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1、第4章留数定理及其应用留数理论是复变函数的积分理论与级数理论相结合的产物，它是复变函数论的重要组成部分本章首先介绍留数的概念、留数的计算方法和留数定理，随后讨论留数定理在实变积分计算中的应用4.1 留数定理留数和留数定理函数在各类奇点处留数的计算方法无穷远点的留数与留数和定理4.1.0 回顾回顾柯西定理柯西定理柯西公式柯西公式34.1.1 留数定理留数定理一、留数的定义一、留数的定义4二、定理（留数定理）二、定理（留数定理）式中它等于f(z)在bk的无心邻域的洛朗展开中的洛朗系数(4.1.1)称为f(z)在bk处的留数,f(z)的洛朗展开为(4.1.2)5证明其次,对于沿Lk的积分,由式(4.
2、1.2)可得首先在 内以各奇点为圆心,作小圆周 L1,L2,L3,Lk,分别包围各奇点,如图4.1所示.这样,由外边界线 L0与内边界线L1,L2,L3,Lk,为边界构成了复通区域.由复通区域的柯西定理(见式(2.2.21b),可得(4.1.3)(4.1.4)6将式(4.1.4)代入式(4.1.3),并将 代入,即有(4.1.5)定理得证74.1.2、计算留数的方法、计算留数的方法8910111213求在有限远奇点的留数。由(4.1.9)式可得例 4.1.1解:f(z)分母的零点由 确定,易见它是f(z)分母的一阶零点,也是f(z)的一阶极点14分别将k=0,1,2,3代入,可得15求在有限远
3、奇点的留数。例 4.1.2解:z=0是分子的一阶零点,又是分母的四阶零点,易见z=0是f(z)的三阶极点.在z=0的邻域展开分子为泰勒级数来求由此得16求在有限远奇点的留数。例 4.1.3解:由分母为零易得z=-1是二阶极点,z=2i是一阶极点,由(4.1.7)可得将上式2i换成-2i,即有174.1.3 无穷远点的留数与留数和定理无穷远点的留数与留数和定理18O图4.21920【例例4.1.4】求求f(z)=在孤立在孤立奇点奇点(包括无穷远点）处的留数包括无穷远点）处的留数l解解 z=b1是二阶极点，是二阶极点，z=b2是一阶极点，由表是一阶极点，由表4-1容易求得容易求得21 由留数和定理
4、，易得由留数和定理，易得 由于不存在由于不存在z-1-1项，故项，故Res f()=-a-1(-1()=0 22作业作业-4.1 第第82页页4.1.1(2,5,8)4.1.2(2,5)4.1.3(1,4)4.1.4*234.2 用留数定理计算实变积分本节将利用留数定理计算五个基本类型的实变积分,在此基础上讨论在物理学中常用的几个积分。l对于第二、三型实变积分的计算，要用对于第二、三型实变积分的计算，要用到到2.1节介绍的两个引理节介绍的两个引理 u(见例见例2.1.2=p29-30 和例和例2.1.4=p30)。l它们指出在什么条件下，它们指出在什么条件下，f(z)及及f(z)eimz沿沿上
5、半平面的无穷大半圆周的积分为零。上半平面的无穷大半圆周的积分为零。25引理引理1 若若z在上半平面及实轴上趋于在上半平面及实轴上趋于时时,zf(z)一致地趋于零一致地趋于零(与辐角无关，即与辐角无关，即l则则 f(z)沿图沿图2.3中无穷大中无穷大 半圆周半圆周CR的积分的积分(4.2.2)26若若z在上半平面及实轴上趋于在上半平面及实轴上趋于时，时，f(z)一一致地趋于零致地趋于零(与辐角无关与辐角无关)，即，即 式中式中m0，CR是以原点是以原点为圆心、为圆心、R为半径的上半为半径的上半圆周，参看图圆周，参看图2.3.引理引理2(若当引理若当引理):则则(4.2.3)27第四、五型积分的计
6、算，要利用引理第四、五型积分的计算，要利用引理3，它指，它指出出f(z)沿图沿图4.3的无穷小半圆周的积分结果。的无穷小半圆周的积分结果。l引理引理 3 若若b是是f(z)在实轴上的一阶极点，则在实轴上的一阶极点，则 l证明证明 由于由于b点是点是f(z)的一阶极点，因而在的一阶极点，因而在b的无心邻域中，的无心邻域中，f(z)的洛朗级数的最的洛朗级数的最低次幂为低次幂为(z-b)-1，即，即2829下面分别介绍五大类型积分的下面分别介绍五大类型积分的1.1.特征特征2.2.基本方法基本方法3.3.常用技巧常用技巧 304.2.1 型积分型积分 l 1.积分的特征：被积函数是积分的特征：被积函
7、数是cosq q,sinq q的有理实函的有理实函数；积分区间为数；积分区间为0,2p p,如果不是，应先变为如果不是，应先变为0,2p pl2.计算方法，首先作变换计算方法，首先作变换z=ei,把被积函数变成复把被积函数变成复变函数变函数 31其次，把沿其次，把沿0,2p p的积分变成沿单位圆的回路的积分变成沿单位圆的回路积分利用留数定理可得积分利用留数定理可得 即积分等于即积分等于2p pi乘函数乘函数 在在|z|=1圆内所有奇点处留数之和圆内所有奇点处留数之和.32【例例4.2.1】计算积分计算积分 式中式中a0l解解 首先作变换首先作变换q=2q=2x,将积分区间化为将积分区间化为0,
8、p0,p，再利用被积函数是偶函数，将积分区间化为再利用被积函数是偶函数，将积分区间化为-p,pp,p 33 其次，令其次，令z=eiq q，即可将对，即可将对q q的积分变为沿的积分变为沿|z|=1 的回路积分的回路积分l第三，被积函数有两个一阶极点第三，被积函数有两个一阶极点 z1,2=易见易见z1在在|z|=1的回路内部的回路内部,|z2|在回路外在回路外34根据留数定理根据留数定理354.2.2 f(x)dx 型积分型积分 1.积分特征积分特征lf(z)在实轴上没有奇点，在上半平面除有限在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个个孤立奇点孤立奇点bk(k=1，2，n)外解析；外解析；l当当z在
9、上半平面及实轴上趋于在上半平面及实轴上趋于时，时，zf(z)一致一致地趋于零地趋于零(与辐角无关与辐角无关)l其次，选择辅助函数其次，选择辅助函数f(z)。u通常将通常将f(x)的的x改为改为z(有时也要改变函数形式，有时也要改变函数形式，见例见例4.2.7.例例4.2.8)36l第三，选择积分与回第三，选择积分与回路当积分具有上述路当积分具有上述特征时，受引理特征时，受引理1的启的启发，增加无穷大的半发，增加无穷大的半圆周圆周CR，构成闭合回，构成闭合回路路L(图图4.4).l根据留数定理、积分主值的定义，以及引理根据留数定理、积分主值的定义，以及引理1的结论的结论 则有则有式中式中bk为为
10、f(z)在回路内在回路内(即上半平面即上半平面)内的奇点内的奇点37【例例4.2.2】计算积分计算积分l解解(1)辅助函数辅助函数l由于被积函数为偶函数，故由于被积函数为偶函数，故 令辅助函数令辅助函数(2)积分回路积分回路38l(3)按留数定理计算按留数定理计算 增加无穷大半圆增加无穷大半圆周周CR 构成闭合构成闭合(图图4.5)39l它在上半平面有无限多个极点它在上半平面有无限多个极点 bk=(2k+1)i，k=0,1,l但这些留数有简单的规律，仍可按第二型但这些留数有简单的规律，仍可按第二型积分计算积分计算40 仍可取仍可取图图4.5的回路的回路。f(z)在回路中所有奇点处在回路中所有奇
11、点处的留数为的留数为(见习题见习题4.1.4)(2)积分回路因为积分回路因为41(3)按留数定理计算按留数定理计算424.2.31.1.积分特征积分特征lf(z)在实轴上没有奇点，在在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个孤立奇上半平面除有限个孤立奇点点bk(k=1,2,）外解析；）外解析；l当当z在上半平面及实轴上趋在上半平面及实轴上趋于于 时，时，f(z)一致地趋于零一致地趋于零(与辐角无关）与辐角无关）432.计算方法计算方法l与第二类型不同的是，第三类型积分的被积与第二类型不同的是，第三类型积分的被积函数满足函数满足引理引理2(若当引理若当引理)的条件的条件l类似地，增加无穷大的半圆周类似
12、地，增加无穷大的半圆周CR(图图4.4)，构，构成闭合回路成闭合回路L。根据留数定理，积分主值的定。根据留数定理，积分主值的定义，以及引理义，以及引理2的结论的结论 则有则有44为书写简单起见，式中已采用简单记号为书写简单起见，式中已采用简单记号l 由此可得式由此可得式(4.2.10)式式(4.2.13)四个公式：四个公式：45(1)式式(4.2.9）的实部为）的实部为 1234(4.2.12)46【例例4.2.4】计算积分计算积分l解解 (1)辅助函数辅助函数 在上半平面只有一个一阶极点在上半平面只有一个一阶极点b=i l(2)积分回路积分回路l(3)按留数定理计算按留数定理计算 仍可选取图
13、仍可选取图4.5的回路的回路47 4.2.4 f(x)在实轴上有一在实轴上有一阶极点的积分阶极点的积分1.积分特征积分特征l 除除f(x)在实轴上在实轴上有一阶极点外，有一阶极点外，与第二型积分特与第二型积分特征相同。征相同。2.计算方法计算方法l积分回路是在图积分回路是在图4.4增加以轴上极点增加以轴上极点b为圆心，为圆心，e e为半径的无穷小半圆周为半径的无穷小半圆周Ce e，如图，如图4.6所示。所示。48根据留数定理根据留数定理,积分主值的定义积分主值的定义,引理引理1的结论的结论(4.2.14)49【例例4.2.5】计算积分计算积分I=l解解 (1)辅助函数辅助函数 f(z)=l它在
14、上半平面内有一阶它在上半平面内有一阶极点极点b1=i 外，还在实轴外，还在实轴上有两个一阶极点上有两个一阶极点b2=1,b3=-1.图图4.7l(2)积分回路如图积分回路如图4.7所示所示l(3)按留数定理计算按留数定理计算50 4.2.5 (m0),f(x)在实轴在实轴上有一阶极点的积分上有一阶极点的积分1.积分特征积分特征l 除除f(x)在实轴上有一在实轴上有一阶极点外，与第三阶极点外，与第三型积分特征相同。型积分特征相同。2.计算方法计算方法l积分回路为图积分回路为图4.6,令令(4.2.16)51【例例4.2.6】计算积分计算积分I=l解解 (1)辅助函数辅助函数 F(z)=f(z)e
15、iz=在实轴上有一阶极点在实轴上有一阶极点z=0.l(2)积分回路如图积分回路如图4.8所示所示l(3)按留数定理计算按留数定理计算 524.2.6 物理学中常用的实积分物理学中常用的实积分l在物理学中常用的几个实积分，被积函数不在物理学中常用的几个实积分，被积函数不满足上述要求的条件，需要采用一些技巧，满足上述要求的条件，需要采用一些技巧，但基本方法还是一致的：但基本方法还是一致的：u(1)选择一个辅助函数；选择一个辅助函数；u(2)把定积分化为沿闭合回路的积分；把定积分化为沿闭合回路的积分；u(3)按留数定理来计算按留数定理来计算534.2.6 物理学中常用的实积分物理学中常用的实积分l但
16、有的时候辅助函数要变形但有的时候辅助函数要变形(见例见例4.2.8），积），积分回路也不一定增加半圆周分回路也不一定增加半圆周CR，但增加路线，但增加路线上的积分上的积分u或者为零或者为零(见例见例4.2.7)，u或者容易算出或者容易算出(见习题见习题4.2.5）；）；u或者与待求积分有简单的关系或者与待求积分有简单的关系(见习题见习题4.2.6)。l对于回路上的奇点，也要绕过去对于回路上的奇点，也要绕过去54【例例4.2.7】已知欧拉积分已知欧拉积分l其中其中a a0，b b0此积分在量子力学中计算谐此积分在量子力学中计算谐振子的动量几率分布函数时用到振子的动量几率分布函数时用到l解解 (1
17、)选择辅助函数选择辅助函数不能采用第三类型积分的回路不能采用第三类型积分的回路 55先将积分变形先将积分变形 l在第二项积分中作变量代换，用在第二项积分中作变量代换，用-x替换替换x，可，可证明两项积分相等。再对指数进行配方，便有证明两项积分相等。再对指数进行配方，便有 l 能不能令能不能令 w=x+l然后按欧拉积分得然后按欧拉积分得 呢？呢？暂时还不行，因为欧拉积分中的暂时还不行，因为欧拉积分中的x是实数。但是实数。但是，本题的计算正好证明，欧拉积分对于复数是，本题的计算正好证明，欧拉积分对于复数w亦成立，见后面的式亦成立，见后面的式(4.2.21）56(2)选择闭合回路选择闭合回路l 选择
18、如图选择如图4.9所示的回路，这样沿所示的回路，这样沿x轴的积轴的积分已知，沿平行于分已知，沿平行于x轴的积分与待求的积分轴的积分与待求的积分有简单的关系，沿平行于有简单的关系，沿平行于y轴的两个积分可轴的两个积分可证明为零证明为零Iy1Iy2Ix2 =Ix1+Iy1+Ix2+Iy2=0Iy1=Iy2=0Ix1+Ix2=0Ix157(3)由留数定理计算函数由留数定理计算函数f(z)在回路图在回路图4.9内没有奇点，由留数定理可得内没有奇点，由留数定理可得l在式在式(4.2.19)中令中令R，则式，则式(4.2.19）右边的）右边的第一项为实变函数中的欧拉积分第一项为实变函数中的欧拉积分(4.2
19、.19)58第三项与待求积分有简单的关系式第三项与待求积分有简单的关系式l第二、四项由于沿第二、四项由于沿x轴方向满足轴方向满足l由引理由引理1易见这两项为零。实际上，第二项的易见这两项为零。实际上，第二项的模为模为59将以上结果代入式将以上结果代入式(4.2.19)，即有，即有l移项，即得移项，即得l将这个结果与将这个结果与式式(4.2.18）比较，可得比较，可得60【例例4.2.8】计算积分计算积分l解解(1)选择辅助函数选择辅助函数.本题若取本题若取 它在它在R 时不满足时不满足 的条件，的条件，现在通过定积分相等而改变被积函数，使之现在通过定积分相等而改变被积函数，使之满足上述条件，由
20、满足上述条件，由l用用-x代替代替x可证可证:(4.2.22)61据此选择辅助函数据此选择辅助函数在上半平面，在上半平面，z=x+iy=x+i|y|，代入式，代入式(4.2.23)，易见易见其次其次z=0是是f(z)的一阶极点的一阶极点(分子是一阶零点，分分子是一阶零点，分母是二阶零点母是二阶零点),故可应用故可应用引理引理362(2)选择闭合回路。选择闭合回路。l辅助函数满足第四类型辅助函数满足第四类型积分要求的条件，可采积分要求的条件，可采用图用图4.10这个典型回路这个典型回路(3)按留数定理计算按留数定理计算lf(z)在回路内没有奇点，回路上在回路内没有奇点，回路上z=0的极点已的极点已用用Ce e绕过去，因此绕过去，因此这里利用了计算留数的公式和洛必达法则63作业作业-4.2 第第93页页4.2.1(1,5)4.2.2(1,4)4.2.3(2)4.2.4(1)4.2.864谢谢!