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1、1.了解基本不等式的证明过程了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大会用基本不等式解决简单的最大(小小)值问题值问题.1.基本不等式基本不等式2.几个重要的不等式几个重要的不等式3.算术平均数与几何平均数算术平均数与几何平均数设设a0，b0，则，则a，b的算术平均数为的算术平均数为 ，几何平均数，几何平均数为为，基本不等式可叙述为：两个正数的，基本不等式可叙述为：两个正数的不不小于其小于其.算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数4.利用基本不等式求最值问题利用基本不等式求最值问题已知已知x0，y0，则：，则：(1)如果积如果积xy是定值是定值P，那么当且仅当，那么当且仅当时
2、，时，xy有有值值是是(简记：积定和最小简记：积定和最小).(2)如果和如果和xy是定值是定值P，那么当且仅当，那么当且仅当时，时，xy有有值是值是(简记：和定积最大简记：和定积最大).xy小小xy最大最大思考探究思考探究在利用基本不等式求最值时，应注意哪些方面？在利用基本不等式求最值时，应注意哪些方面？提示：提示：利用基本不等式求最值时，一定要注意利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正、二定、一正、二定、三相等三相等”.“一正一正”即公式中即公式中a、b必须是正数，必须是正数，“二定二定”即必须有即必须有定值定值(和为定值或积为定值和为定值或积为定值)，“三相等三相等”即公式中的等号必须即
3、公式中的等号必须成立，必要时要合理拆分项或配凑因式，以满足上述三个成立，必要时要合理拆分项或配凑因式，以满足上述三个条件条件.1.已知已知ab0，a，bR，则下列式子总能成立的是，则下列式子总能成立的是()A.2B.2C.2D.|2解析：解析：选项选项A、B、C中不能保证中不能保证为正为正.答案：答案：D2.已知已知f(x)x2(x0)，则，则f(x)有有()A.最大值为最大值为0B.最小值为最小值为0C.最大值为最大值为2D.最小值为最小值为2解析：解析：x0，f(x)x2220，当且仅当当且仅当x，即，即x1时，时，“”成立成立.答案：答案：B3.下列函数中，下列函数中，y的最小值为的最小
4、值为4的是的是()A.yxB.y(xR)C.yex4exD.ysinx(0 x)解析：解析：对于对于A，当，当x0时，最小值不存在且时，最小值不存在且y0；B中中y24，当且仅当，当且仅当x221时等号成立，这样的实数时等号成立，这样的实数x不存在，故不存在，故y(xR)取不到最小值取不到最小值4；同理对于同理对于D，等号成立的条件为，等号成立的条件为sin2x4，这也是不可能的；，这也是不可能的；只有只有C，yex4ex4，当且仅当，当且仅当ex2，即，即xln2时等号成时等号成立，函数有最小值立，函数有最小值4.答案：答案：C4.若若ab1，P，Q(lgalgb)，Rlg()，则，则P，Q
5、，R的大小关系为的大小关系为.解析：解析：ab1，lg(lgalgb)，又，又(lgalgb)，RQP.答案：答案：RQP5.若直线若直线axby10(a0，b0)平分圆平分圆x2y28x2y10，则，则的最小值为的最小值为.解析：解析：由由x2y28x2y10得得(x4)2(y1)216，设圆的圆心坐标为设圆的圆心坐标为(4，1)，4ab10，即，即4ab1，由由14ab24，得，得ab，16，的最小值为的最小值为16.答案：答案：161.创设应用基本不等式的条件创设应用基本不等式的条件(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使
6、等号成立，且每项为正值，必要时需出现积标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值为定值或和为定值.(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法检验转换是否有误的一种方法.2.基本不等式的集中变形公式基本不等式的集中变形公式对
7、于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种常见的变形形式及公式的逆运用等握它的几种常见的变形形式及公式的逆运用等.如如(1)设设0 x2，求函数，求函数y的最大值；的最大值；(2)求求a的取值范围；的取值范围；(3)已知已知x0，y0，且，且xy1，求，求的最小值的最小值.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)0 x2，03x6,83x20，y4，当且仅当当且仅当3x83x，即，即x时，取等号时，取等号.当当x，y的最大值是的最大值是4.(2)显然显然a4，当当a4时，时，a40，a(a4)42424，当且仅当当且仅当a4，即，即a4时
8、，取等号；时，取等号；当当a4时，时，a40，a(a4)4(4a)42424，当且仅当当且仅当(4a)，即，即a4时，取等号时，取等号.a的取值范围是的取值范围是(，2424，).(3)x0，y0，且，且xy1，()(xy)1010218.当且仅当当且仅当，即，即x2y时等号成立，时等号成立，当当x，y时，时，有最小值有最小值18.若若x 0,1，求函数，求函数y的最大值的最大值.解：解：由例由例1(1)的解答知，当的解答知，当x 0,1时，函数的最大值时，函数的最大值不能用基本不等式不能用基本不等式.y(x 0,1)，函数在函数在0,1上单调递增上单调递增.ymax.利用基本不等式证明不等式
9、是综合法证明不等式的利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，是指从已证不等式和问题的已知条件出发，借一种情况，是指从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以转化为所求问题，其特征是以“已知已知”看看“可知可知”，逐步推向，逐步推向“未知未知”.特别警示特别警示证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，要注意每次等号是否都成立，同时也要注意本不等式时，要注意每次等号是否都成立，同时也要注意基本不等式的变形形式的应用基本
10、不等式的变形形式的应用.已知已知a0，b0且且ab1.求证：求证：(1)4；(2)2.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)a0，b0，且，且ab1.224.当且仅当当且仅当，即，即ab时，等号成立时，等号成立.原不等式成立原不等式成立.(2)a0，b0，且，且ab1.原不等式原不等式4ab12422411ab(ab)1ab11ab.a0，b0，1ab2(当且仅当当且仅当ab时取时取等号等号).ab.故原不等式成立故原不等式成立.应用基本不等式解决实际问题的步骤是：应用基本不等式解决实际问题的步骤是：(1)仔细阅读题目，透彻理解题意；仔细阅读题目，透彻理解题意；(2)分析实际问题中的数量关系，
11、引入未知数，并用它分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数；表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数；(3)应用基本不等式求出函数的最值；应用基本不等式求出函数的最值；(4)还原实际问题，作出解答还原实际问题，作出解答.特别警示特别警示(1)解应用题时，一定要注意变量的实际意义，解应用题时，一定要注意变量的实际意义，即其取值范围即其取值范围.(2)在求函数最值时，除应用基本不等式外，有时会出现在求函数最值时，除应用基本不等式外，有时会出现基本不等式取不到等号，此时可利用函数的单调性解决基本不等式取不到等号，此时可利用函数的单调性解决.(2009湖北高
12、考湖北高考)围建一个面积为围建一个面积为360m2的矩形场地，的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修利用的旧墙需维修)，其他，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为已知旧墙的维修费用为45元元/m，新墙的造价为新墙的造价为180元元/m.设利用的旧墙长度为设利用的旧墙长度为x(单位：单位：m)，修建此矩形场地围墙总费用为修建此矩形场地围墙总费用为y(单位：元单位：元).(1)将将y表示为表示为x的函数；的函数；(2)试确定试确定
13、x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用并求出最小总费用.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)如图，设矩形的另一边长为如图，设矩形的另一边长为am，则则y45x180(x2)1802a225x360a360.由已知由已知xa360，得，得a，所以所以y225x360(x0).(2)x0，225x210800.y225x36010440.当且仅当当且仅当225x时，等号成立时，等号成立.即当即当x24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是用是10440元元.以选择题或填空题的形式考查基本不等式在求以选择题或填空
14、题的形式考查基本不等式在求最值中的应用，是高考对本节内容的常规考法最值中的应用，是高考对本节内容的常规考法.近几近几年高考中多次出现应用基本不等式求最值的应用题，年高考中多次出现应用基本不等式求最值的应用题，如如09年湖北、江苏高考，符合新课标对学生应用所年湖北、江苏高考，符合新课标对学生应用所学知识分析解决实际问题能力的要求，仍是今后高学知识分析解决实际问题能力的要求，仍是今后高考对本节内容的一个考查方向考对本节内容的一个考查方向.考题印证考题印证(2009江苏高考江苏高考)(12分分)按照某学者的理论，假设一个人按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为生产某产品单件成本为a元，如果
15、他卖出该产品的单价为元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为元，则他的满意度为如果他买进该产品的单价为如果他买进该产品的单价为n元，元，则他的满意度为则他的满意度为.如果一个人对两种交易如果一个人对两种交易(卖出或买进卖出或买进)的满意度分别为的满意度分别为h1和和h2，则他对这两种交易的综合满意度为，则他对这两种交易的综合满意度为现假设甲生产现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为两种产品的单件成本分别为12元和元和5元，乙生产元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为两种产品的单件成本分别为3元和元和20元，元，设产品设产品A、B的单价分别为的单价分别为mA元和元和mB元，甲买进元
16、，甲买进A与卖出与卖出B的综合满意度为的综合满意度为h甲甲，乙卖出，乙卖出A与买进与买进B的综合满意度为的综合满意度为h乙乙.(1)求求h甲甲和和h乙乙关于关于mA、mB的表达式；当的表达式；当mAmB时，求证：时，求证：h甲甲h乙乙；(2)设设mAmB，当，当mA、mB分别为多少时，甲、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？少？(3)记记(2)中最大的综合满意度为中最大的综合满意度为h0，试问能否适当，试问能否适当选取选取mA、mB的值，使得的值，使得h甲甲h0和和h乙乙h0同时成立，但等同时成立，但等号不同时成立？
17、试说明理由号不同时成立？试说明理由.【解解】设设mAx，mBy.(1)甲买进产品甲买进产品A的满意度：的满意度：h1甲甲；甲卖出产品；甲卖出产品B的的满意度：满意度：h2甲甲；甲买进产品；甲买进产品A和卖出产品和卖出产品B的综合满的综合满意度：意度：h甲甲；(3分分)同理，乙卖出产品同理，乙卖出产品A和买进产品和买进产品B的综合满意度：的综合满意度：h乙乙(4分分)当当xy时，时，故故h甲甲h乙乙.(6分分)(2)当当xy时，时，由由(1)知知h甲甲h乙乙，因为因为，且等号成立当且仅当且等号成立当且仅当y10时成立时成立.当当y10时，时，x6.因此，当因此，当mA6，mB10时，甲、乙两人的
18、综合满意度时，甲、乙两人的综合满意度均最大，且最大的综合满意度为均最大，且最大的综合满意度为.(8分分)(3)由由(2)知知h0.因为因为h甲甲h乙乙(10分分)所以，当所以，当h甲甲，h乙乙时，有时，有h甲甲h乙乙.因此，不能取到因此，不能取到mA，mB的值，使得的值，使得h甲甲h0和和h乙乙h0同时成同时成立，但等号不同时成立立，但等号不同时成立.(12分分)自主体验自主体验某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天他费用为平均
19、每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运元，购买饲料每次支付运费费300元元.(1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少？的总费用最少？(2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠吨时其价格可享受八五折优惠(即为原价的即为原价的85%).问该厂问该厂是否可以考虑利用此优惠条件？请说明理由是否可以考虑利用此优惠条件？请说明理由.解：解：(1)设该厂应隔设该厂应隔x(xN)天购买一次饲料，平均每天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为天支付的总费用为y1.饲料的保管与
20、其他费用每天比前一天少饲料的保管与其他费用每天比前一天少2000.036(元元)，x天饲料的保管与其他费用共是天饲料的保管与其他费用共是6(x1)6(x2)63x23x(元元).从而有从而有1y(3x23x300)2001.83x357417.当且仅当当且仅当3x，即，即x10时，时，y1有最小值有最小值.即每隔即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少最少.(2)若厂家利用此优惠条件，则至少若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔x天天(x25)购买一购买一次饲料，
21、平均每天支付的总费用为次饲料，平均每天支付的总费用为y2，则，则 y2(3x23x300)2001.80.853x303(x25).y23，当当x25时，时，y20，即函数，即函数y2在在25，)上是上是增函数，增函数，当当x25时，时，y2取得最小值为取得最小值为390.而而390417，该厂可以接受此优惠条件该厂可以接受此优惠条件.1.下列结论正确的是下列结论正确的是()A.当当x0且且x1时，时，lgx2B.当当x0时，时，2C.当当x2时，时，x的最小值为的最小值为2D.当当00，22，当且仅当当且仅当，即，即x1时，等号成立时，等号成立.答案：答案：B2.(2009天津高考天津高考)
22、设设x，yR，a1，b1.若若axby3，ab2，则，则的最大值为的最大值为()A.2B.C.1D.解析：解析：axby3，xloga3，ylogb3，log3alog3blog3ablog3log331.答案：答案：C3.已知已知x0，y0，lg2xlg8ylg2，则，则的最小值是的最小值是()A.2B.2C.4D.2 解析：解析：因为因为x0，y0，且，且lg2xlg8ylg2，所以所以x3y1，于是有，于是有(x3y)()2()4.答案：答案：C4.已知已知0 x，则函数，则函数y5x(34x)的最大值为的最大值为.解析：解析：因为因为0 x，所以，所以x0，所以所以y5x(34x)20
23、 x(x)20当且仅当当且仅当xx，即即x时等号成立时等号成立.答案：答案：5.(2010忻州模拟忻州模拟)设设x，y，z为正实数，满足为正实数，满足x2y3z0，则则的最小值是的最小值是.解析：解析：由由x2y3z0得得y，代入代入得得3，当且仅当当且仅当x3z时取时取“”.答案：答案：36.某学校拟建一块周长为某学校拟建一块周长为400m的操场如图所示，操场的两的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？设计矩形的长和宽？解：解：设矩形的长为设矩形的长为xm，半圆的直径是，半圆的直径是d，中间的矩形，中间的矩形区域面积为区域面积为Sm2.由题知：由题知：Sdx，且，且2xd400.S(d)(2x)当且仅当当且仅当d2x200，即，即x100时等号成立时等号成立.此时，此时，d答：答：设计矩形的长为设计矩形的长为100m，宽约为，宽约为63.7m时，矩形面积时，矩形面积最大最大.