，D点载荷记为点载荷记为F2，这时支座，这时支座约束力为约束力为 FEFFyFFx 列出刚架各段的弯矩方程及列出刚架各段的弯矩方程及其对其对F1的偏导数。由于是求的偏导数。由于是求A点的水平位移，则应该对该位点的水平位移，则应该对该位移方向的力移方向的力F1求偏导数。求偏导数。ED段 DC段 BC段
19、，AB段 ，AF段 计算计算A点水平位移点水平位移 根据卡氏定理，根据卡氏定理，A点水平位移为点水平位移为 例例 车床主轴如图所示，在转化为当量轴以后，其抗弯刚度车床主轴如图所示，在转化为当量轴以后，其抗弯刚度EI可视为常量。试求在载荷可视为常量。试求在载荷F作用下，截面作用下，截面B的转角。剪力对的转角。剪力对应变能的影响可以忽略不计。应变能的影响可以忽略不计。列出外伸梁各段的弯矩方程及其对列出外伸梁各段的弯矩方程及其对 的偏导数的偏导数 AB段段 CB段段 ，解：解：增加附加力偶矩并求支座约束力增加附加力偶矩并求支座约束力 在截面在截面B上应增加一个附加力偶矩这时，支座上应增加一个附加力偶
20、矩这时，支座A的约束力为的约束力为 方向如图所示方向如图所示 对于线弹性结构，对于线弹性结构，莫尔积分莫尔积分是应用能量原理是应用能量原理导出的另一种计算杆件、刚架和杆系位移的方导出的另一种计算杆件、刚架和杆系位移的方法。通过引入单位广义力，就可求出结构在任法。通过引入单位广义力，就可求出结构在任意点处的广义位移。意点处的广义位移。莫尔积分可以以多种方法莫尔积分可以以多种方法导出导出12-412-4 单位载荷法单位载荷法 莫尔积分莫尔积分根据根据叠加原理叠加原理和和弯矩是载荷的线性函数，弯矩是载荷的线性函数，弯弯矩可写成：矩可写成：1 1、若所求位移处有实际载荷作用、若所求位移处有实际载荷作用
21、根据偏导数性质根据偏导数性质2 2、若所求位移处无实际载荷作用、若所求位移处无实际载荷作用在应用卡氏定理求杆件或结构上某点沿某方向的位移时，在该点处要在应用卡氏定理求杆件或结构上某点沿某方向的位移时，在该点处要加一个虚拟的广义力加一个虚拟的广义力(F Ff f，M Mf f）。弯矩表达为）。弯矩表达为 对对线弹性体，载荷线弹性体，载荷 产生的弯矩是彼此独立的，为载荷产生的弯矩是彼此独立的，为载荷的线性函数。有的线性函数。有单位载荷作用下的弯矩 上式上式就是计算线弹性结构变形位移的一般就是计算线弹性结构变形位移的一般公式，通常也称为公式，通常也称为莫尔定理。莫尔定理。是是单位载荷法在单位载荷法在
22、线弹性结构中的具体应用线弹性结构中的具体应用 例例 如图所示刚架，如图所示刚架，AB段受均布载荷段受均布载荷q作用。试求作用。试求A A点点的竖直位移的竖直位移vA和截面和截面 B的转角的转角q qB。解解：1.计算计算A点的竖直位移点的竖直位移在在A点加一竖直方向的单位力，列出点加一竖直方向的单位力，列出各段的弯矩方程各段的弯矩方程AB段段 BC段段 用莫尔定理求用莫尔定理求vA 在在B截面加一单位力偶截面加一单位力偶，列出各段的弯矩方程，列出各段的弯矩方程AB段 BC段 用莫尔定理求用莫尔定理求q qB 2.2.计算计算B截面的转角截面的转角q qB 例例 一桁架见图，各杆一桁架见图，各杆EA相同，节点相同，节点B承受集中力承受集中力F和和2F作作用，求杆用，求杆BC的转角。的转角。解解：施加虚拟载荷，求杆件实际内力和虚拟内力施加虚拟载荷，求杆件实际内力和虚拟内力 单位载荷法求杆单位载荷法求杆BC的转角的转角 00AC000lADF1/lFlCD2F-1/l-2FlAB00FlBC长度长度杆名杆名