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1、第五章第五章信道编码信道编码v信道编码的基本概念和基本原理信道编码的基本概念和基本原理v线性分组码线性分组码v循环码、卷积码循环码、卷积码和秩距离码和秩距离码v突发错误的纠正突发错误的纠正v级连码、交织码及级连码、交织码及TCM码码v纠错码的应用纠错码的应用信信源源检错、纠检错、纠错错编码器编码器编码编码信道信道检错、纠检错、纠错错译码器译码器信信宿宿噪声源噪声源数字通信系统简化模型数字通信系统简化模型编码信道：包括信道编码器、实际信道、信道译码器。编码信道：包括信道编码器、实际信道、信道译码器。该模型是研究信道纠错编码和译码的模型，集中研究通信该模型是研究信道纠错编码和译码的模型，集中研究通
2、信可靠性。可靠性。通信可靠性问题：通信可靠性问题：消息通过信道传输的时候，如何选择编消息通过信道传输的时候，如何选择编码方案来减少差错。首先与信道统计特性有关，其次与编码方案来减少差错。首先与信道统计特性有关，其次与编码方法、译码方法也有关系。码方法、译码方法也有关系。第一节第一节信道编码的基本概念和基本原理信道编码的基本概念和基本原理信道是信号从信源传送到信宿的通路。信道是信号从信源传送到信宿的通路。1)由于信道有干扰，使得传送的数据流由于信道有干扰，使得传送的数据流(码流码流)中产生误码。中产生误码。2)误码的处理技术有纠错、交织、线性内插等。误码的处理技术有纠错、交织、线性内插等。3)信
3、道编码的信道编码的目的目的是提高信息传输或通信的可靠性。是提高信息传输或通信的可靠性。4)信信道道编编码码的的任任务务是是降降低低误误码码率率，使使系系统统具具有有一一定定的的纠纠错错能力和抗干扰能力，提高数据传输效率。能力和抗干扰能力，提高数据传输效率。5)5)信信道道编编码码的的过过程程是是在在源源数数据据码码流流中中加加插插一一些些码码元元，达达到到在接收端进行检错和纠错的目的。在接收端进行检错和纠错的目的。6)在在带带宽宽固固定定的的信信道道中中，总总的的传传送送码码率率是是固固定定的的，由由于于信信道道编编码码增增加加了了数数据据量量，其其结结果果只只能能是是以以降降低低传传送送有有
4、用用信信息码率为代价了。息码率为代价了。一、信道编码概念一、信道编码概念目的目的：降低错误译码概率：降低错误译码概率PE。对象对象：信息序列（设码元间彼此无关且等概出现）。：信息序列（设码元间彼此无关且等概出现）。方法方法：在传输的信息码之中按一定规律产生一些附加：在传输的信息码之中按一定规律产生一些附加数字，经信道传输，在传输中若码字出现错误，数字，经信道传输，在传输中若码字出现错误，收端能利用编码规律发现码的内在相关性受到破收端能利用编码规律发现码的内在相关性受到破坏，从而按一定的译码规则自动纠正或发现错误，坏，从而按一定的译码规则自动纠正或发现错误，降低误码率。降低误码率。一、信道编码概
5、念一、信道编码概念实质实质：在保持一定传输信息速率条件下，通过增：在保持一定传输信息速率条件下，通过增加一定的码元多余度，使输出的码字具有特定加一定的码元多余度，使输出的码字具有特定的相关性，从而使收端易于发现或纠正由于信的相关性，从而使收端易于发现或纠正由于信道噪声而引起的传输错误。道噪声而引起的传输错误。q=rk个 k维矢量禁用码组许用码组n重序列rn个信道信道编码器编码器MC校验元校验元rk个C0C1CiCjC2k-1收端传输模式传输模式P PE E信道传输特征信道传输特征P PE E译码方法译码方法C2kCiC2n-1许许用用码码组组禁禁用用码码组组C0C1CiC2k-1许许用用码码组
6、组发端二、信道编码的基本原理（检错、纠错原理）二、信道编码的基本原理（检错、纠错原理）寻找一种编码方法，使所加的监督码元最少，而检错纠错能寻找一种编码方法，使所加的监督码元最少，而检错纠错能力又高，且便于实现。力又高，且便于实现。理论基础：香农第二定理理论基础：香农第二定理对于一个给定的有扰信道，如信道容量为对于一个给定的有扰信道，如信道容量为C，只要发送端，只要发送端以低于以低于C的速率的速率R发送信息，则一定存在一种编码方法，发送信息，则一定存在一种编码方法，使编码错误概率使编码错误概率p随码长随码长n的增加，按指数下降到任意小的的增加，按指数下降到任意小的值。也就是说，可以通过编码使通信
7、过程实际上不发生错值。也就是说，可以通过编码使通信过程实际上不发生错误，或使错误控制在允许数值之下。即：误，或使错误控制在允许数值之下。即：信息传输率信息传输率E(R)码长码长P exp-nE(R)E(R)意义：意义：n给定，则最佳编码的给定，则最佳编码的P上界既定。上界既定。适用于适用于DMC，有记忆信道及连续信道有记忆信道及连续信道;PE0，可靠编码条件：可靠编码条件：有噪信道编码逆定理有噪信道编码逆定理设离散无记忆信道设离散无记忆信道X，p(y|x)，Y的信道容的信道容量为量为C，R是信息传输率，当是信息传输率，当RC时，则无论码长时，则无论码长N多长，总找不到一种编码，使译码的平均错误
8、概率多长，总找不到一种编码，使译码的平均错误概率任意小。任意小。表述二表述二、设某信道有、设某信道有r个输入符号，个输入符号，s个输出符号，信个输出符号，信道容量为道容量为C。只要码长只要码长N足够长，总可以在输入的足够长，总可以在输入的rN个符号的集合中找到个符号的集合中找到M（M 2N(C-)，为任意小为任意小的正数）个码字，分别代表的正数）个码字，分别代表M个等可能性的消息，个等可能性的消息，组成一个码以及相应的译码规则，使信道输出端组成一个码以及相应的译码规则，使信道输出端的平均错误译码概率的平均错误译码概率PE达到任意小。达到任意小。1)差错类型差错类型1随机错误随机错误:数据流中发
9、生的错误彼此无关数据流中发生的错误彼此无关,表现为错表现为错误之间的无相关性误之间的无相关性.2突发错误突发错误:数据流中一个错误的发生数据流中一个错误的发生,带来一连串错带来一连串错误的发生误的发生,表现为误错之间的相关性表现为误错之间的相关性.2)差错控制的途径差错控制的途径 1增加信道容量措施增加信道容量措施扩展带宽、提高发送功率、降低噪声扩展带宽、提高发送功率、降低噪声2编码措施编码措施减小码率减小码率、增加码长、交织器、增加码长、交织器、纠错码纠错码3传输方式措施传输方式措施重复发送重复发送、反馈、反馈重发重发、多进制信号、多进制信号三、差错控制三、差错控制需要双向信道，和前向信道有
10、相同的通信容。需要双向信道，和前向信道有相同的通信容。引入较大的停顿（不实时）。引入较大的停顿（不实时）。可以纠正任何错误。可以纠正任何错误。1反馈检验法反馈检验法(IRQ)(IRQ)分组存储发收收发kIkI 3)差错控制的分类差错控制的分类2检错重发法（检错重发法（ARQ）自动请求重发自动请求重发也需要反向信道，但容量可以降低，也会引也需要反向信道，但容量可以降低，也会引入停顿入停顿检错编码存储发收收发kIkI检错译码3前向纠错（前向纠错（FEC）不需要双向信道不需要双向信道不会引入停顿不会引入停顿靠纠错编码靠纠错编码3混合纠错检错（混合纠错检错（HEC）4)差错控制编码的基本原理差错控制编
11、码的基本原理v如用三位二进制编码来代表八个字母v000 A100Ev001 B101Fv010C110Gv011D111H不管哪一位发生错误，都会使传输字母错误不管哪一位发生错误，都会使传输字母错误v如用三位字母传四个字母v000 A011B101 C110D发生一位错误，准用码字将变成禁用码字，接收端就能发生一位错误，准用码字将变成禁用码字，接收端就能知道出错，但是不能纠错。知道出错，但是不能纠错。v如用三位字母传二个字母如用三位字母传二个字母000 000 A A111111B B检三个错误，纠正一个错误。大数法则纠错。检三个错误，纠正一个错误。大数法则纠错。v结论结论具有检错或纠错的码组
12、，其所用的比特数必须具有检错或纠错的码组，其所用的比特数必须大于信息码组原来的比特数大于信息码组原来的比特数 引入余度。引入余度。5）、检错、纠错能力）、检错、纠错能力v码重码重(weight)一个码组中一个码组中“1”的数目的数目v码距码距(distance)两个码组之间对应位置上两个码组之间对应位置上1、0不同的位数，又叫汉明不同的位数，又叫汉明(Hamming)距。距。10110码重：码重：3011002距离：距离：3v为检查出 个错误，要求最小码距为v为纠正 个错误，要求最小码距为v为纠正 个错误，同时检查出 个错误，要求最小码距为v纠正 个错误和p个删除，要求最小码距为：检错、纠错能
13、力检错、纠错能力v按按功能分功能分v检错码检错码 v纠错码纠错码v纠删码（发现不可纠正的错误时，可发出指示或删除）纠删码（发现不可纠正的错误时，可发出指示或删除）v按信息码元和监督码元之间的校验关系分按信息码元和监督码元之间的校验关系分v线性码线性码v非线性码非线性码v按信息码元和监督码元之间的约束方式分按信息码元和监督码元之间的约束方式分v分组码分组码v卷积码卷积码6）、差错控制编码分类）、差错控制编码分类卷积码卷积码非线性码非线性码线性码线性码纠错码纠错码分组码分组码循环码循环码非循环码非循环码纠随机纠随机错误码错误码纠突发纠突发错误码错误码纠随机和突纠随机和突发错误码发错误码纠同步纠同步
14、错误码错误码纠错码分类纠错码分类第二节第二节线性分组码线性分组码v表示：表示：(n,k)n:帧（组）长帧（组）长k/n:编码效率编码效率v特点特点监督码只用来监督本帧中的信息位监督码只用来监督本帧中的信息位v分类分类线性码线性码信息码与监督码之间为线性关系信息码与监督码之间为线性关系非线性码非线性码不存在线性关系不存在线性关系01221 aaaaannL-信息位监督位一、基本概念一、基本概念v分组码的监督方程分组码的监督方程v矩阵形式矩阵形式v监督矩阵监督矩阵vH矩阵称为矩阵称为典型形式典型形式，各行一定是线性无关的。，各行一定是线性无关的。而一个非典型形式的经过初等变换运算可以化而一个非典型
15、形式的经过初等变换运算可以化成典型形式，通过监督矩阵可以知道监督码和成典型形式，通过监督矩阵可以知道监督码和信息码的监督关系。信息码的监督关系。v生成矩阵 ，通过监督矩阵可以得到生成码组。v如果输入码组为 A=0011,编码器输出码字为:C=AGv由这种方式得到的生成矩阵称为由这种方式得到的生成矩阵称为典型生成矩阵典型生成矩阵，由，由它产生的分组码必定为它产生的分组码必定为系统码，也就是信息码字保系统码，也就是信息码字保持不变，监督位附加其后，持不变，监督位附加其后，每行一定是线性无关的，每行一定是线性无关的，每行都是一个生成码组。每行都是一个生成码组。定理：设二元线性分组码定理：设二元线性分
16、组码CI是由监督矩阵是由监督矩阵H所定义的，若所定义的，若X和和Y为其中的任意两个码字，则为其中的任意两个码字，则X+Y也是也是CI中的一个码字。中的一个码字。线性码的封闭性线性码的封闭性对偶码对偶码：以：以G G作监督矩阵，以作监督矩阵，以H H为生成矩阵，得到另为生成矩阵，得到另一个码一个码C CJ J（n n，n-kn-k）线性码。）线性码。C CJ J为原码为原码C CI I的对的对偶码。它们的码矢彼此正交，两个子空间是互为零偶码。它们的码矢彼此正交，两个子空间是互为零化空间。化空间。缩短码缩短码：将分组码最左边：将分组码最左边i i位为位为0 0的消息和对应的码的消息和对应的码字挑选
17、出来，把最左边的字挑选出来，把最左边的0 0删去，构成（删去，构成（n-in-i，k-k-i i）线性分组码。纠错检错能力与原码相同。）线性分组码。纠错检错能力与原码相同。缩短码的监督矩阵：（缩短码的监督矩阵：（n，k）一致监督矩阵删去最左边一列。）一致监督矩阵删去最左边一列。缩短码的生成矩阵缩短码的生成矩阵：（：（n，k）生成矩阵删去最左边一列和最上面的一行。）生成矩阵删去最左边一列和最上面的一行。二、汉明码二、汉明码能能纠正单个错误纠正单个错误的线性分组码的线性分组码汉明码的监督矩阵汉明码的监督矩阵H H的列为所有非零的的列为所有非零的r r维向量组成，一维向量组成，一旦旦r r给定，就可
18、以构造出具体的给定，就可以构造出具体的（n n，k k）汉明码）汉明码。例例1 1：构造一个二元的（：构造一个二元的（7 7，4 4，3 3）汉明码。）汉明码。分析：分析：r=r=n-kn-k=3,=3,除除0 0以外的所有以外的所有2 2r r个元素构成矩阵个元素构成矩阵H H的列。的列。消息消息码字码字消息消息码字码字000000000001000100001100010001111100110011000010001011010101010101001100110011011101101001000100101110011001100101010101011011101001011001
19、10011111011100000111011110011111111111截短汉明码截短汉明码v(n,k)(n-x,k-x)v如如(15,11)(12,8)监督矩阵监督矩阵H是将是将原原H的前的前3列列去掉去掉v截短汉明码的最小码距至少和原来码的码截短汉明码的最小码距至少和原来码的码距相同，因为监督位没有变。距相同，因为监督位没有变。v能能纠纠t个错误的个错误的(n,k)应应满足满足取等号时为完备码取等号时为完备码v不同结构的线性码其纠错能力不同，能力和不同结构的线性码其纠错能力不同，能力和dmin有关，有关，dmin越越大越好。大越好。v如果在汉明码基础上，再加上一位对所有码字如果在汉明码
20、基础上，再加上一位对所有码字进行校验的监督位进行校验的监督位监督码字由监督码字由 r r 位增加到位增加到 r r+1+1 位位信息位不变信息位不变v码长码长 码结构码结构v纠纠 1 位错，检测位错，检测 2 位错位错v如如（8，4），（），（16，11）扩展汉明码扩展汉明码扩展汉明码的监督矩阵扩展汉明码的监督矩阵编码器的实现编码器的实现上例上例m=(m1m2m3m4)m1,m2,m3,m40,1Ci=mGCi=(c1c2c3c4c5c6c7)=(m1m2m3m4m1+m2+m3m2+m3+m4m1+m2+m4)m1c1m2c2m3c3m4c4c5c6c7+三、线性分组码的编码三、线性分组码的
21、编码根据线性码的监督矩阵或生成矩阵将长为根据线性码的监督矩阵或生成矩阵将长为k的信的信息组变换成长为息组变换成长为n（nk）的码字。）的码字。四、线性分组码的译码四、线性分组码的译码v当给定接收码字当给定接收码字R时，译码器的错误译码概率表示时，译码器的错误译码概率表示经过译码后平均接受到一个码字所产生的错误大小。经过译码后平均接受到一个码字所产生的错误大小。v平均错误概率：平均错误概率：1、最大似然译码最大似然译码1)编码译码过程编码译码过程源数据码流划分为信息组源数据码流划分为信息组m,编码译码过程如下编码译码过程如下:信息组信息组m码字码字Ci接收字接收字RCi的估值的估值干扰干扰2)译
22、码译码发送码字发送码字Ci,接收字接收字R;译码器根据编码规则和信道特性译码器根据编码规则和信道特性,对接收码字对接收码字R 作出判决作出判决,此过程称为此过程称为译码译码.译码器的基本任务就是根据一套译码规则或算法译码器的基本任务就是根据一套译码规则或算法,由接由接收字收字R 给出与发送信息组给出与发送信息组m 的的最好估计值最好估计值.由于由于m 与与C之之间是一一对应的间是一一对应的,这就等价于译码器根据这就等价于译码器根据R 对对C的的估计估计.编码器编码器译码器译码器信道信道3)最佳译码最佳译码在已知接收字在已知接收字R 的条件下的条件下,找出可能性最大的发送码字找出可能性最大的发送
23、码字Ci作为译码的估值作为译码的估值,令令这种这种译码方法叫做最佳译码或最大后验译码译码方法叫做最佳译码或最大后验译码(MAP)根据根据Bayes公式公式式中式中p(Ci)发送码字发送码字Ci的概率的概率p(R)接收字接收字R的概率的概率p(R|Ci)先验概率先验概率如果以下条件成立如果以下条件成立码码C中的中的q k 个码字以等概率发送个码字以等概率发送,p(Ci)=1/q kp(R)对于任何对于任何R 都有都有相同的值相同的值,p(R)=1/q n则后验概率则后验概率p(Ci|R)最大最大,等同于先验概率等同于先验概率p(R|Ci)最大最大.4)最大似然译码最大似然译码在已知接收字在已知接
24、收字R 的条件下的条件下,使得先验概率最大的译码方使得先验概率最大的译码方法称为法称为最大似然译码最大似然译码对于无记忆信道对于无记忆信道,若若Ci=(ci 1,ci 2,ci n),R=(r 1,r 2,r n)则则最大似然函数最大似然函数对数似然函数对数似然函数5)最小距离译码最小距离译码对于对于BSC信道信道,最大似然译码可以简化为最大似然译码可以简化为最小距离译码最小距离译码.码码C 中任一码字中任一码字Ci与与R的距离为的距离为d,则则d 表示表示Ci在在BSC信道传输过程中码元传错的信道传输过程中码元传错的个数个数.因此此时的似然函数因此此时的似然函数结论结论(1-p)n 是常数是
25、常数,而而p/(1-p)1)的余数相同的余数相同;或称为或称为a 和和b 对于对于模模m 同余同余.最小非负剩余最小非负剩余:a=r(modm);0r n-k+1，则（，则（n-k）循环码不能检测概率为）循环码不能检测概率为2-（n-k）（能检测（能检测的概率为的概率为1-2-（n-k）5循环码的循环码的伴随多项式伴随多项式：假设发送的假设发送的码多项式码多项式C(x)和和错误图样多项式错误图样多项式e(x)以及以及接接收的码多项式收的码多项式R(x)分别为：分别为：则对于加性信道有：则对于加性信道有：R(xR(x)=)=C(x)+e(xC(x)+e(x)设设g(xg(x)为码的生成多项式，由
26、于码字多项式为码的生成多项式，由于码字多项式C(xC(x)能被能被g(xg(x)除尽，故有：除尽，故有：R(xR(x)modg(xmodg(x)=)=e(x)modg(xe(x)modg(x)定义伴随多项式为：定义伴随多项式为：S(xS(x)=)=e(xe(x)modg(xmodg(x)v根据伴随式的定义，若无错误传输，则根据伴随式的定义，若无错误传输，则S(xS(x)=0)=0，否则，否则S(xS(x)0)0，由此可实现循环码，由此可实现循环码的检错。的检错。v因为因为g(xg(x)的次数为的次数为n-kn-k，e(xe(x)的次数为的次数为n-1n-1，所以伴随式的最高次数为所以伴随式的最
27、高次数为n-k-1n-k-1，那么，那么S(xS(x)共共有有n-kn-k项，故有项，故有2 2n-kn-k种可能的伴随式。种可能的伴随式。若满足若满足2 2n-kn-kn+1n+1，则循环码具有纠错能力。，则循环码具有纠错能力。例例7 7：前例中的（：前例中的（7 7，3 3）循环码，若接收到的码字）循环码，若接收到的码字为为11001001100100，判断是否为许用码字。，判断是否为许用码字。解：接收码字解：接收码字11001001100100码多项式为：码多项式为：R(x)=xR(x)=x6 6+x+x5 5+x+x2 2，g(xg(x)=x)=x4 4+x+x2 2+x+1+x+1
28、由伴随式由伴随式S(xS(x)=)=R(xR(x)modg(xmodg(x)=)=e(x)modg(xe(x)modg(x)，有有S(xS(x)=x)=x6 6+x+x5 5+x+x2 2 mod(xmod(x4 4+x+x2 2+x+1)=1+x+1)=1 S(xS(x)0)0，该码字不是（该码字不是（7 7，3 3）循环码的许用）循环码的许用码字。码字。6循环码的编码器循环码的编码器v步骤：步骤：用用xn-k乘以信息多项式乘以信息多项式M(x)。用用g(x)除以除以xn-kM(x)得到余式得到余式b(x)。作码字作码字b(x)+xn-kM(x)多项式。多项式。(7,4)系统循环码为例系统循
29、环码为例:u=(1001)即即7循环码的译码器循环码的译码器v译码三步译码三步伴随式伴随式S S的计算的计算由由S S得到错误图样得到错误图样纠正纠正v生成多项式生成多项式g(x)去去除接收码字除接收码字R(x)校正子校正子S的计算的计算5.5卷积码卷积码(连环码连环码)v在分组码中在分组码中,任何特定的时间单位内编码器所任何特定的时间单位内编码器所产生的产生的n n个码元的码组个码元的码组,仅取决于该时间单位仅取决于该时间单位内内k k个消息位个消息位.v存在着另一种码存在着另一种码,由编码器在特定的时间内所由编码器在特定的时间内所产生的码元不但取决于这个特定时间段内进产生的码元不但取决于这
30、个特定时间段内进入的信息组入的信息组,而且也与前面的时间段内的信息而且也与前面的时间段内的信息组有关组有关,这种码称为这种码称为卷积码卷积码.v卷积码的编码可用移位寄存器来完成卷积码的编码可用移位寄存器来完成v卷积码有多种描述方法，分为两类卷积码有多种描述方法，分为两类v解析描述法：生成矩阵法，离散卷积法，生解析描述法：生成矩阵法，离散卷积法，生成多项式法。解析法多用于编码。成多项式法。解析法多用于编码。v图形描述法：包括状态图、数图、网格图等。图形描述法：包括状态图、数图、网格图等。译码采用图形法，尤其是网格图。译码采用图形法，尤其是网格图。一、定义：对于任一给定时刻，编码器的一个一、定义：
31、对于任一给定时刻，编码器的一个输出码字不仅与该时刻的当前输入码字有关，输出码字不仅与该时刻的当前输入码字有关，还与编码器的移位寄存器中存储的前面还与编码器的移位寄存器中存储的前面m个个输入信息码字有关。因此卷积码记为输入信息码字有关。因此卷积码记为(n0,k0,m0)卷积码卷积码。vn0为输出的每个码字的位数；为输出的每个码字的位数；vk0为输入的每个信息码字的位数；为输入的每个信息码字的位数；vm0为移位寄存器中存储的信息码字个数（级连的移为移位寄存器中存储的信息码字个数（级连的移位寄存器个数）位寄存器个数）定义：定义：m0m0为卷积码的为卷积码的记忆长度记忆长度。(m0+1)(m0+1)为
32、卷积码的为卷积码的码字约束长度码字约束长度，相应的，相应的比特比特（码元）约束长度（码元）约束长度为为(m0+1)n0(m0+1)n0。卷积码的码率为卷积码的码率为R=k0/n0R=k0/n0，它也表示卷积码的，它也表示卷积码的编编码效率码效率。卷积码可以是线性码，但不是分组码，卷积码是有卷积码可以是线性码，但不是分组码，卷积码是有记忆的编码记忆的编码例例8：给出一个（：给出一个（3，2，1）卷积码编码器的原理图）卷积码编码器的原理图该编码器由该编码器由2个移位寄存器构成。个移位寄存器构成。编码器每个并行输入一个编码器每个并行输入一个2位信息码字：位信息码字：则并行输出一个则并行输出一个3位卷
33、积码字：位卷积码字：Pi为监督元，有：为监督元，有：可见，卷积码当前码字的监督元不仅与当前输入的信可见，卷积码当前码字的监督元不仅与当前输入的信息元有关，还与前次输入的息元有关，还与前次输入的2个信息码元有关。个信息码元有关。二、卷积码的生成序列二、卷积码的生成序列v卷积码的生成序列卷积码的生成序列设卷积码编码器输入码序列（待编码的信息序列）为设卷积码编码器输入码序列（待编码的信息序列）为Uu0(1)u0(2)u0（k0）u1(1)u1(2)u1(k0)us(1)us(2)us(k0)编码器输出码序列为编码器输出码序列为Cc0(1)c0(2)c0(n0)c1(1)c1(2)c1(n0)cs(1
34、)cs(2)cs(n0)则则编编码码器器输输出出码码序序列列中中任任一一子子码码可可以以由由如如下下卷卷积积关系给出：关系给出：g gt t(i,j(i,j)为非系统卷为非系统卷积码的生成序列积码的生成序列v系统码的生成矩阵系统码的生成矩阵 系系统统卷卷积积码码序序列列中中，对对应应于于前前k k0 0位位，生生成成序序列列g g(i i,j j)中有中有k k0 0k k0 0个生成序列是固定的，即个生成序列是固定的，即:（i，jk0）对应后对应后(n0-k0)个监督位，个监督位，k0(n0-k0)个生成序列需要给定个生成序列需要给定,以便确定每个子码中以便确定每个子码中n0-k0个监督元个
35、监督元,则码字则码字:g(i,jg(i,j)为系统卷积为系统卷积码的生成序列码的生成序列例例9：（：（3，1，2）系统卷积码的生成序列为：）系统卷积码的生成序列为：则其任一码字为：则其任一码字为：三、卷积码的生成矩阵和监督矩阵三、卷积码的生成矩阵和监督矩阵v卷积码的生成矩阵卷积码的生成矩阵上例中上例中假设输入为：假设输入为：U=(uU=(u1 1,u,u2 2,u,u3 3,)则输出为：则输出为：C=(uC=(u1 1 u u1 1 u u1 1,u,u2 2 u u2 2 u u2 2,u,u3 3 u u3 3 u u3 3+u+u1 1,u,u4 4 u u4 4 u u4 4+u+u2
36、 2)写成矩阵形式：写成矩阵形式：C=UG卷积码的基本生卷积码的基本生成矩阵。成矩阵。生成矩阵可以改写为：生成矩阵可以改写为：I Ik0k0为为k k0 0k k0 0阶单位矩阵阶单位矩阵0 0为为k k0 0k k0 0阶全阶全0 0方阵方阵p pl l为为k k0 0(n(n0 0-k-k0 0)阶矩阵。阶矩阵。考虑一个约束长度内的码序列：考虑一个约束长度内的码序列：U=u0u1u2um0得到卷积码的初始截短码组得到卷积码的初始截短码组C：C=c0c1c2cm0截短码组的生成矩阵截短码组的生成矩阵:g=Ig=Ik0k0p p0 0 0p 0p1 1 0p 0pm0m0 例例10：（：（3，
37、1，2）系统卷积码的生成序列为：）系统卷积码的生成序列为：v卷积码的监督矩阵卷积码的监督矩阵(n0，k0，m0)码的基本监督矩阵为：码的基本监督矩阵为：式中：式中：h(n0-k0)n0N阶矩阵。阶矩阵。(n0，k0，m0)码的监督矩阵为码的监督矩阵为式中：式中：(n0-k0)Nn0N阶矩阵。阶矩阵。(n0，k0，m0)码的监督矩阵为码的监督矩阵为【例512】设(3，1，2)系统码的生成序列为 g(1,1)1 g(1,2)g0(1,2),g1(1,2),g2(1,2)g(1,3)g0(1,3),g1(1,3),g2(1,3)求该码的监督矩阵。由公式式得(3，1，2)码的监督矩阵为 其中：H69阶
38、矩阵(N(n0-k0)6，Nn09)矩阵；I22阶单位方阵；02阶全0方阵。而pT0，pT1,pT2,分别为其矩阵方程如下：其中：CT初始截短码组的转置，Cc0(1)c0(2)c0(3)c1(1)c1(2)c1(3)c2(1)c2(2)c2(3)；0T61阶全0阵。它的基本监督阵是一个29阶阵，即：四四卷积码编码器：卷积码编码器：us(1)Us-1(1)Us-2(1)cs(1)g0(1,2)g1(1,2)g2(1,2)g0(1,3)g1(1,3)g2(1,3)cs(2)cs(3)串行编码电路串行编码电路us(1)例例9：us(1)cs(1)cs(2)cs(3)g2(1,2)g1(1,2)g0(
39、1,2)g2(1,3)g2(1,3)g0(1,3)型编码电路型编码电路需要需要n0-k0组寄存器，每组为组寄存器，每组为m0个，一共需要个，一共需要(n0-k0)m0个寄存器个寄存器us(1)cs(1)g0(1,2)g1(1,2)g2(1,2)cs(2)g0(1,3)g1(1,3)g2(1,3)cs(2)型编码电路型编码电路需要需要k0组寄存器，每组为组寄存器，每组为m0个，一共需要个，一共需要k0m0个寄存器个寄存器v卷积码经典的译码方法有大数逻辑译码和维特比译码小结v线性分组码的基本概念线性分组码的基本概念v线性分组码的定义、系统码的概念线性分组码的定义、系统码的概念v生成矩阵、校验矩阵及其相互关系生成矩阵、校验矩阵及其相互关系v线性分组码的编码：利用生成矩阵线性分组码的编码：利用生成矩阵v译码：利用伴随式译码：利用伴随式v线性分组码的检纠错能力及最小码距的确定线性分组码的检纠错能力及最小码距的确定v汉明码、循环码及卷积码汉明码、循环码及卷积码习题vP1755-5vP1765-13、5-15、5-16、5-17、5-18、5-20、5-21vP1775-29