第1章 电磁场的数学物理基础.ppt

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1、第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础第一章第一章 电磁场的数学物理基础电磁场的数学物理基础电磁场物理模型的构成电磁场物理模型的构成1.1矢量分析矢量分析1.2本章内容本章内容场论基础场论基础1.3电磁场的基本规律电磁场的基本规律 -麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组1.4第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础1.1.电磁场的物理模型电磁场的物理模型3.3.矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础l 重点：重点：2.2.源量和场量源量和场量返 回4.4.电磁感应定律电磁感应定律6.6.麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组5.5.全电流定

2、律全电流定律第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础1.1 1.1 电磁场的物理模型的构成电磁场的物理模型的构成 根根据据电电磁磁现现象象和和过过程程分分析析的的物物理理模模型型构构造造的的本本质质，可可建建立如下电磁场分析与电路分析的物理模型之间的对比关系。立如下电磁场分析与电路分析的物理模型之间的对比关系。电路分析：电路分析：理想化假设理想化假设实际的电工、实际的电工、电子技术装置电子技术装置 电路模型电路模型(一种具体的一种具体的 物理模型物理模型)电路模型：电路模型：理想电路元件理想电路元件(R、L、C)及其组合及其组合 理理 想想 电电 压压 源源

3、、电电 流流 源源(e,i)分析问题分析问题以以u，i为基为基本物理量本物理量给给 定定 激激 励励(e,i)求求响响应应(u,i)第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础电磁场分析：电磁场分析：理想化假设理想化假设实际电磁装置中的电磁实际电磁装置中的电磁现象和过程现象和过程电磁场的物理模型电磁场的物理模型电磁场的物理模型：电磁场的物理模型：连续媒质的场空间连续媒质的场空间(、及其相应的几何结构及其相应的几何结构)理想化的场源理想化的场源(q,i)分析问题分析问题以以E、B、D、H为为基本物理量基本物理量(场量场量)给给 定定 源源 量量(q,i),),求求

4、 场场 分布分布(E、B、D、H)第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础(1)给给出出与与所所分分析析的的物物理理模模型型对对应应的的基基本本规规律律性性的的数数学学描描述述（泛泛定方程）及其定解条件，即构造相应的数学模型；定方程）及其定解条件，即构造相应的数学模型；(2)运用相应的分析计算方法；运用相应的分析计算方法；(3)解出数学模型中的待求物理量，即得所分析问题的确定解。解出数学模型中的待求物理量，即得所分析问题的确定解。以上电磁场与电路分析的求解过程均可归结为以上电磁场与电路分析的求解过程均可归结为:第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数

5、学学 物物 理理 基基 础础1.1.1 1.1.1 电磁场的基本物理量电磁场的基本物理量源量和场量源量和场量 电磁场物理模型中的基本物理量可分为源量和场量两大电磁场物理模型中的基本物理量可分为源量和场量两大类。源量类。源量 q(r,t)和和 i(t)分别用来描述产生电磁场效应的两分别用来描述产生电磁场效应的两类场源。类场源。电荷是物质基本属性之一。电荷是物质基本属性之一。1897年英国科学家汤姆逊在实验中发现了电子。年英国科学家汤姆逊在实验中发现了电子。19071913年年间间，美美国国科科学学家家密密立立根根通通过过油油滴滴实实验验，精精确确测定电子电荷的量值为测定电子电荷的量值为e=1.6

6、021773310-19(单位单位:C)确确认认了了电电荷荷量量的的量量子子化化概概念念。换换句句话话说说，e 是是最最小小的的电电荷荷量，而任何带电粒子所带电荷都是量，而任何带电粒子所带电荷都是e 的整数倍。的整数倍。1.源量源量(电荷电荷)q(r,t)第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础理想化实际带电系统的电荷分布形态为如下四种形式：理想化实际带电系统的电荷分布形态为如下四种形式：（1）点电荷）点电荷q(r,t)：单位：单位：C。（2）电荷体密度电荷体密度(r,t)：单位：单位：C/m3（3）电荷面密度电荷面密度(r,t)：单位：单位：C/m2（4）

7、电荷线密度电荷线密度(r,t)：单位：单位：C/m 类同于由物质密度类同于由物质密度 给定物质的质量给定物质的质量m一样，现引入关一样，现引入关于电荷的平滑的平均密度函数概念，即以电荷密度分布的于电荷的平滑的平均密度函数概念，即以电荷密度分布的方式来给定带电体的电荷量。方式来给定带电体的电荷量。宏观分析时，场源电荷常是数以亿计的电子电荷宏观分析时，场源电荷常是数以亿计的电子电荷e的组合，故的组合，故可不考虑其量子化的事实，而认为电荷量可不考虑其量子化的事实，而认为电荷量q可任意连续取值。可任意连续取值。第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础源于电荷定向运动

8、的电流源于电荷定向运动的电流i 定义为定义为 可见，电流可见，电流i为一积分量，不是点函数。为一积分量，不是点函数。鉴鉴于于电电磁磁场场空空间间中中各各点点电电磁磁现现象象和和过过程程变变化化规规律律性性分分析析的的需需要要，必必须须引引入入对对应应于于源源量量i(t)分分布布的的点点函函数数形形式式的的描描述述体体电流密度电流密度(简称电流密度简称电流密度)J(r,t),其量值为其量值为 (单位单位:A/m2)(1-5)其方向习惯上定义为正电荷运动的方向。其方向习惯上定义为正电荷运动的方向。(单位单位:C/s或或A)(1-4)2.源量源量(电流电流)i(t)第第 一一 章章 电电 磁磁 场场

9、 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础磁感应强度（磁通密度）磁感应强度（磁通密度）：B、单位：、单位：T。3场量场量电场强度电场强度：E、单位：、单位：N/C,V/m。第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础1.1.2 1.1.2 电磁场中的媒质及其电磁性能参数电磁场中的媒质及其电磁性能参数1.1.电磁性能参数电磁性能参数 电介质电介质：介电常数：介电常数、单位：、单位：F/m。真空中真空中，(F/m)(H/m)磁介质磁介质：磁导率：磁导率、单位：、单位：H/m。真空中真空中，导电媒质导电媒质：电导率：电导率、单位：、单位：S/m第第 一一 章章 电电

10、磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础2.2.媒质的构成方程（本构关系）媒质的构成方程（本构关系）电位移矢量电位移矢量：D、单位：、单位：C/m2。磁场强度磁场强度：H、单位：、单位：A/m。构成方程（本构关系）构成方程（本构关系）：第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础1.2 1.2 矢量分析矢量分析1.1.标量场和矢量场标量场和矢量场标量：只有大小而没有方向的量。如电压标量：只有大小而没有方向的量。如电压U U、电荷量、电荷量Q Q、电流、电流I I、面积面积S S 。矢量：具有大小和方向特征的量。如电场强度矢量、磁场强矢量：具有大小和方

11、向特征的量。如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。度矢量、作用力矢量、速度矢量等。标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量唯一地标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量唯一地描述，则该标量函数定出标量场。例如物理系统中的温度、描述，则该标量函数定出标量场。例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表示。压力、密度等可以用标量场来表示。矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地描述，则该矢量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分描述，则该矢量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示

12、。布等可以用矢量场来表示。第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础1 12 2 矢量分析矢量分析1.2.11.2.1矢量运算矢量运算 标量积（点积）标量积（点积）：矢量积（叉积）矢量积（叉积）：第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础 1.1.点函数在不同坐标系下的数学描述点函数在不同坐标系下的数学描述 例例1.1设设标标量量点点函函数数(r)在在直直角角坐坐标标系系下下的的表表示示式式为为(x，y，z)x2y2z，试试写写出出该该点点函函数数在在圆圆柱柱坐坐标标系系下下的的表表示示式式，并并以以给给定定点点的的函函数数值

13、值验验证证该该点点函函数数与与坐坐标标系系的的选选择择无关。无关。解解由由附附录录一一可可知知x cos，y sin，zz。代代入入之之，即得在圆柱坐标系下，该点函数应记为即得在圆柱坐标系下，该点函数应记为 (x，y，z)(，z)(cos)2(sin)2z 2z1.2.2 1.2.2 坐标系统坐标系统 正交坐标系统正交坐标系统：直角坐标系：直角坐标系(x,y,z)、圆柱坐标系、圆柱坐标系(,z)和球坐标系和球坐标系(r,)。第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础 设设给给定定点点P(x，y，z)，其其直直角角坐坐标标为为x1，y1和和z1；同同样由附录一可

14、知该点样由附录一可知该点P对应的圆柱坐标为对应的圆柱坐标为，和和z1。因因此此可可得得标标量量点点函函数数(r)在在直直角角与与圆圆柱坐标系中对应于柱坐标系中对应于P点处的函数值分别为点处的函数值分别为:P(x，y，z)P(1,1,1)=12+12-1=1和和 P(，z)P(,1)()2-1=1两两者者结结果果相相同同。同同理理可可继继续续逐逐点点验验证证，其其结结论论是是：点点函函数数值值与所采用的坐标系无关。与所采用的坐标系无关。第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础1.2.3 1.2.3 矢量积分矢量积分 环量积分环量积分：通量积分通量积分：线积分线

15、积分：第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础 0(有正源)0为为正源，正源，divF 0为负源。为负源。第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础1.2.6 1.2.6 矢量场的旋度矢量场的旋度 考察环量考察环量“源源”在场中各点的分布情况。作一条围定面积为在场中各点的分布情况。作一条围定面积为 S的微小的有向曲线的微小的有向曲线l，令，令en为为 S 的法向单位矢量，它与有向的法向单位矢量，它与有向曲线曲线l 构成右螺旋关系，如图所示。记作构成右螺旋关系，如图所示。记作 图图 1-10 1-10 环量强度的图示环量强度的

16、图示 可见，矢量场的旋度是一个矢量，其可见，矢量场的旋度是一个矢量，其方向和环量积分路径循行的方向满足右螺方向和环量积分路径循行的方向满足右螺旋定则，且为获得最大环量位置的面积元旋定则，且为获得最大环量位置的面积元的法线方向的法线方向en；其大小表征了每单位面积；其大小表征了每单位面积上矢量场的最大环量。因此，旋度描述了上矢量场的最大环量。因此，旋度描述了旋涡源的强度。旋涡源的强度。第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础图图1-11直角坐标系下直角坐标系下(curl F)z 表达式的推导用图表达式的推导用图第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学

17、学 物物 理理 基基 础础 由旋度定义可知，由旋度定义可知，可得可得 同理同理 第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础代入环量计算式，有代入环量计算式，有由此根据旋度的定义式，有由此根据旋度的定义式，有同理，可得同理，可得(curlF)x与与(curlF)y的计算式。合成为一个矢量式，的计算式。合成为一个矢量式，得矢量场的旋度为得矢量场的旋度为第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础或写成便于记忆的行列式，即或写成便于记忆的行列式，即 第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础1.3 1

18、.3 场论基础场论基础1.3.1 1.3.1 散度定理散度定理根据散度的定义根据散度的定义:第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础1.3.2 1.3.2 斯托克斯定理斯托克斯定理根据旋度的定义（根据旋度的定义（1-331-33）第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础1.3.3无散场与无旋场无散场与无旋场1.无旋场无旋场：无旋场是旋度恒为零的场，即无旋场是旋度恒为零的场，即由矢量恒等式由矢量恒等式可以看出，无旋场可以用另一个标量的梯度表达，即可以看出，无旋场可以用另一个标量的梯度表达，即一般称标量一般称标量 是矢量场是矢

19、量场F 的标量位。的标量位。矢量场的散度和旋度分别描述了产生矢量场的两种源，即矢量场的散度和旋度分别描述了产生矢量场的两种源，即发出或吸收通量线的散度源和产生旋涡场的旋涡源。发出或吸收通量线的散度源和产生旋涡场的旋涡源。第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础 由于静电场的电场强度由于静电场的电场强度E的旋度处处为零，静电场为无旋的旋度处处为零，静电场为无旋场，因此，电场强度场，因此，电场强度E可以表示为标量电位可以表示为标量电位 的梯度，通常的梯度，通常令令 .在矢量场中任取一个有向曲面在矢量场中任取一个有向曲面S，将上式对此曲面进行面积，将上式对此曲面进

20、行面积分，则由斯托克斯定理可知，其结果等于分，则由斯托克斯定理可知，其结果等于 沿界定该曲沿界定该曲面的围线面的围线 l 的线积分，即的线积分，即恒等式的证明：恒等式的证明：由梯度和方向导数的关系式，可得：由梯度和方向导数的关系式，可得：因此：因此：由于由于S是任选的，故：是任选的，故：第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础2.无散场无散场：无散场是散度恒为零的场，即无散场是散度恒为零的场，即 由矢量恒等式由矢量恒等式可以看出，任意矢量场可以看出，任意矢量场A的旋度的散度恒等于零。的旋度的散度恒等于零。恒等式恒等式的证明：的证明：在矢量场在矢量场A中任取一

21、个由闭合面中任取一个由闭合面S所包围的体积所包围的体积V，将上，将上式对体积式对体积V进行体积分，有散度定理可得：进行体积分，有散度定理可得：第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础 现将闭合面现将闭合面S借助位于其表面上的一条闭合的有向曲线借助位于其表面上的一条闭合的有向曲线l分割成两个开放的有向曲面分割成两个开放的有向曲面S1和和S2，如图所示，应用斯托克，如图所示，应用斯托克斯定理，分别得到：斯定理，分别得到：和和故：故：所以：所以：由于体积由于体积V 是任选的，故：是任选的，故：第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基

22、础础可以看出，无散场可以用另一个矢量的旋度表达，即可以看出，无散场可以用另一个矢量的旋度表达，即一般称矢量一般称矢量A是矢量场是矢量场F的矢量位。的矢量位。恒定磁场的磁感应强度恒定磁场的磁感应强度B的散度处处为零，恒定磁场是的散度处处为零，恒定磁场是一个无散场，因此，磁感应强度一个无散场，因此，磁感应强度B可以表示矢量磁位可以表示矢量磁位A的旋的旋度，即度，即。第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础1.3.4 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理：若矢量场若矢量场F(r)在无界空间中处处单值，且其导数连续有在无界空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域界，源

23、分布在有限区域V 中，则该矢量场唯一地由其散度和中，则该矢量场唯一地由其散度和旋度所确定，且可被表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函旋度所确定，且可被表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和，即数的旋度之和，即式中式中 可见，对于无界空间，当所论矢量场的散度和旋度均为可见，对于无界空间，当所论矢量场的散度和旋度均为零时，即零时，即(r)=0与与A(r)=0，则矢量场则矢量场F(r)也随之消失。也随之消失。第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础亥姆霍兹定理的简证亥姆霍兹定理的简证假设在无界空间中有两个矢量函数假设在无界空间中有两个矢量函数F和和G，它

24、们有相同的，它们有相同的散度和旋度，即：散度和旋度，即：若令若令:对上式取散度得：对上式取散度得：对上式取旋度得：对上式取旋度得：由矢量恒等式（由矢量恒等式（1-46）可令）可令故可得：故可得：第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础 由于拉普拉斯方程定义的场，场内函数不会由于拉普拉斯方程定义的场，场内函数不会出现极值，因此只能是一常数，故出现极值，因此只能是一常数，故所以所以故故第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础 基于亥姆霍兹定理，可对各种类型的电磁场给出如下规律性的描述：基于亥姆霍兹定理，可对各种类型的电磁场给出

25、如下规律性的描述：(1)(1)无无旋旋场场：若若场场中中旋旋度度处处处处为为零零，即即 F(r)0 0，但但其其散散度度F(r)0 0，则则该矢量场该矢量场F(r)被称为无旋场。被称为无旋场。由由亥亥姆姆霍霍兹兹定定理理可可知知，此此时时F(r)(r)，由由此此可可见见，无无旋旋场场F(r)也也可可通通过过一一个个标标量量函函数数(r)的的引引入入，等等价价于于该该标标量量梯梯度度场场的的描描述述。例例如如，静静电电场场满满足足无无旋旋性性，E(r)=0)=0，即即可可借借助助于于标标量量电电位位函函数数(r)的的引引入入，使使无无旋旋的的矢矢量量场场E(r)的描述等价于标量电位梯度场的描述等

26、价于标量电位梯度场 (r)的描述。的描述。(2)(2)无无散散场场(无无源源场场或或称称管管量量场场)：若若场场中中散散度度处处处处为为零零，即即F(r)0 0，但但其其旋旋度度 F(r)0 0，则则该该矢矢量量场场F(r)被被称称为为无无散散场场。例例如如，恒恒定定电电流流的的磁磁场场即即为为一例，满足基本方程一例，满足基本方程B(r)=0)=0和和 B(r)J Jc c。(3)(3)一一般般的的矢矢量量场场：若若场场中中散散度度和和旋旋度度均均不不为为零零，即即F(r)0 0，F(r)0 0，这类场属一般的矢量场。此时，矢量场这类场属一般的矢量场。此时，矢量场F(r)的解答即由式的解答即由

27、式(1-49)(1-49)给出。给出。第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础1.4 1.4 电磁场的基本规律电磁场的基本规律-麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 1.4.1 1.4.1 电磁感应定律电磁感应定律 回路中感应电动势的大小与穿过回路的磁通随时间的变化回路中感应电动势的大小与穿过回路的磁通随时间的变化率成正比。率成正比。（1 1）动生电动势）动生电动势磁场不随时间变化，回路切割磁磁场不随时间变化，回路切割磁力线力线动生电动势第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础（2 2）感生电动势）感生电动势磁场随时间变化，回路不

28、变磁场随时间变化，回路不变感生电动势（3 3）既有磁场随时间变化，又）既有磁场随时间变化，又有回路的相对运动有回路的相对运动第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础 法拉第在法拉第在1831年发现电磁感应现象时，是在特定的导电回年发现电磁感应现象时，是在特定的导电回路中由实验而总结得出的规律。此后，麦克斯韦把导电回路的路中由实验而总结得出的规律。此后，麦克斯韦把导电回路的概念推广到场域空间的任一假想闭合回路的情况，提出了概念推广到场域空间的任一假想闭合回路的情况，提出了“涡涡旋电场旋电场”的假设，即只要与该回路相交链的磁通发生变化，即的假设，即只要与该回路相

29、交链的磁通发生变化，即使没有感应电流产生，但在该回路中的任一点总有感应电场使没有感应电流产生，但在该回路中的任一点总有感应电场Ei存在，因而沿任一闭合回路都会产生感应电动势。这一关于电存在，因而沿任一闭合回路都会产生感应电动势。这一关于电磁感应定律的推广，其数学描述即归结为麦克斯韦第二方程：磁感应定律的推广，其数学描述即归结为麦克斯韦第二方程：方程表明，源于感应电场方程表明，源于感应电场Ei的有旋性，即的有旋性，即合成电场合成电场E为涡旋场。为涡旋场。第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础电磁感应定律的微分形式电磁感应定律的微分形式：应用斯托克斯定理，得应

30、用斯托克斯定理，得式中，两个面积分是对同一表面式中，两个面积分是对同一表面S求积，并考虑到求积，并考虑到S的随的随意性，有意性，有第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础1.4.2 1.4.2 电流概念的扩充电流概念的扩充 全电流定律全电流定律 麦克斯韦在麦克斯韦在1861年提出了年提出了“位移电流位移电流”的假设。据此，磁场的假设。据此，磁场不仅可由传导电流产生，而且也可由随时间变化的电场所产生。不仅可由传导电流产生，而且也可由随时间变化的电场所产生。以下引入如图所示的电容器放电的电路实例，以说明位移电流假以下引入如图所示的电容器放电的电路实例，以说明位移

31、电流假设的科学性。设的科学性。RS（t=0)S1S3S2l0q+0q-Ci(t)i(t)电容器放电的电路电容器放电的电路第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础 如图所示，当开关如图所示，当开关S合上后，电容器放电，在含电阻合上后，电容器放电，在含电阻R R的由导线连接的的由导线连接的电路中，流通的传导电流电路中，流通的传导电流 。由此可见，由此可见，尽管电容器的两极之尽管电容器的两极之间是相互绝缘的，或从电路观点而言，电路是开断的，但仍有随时间变动的间是相互绝缘的，或从电路观点而言，电路是开断的，但仍有随时间变动的电容器放电电流在电路的导电部分流通。因此，

32、在放电过程中，穿过包围正电容器放电电流在电路的导电部分流通。因此，在放电过程中，穿过包围正极板的闭合面极板的闭合面S1 1的电流的电流这表明基于电荷守恒定律的静态场中传导电流的连续性方程已不再满足，显这表明基于电荷守恒定律的静态场中传导电流的连续性方程已不再满足，显然，需要扩充电流的概念。然，需要扩充电流的概念。RS（t=0)S1S3S2l0q+0q-Ci(t)i(t)第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础 另一方面，安培环路定律也在分析此实例时遇到了困难。设在图中另一方面，安培环路定律也在分析此实例时遇到了困难。设在图中取由闭合路径取由闭合路径l所限定的

33、与导线割切的任意曲面所限定的与导线割切的任意曲面 S2 2，则按安培环路定律则按安培环路定律有有 。但是，若取由闭合路径。但是，若取由闭合路径l所限定，而不与导线割切的所限定，而不与导线割切的曲面曲面 S3 3，则因，则因 S3 3 面中没有传导电流穿过，应有面中没有传导电流穿过，应有 。这同样这同样表明，安培表明，安培环路定律的应用需要扩展概念。环路定律的应用需要扩展概念。RS（t=0)S1S3S2l0q+0q-Ci(t)i(t)图图 电容器放电的电路电容器放电的电路第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础 综上所述，应可看出，综上所述，应可看出，如果电流

34、连续性原理得到扩展，则上述两方面问题如果电流连续性原理得到扩展，则上述两方面问题将随之化解将随之化解。麦克斯韦根据电荷守恒定律，令流出闭合面麦克斯韦根据电荷守恒定律，令流出闭合面 S1 1 的传导电流的传导电流 ic c 等于该面等于该面内电荷内电荷 q 的减少率，即的减少率，即从而，按高斯定理从而，按高斯定理,上式可以写成上式可以写成(1-76)RS（t=0)S1S3S2l0q+0q-Ci(t)i(t)图图1.4 1.4 电容器放电的电路电容器放电的电路即即第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础麦克斯韦将穿过S1面的电位移通量的变化率称为位移电流iD，即

35、(1.12)于是，可定义位移电流密度为(1.13)应指出，位移电流密度JD 的方向与dD 的方向一致。在引入位移电流在引入位移电流iD D，扩充了电流概念的基础上，扩充了电流概念的基础上，则式(1.11)的物理意义显然是：在包围电容器正极板的闭合面S1上流出的传导电流ic等于流入其的位移电流iD，从而保持了电流的连续性。同时，安培环路定律也由此扩展为保持了电流的连续性。同时，安培环路定律也由此扩展为全电流定律全电流定律(1-79)(1-79)。第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础1.4.3麦麦克克斯斯韦韦方方程程组组磁通连续性定理磁通连续性定理：由散度定

36、理，得：由散度定理，得：并考虑到并考虑到V的随意性，有的随意性，有 B=0第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础高斯定理高斯定理：由散度定理，得由散度定理，得 D=麦克斯韦方程组的积分形式：麦克斯韦方程组的积分形式：第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础麦克斯韦方程组的微分形式：麦克斯韦方程组的微分形式：B=0 D=第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础 麦克斯韦方程组奠定了宏观电磁理论的基础。爱因斯麦克斯韦方程组奠定了宏观电磁理论的基础。爱因斯坦这样评述：坦这样评述：“这个方程组

37、的提出是牛顿时代以来物理这个方程组的提出是牛顿时代以来物理学上的一个重要事件，它是关于场的定量数学描述，方学上的一个重要事件，它是关于场的定量数学描述，方程组所包含的意义比我们指出的要丰富得多。在简单的程组所包含的意义比我们指出的要丰富得多。在简单的形式下隐藏着深奥的内容，这些内容只有仔细的研究才形式下隐藏着深奥的内容，这些内容只有仔细的研究才能显示出来，方程组是表示场的结构的定律。能显示出来，方程组是表示场的结构的定律。”第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础直角坐标系直角坐标系zxyY=4坐标面坐标面X=2坐标面坐标面Z=3坐标面坐标面X=2Y=4Z=3第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础柱坐标系柱坐标系Z=1.5坐标面坐标面Z=1.5坐标面坐标面坐标面坐标面第第 一一 章章 电电 磁磁 场场 的的 数数 学学 物物 理理 基基 础础球坐标系球坐标系坐标面坐标面坐标面坐标面坐标面坐标面zxy