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1、第十一章积分学 定积分二重积分三重积分积分域 区 间 平面域 空间域 曲线积分曲线积分曲线弧曲线弧曲面域曲面域曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分 目录 上页 下页 返回 结束 第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分 第十一章 目录 上页 下页 返回 结束 一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB,其线密度为“大化小,常代变,近似和,求极
2、限”可得为计算此构件的质量,1.1.引例引例:曲线形构件的质量采用目录 上页 下页 返回 结束 设 是空间中一条有限长的光滑曲线,义在 上的一个有界函数,都存在,上对弧长的曲线积分,记作若通过对 的任意分割局部的任意取点,2.定义定义下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数，称为积分弧段.曲线形构件的质量和对目录 上页 下页 返回 结束 如果 L 是 xOy 面上的曲线弧,如果 L 是闭曲线,则记为则定义对弧长的曲线积分为目录 上页 下页 返回 结束 3.性质性质（,为常数)(由 组成)(l 为曲线弧 的长度)目录 上页 下页 返回 结束 二、对弧长的曲线积分的
3、计算法二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路基本思路:计算定积分转 化1)且上的连续函数,是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分目录 上页 下页 返回 结束 2)如果曲线 L 的方程为则有3)如果方程为极坐标形式:则4)设空间曲线弧的参数方程为则目录 上页 下页 返回 结束 例例1.计算其中 L 是抛物线与点 B(1,1)之间的一段弧.解解:上点 O(0,0)目录 上页 下页 返回 结束 例例2.计算其中L为双纽线解解:在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性,得目录 上页 下页 返回 结束 例例3.计算曲线积分 其中 为螺旋的一段弧.解解:线目录 上页 下页 返回 结束 11.1.1、曲线弧、
4、曲线弧上的曲线积分和上的曲线积分和上的曲线积分有关系：上的曲线积分有关系：B目录 上页 下页 返回 结束 11.1.2、设、设C为从为从A(0，0)到到B(4，3)的直线段，则的直线段，则 D解：直线方程为目录 上页 下页 返回 结束 11.1.15、有一铁丝弯成半圆形、有一铁丝弯成半圆形 x=acost,y=asint,0t，其上每一点的密度等于该点的纵坐标的平方，则铁丝的质量为其上每一点的密度等于该点的纵坐标的平方，则铁丝的质量为D目录 上页 下页 返回 结束 11.2.1、设、设L为为xoy面上有质量的曲线，在曲线面上有质量的曲线，在曲线L上上的点的点(x,y)处的质量线密度为处的质量线
5、密度为(x,y)。则这条曲线则这条曲线L的质量的计算表达式为的质量的计算表达式为_.目录 上页 下页 返回 结束 11.2.4、设、设是母线平行于是母线平行于oz轴的柱面的部分，它的底是位于轴的柱面的部分，它的底是位于xoy平面上的光滑曲线平面上的光滑曲线L，它的高，它的高z是是x,y的非负函数的非负函数z=f(x,y),用曲线积用曲线积 分表示柱面分表示柱面的面积的面积A=_.目录 上页 下页 返回 结束 11.2.7、解：根据对称性目录 上页 下页 返回 结束 11.3.2、目录 上页 下页 返回 结束 11.3.9、计算 其中L是直线 上从点(0，-2)到点(4，0)之间的一段。目录 上
6、页 下页 返回 结束 11.3.10、计算其中r是螺线：x=tcost,y=tsint,z=t.(0tt0)目录 上页 下页 返回 结束 11.3.13、计算曲线积分，其中L为连接点A(3,0)及B(0,2)的直线段。即 故 解：AB直线方程为：目录 上页 下页 返回 结束 11.3.18、计算 其中L为圆周x2+y2=ax.(a0)目录 上页 下页 返回 结束 11.3.19、计算 ，其中L是圆螺旋线：目录 上页 下页 返回 结束 11.3.38、段。目录 上页 下页 返回 结束 11.3.39、计算曲线积分 ，其中C是从点(1，0，1)到点(0，3，6)的线段。，0t1,解：因为C：故目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束